TMA4120: Matematikk 4K
Laplacetransformasjon
Laplacetransformasjonen
Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum):
Funksjonen
Eksempel
Finn laplacetransformasjonen til
Linearitet
Laplacetransformasjon er en lineær operasjon, altså gjelder
Eksistens
En funksjon må tilfredstille visse krav for å ha en laplacetransformasjon. Funksjonen må være stykkvis kontinuerlig, og være eksponensielt begrenset;
Noen få laplacetransformasjoner
En lengre liste finnes under Tabell med laplacetransformasjoner. Den seriøse student anbefales å sette seg ned og utlede et par av disse selv.
Første skifteteorem(s-Skifting)
Den laplacetransformerte til en funksjon
hvor
Bevis
Eksempel 1
La
Vi ser at siden
Dette stemmer godt med tabellverdien.
Eksempel 2
La
Intuitivt ser vi at dette likner litt på laplacetransformasjonen til en sinus og/eller cosinus funksjon med s-skifting.
Det første vi må gjøre er å faktorisere nevneren slik at vi får et utrykk på formen
Dette ser en at er nødvendig for å bruke s-skifting på den laplacetransformerte av enten sinus eller cosinus. Deretter må vi organisere telleren slik at vi har et utrykk på formen
slik at vi kan dele opp i to brøker, en på formen til en s-skiftet cosinus, og en for en s-skiftet sinus.
Merk at vi her måtte trekke ut en faktor 2 av den siste brøken for å få den på riktig form. Vi inverstransformerer:
Andre skifteteorem(t-Skifting), Heavisides funksjon, Diracs deltafunksjon
Heavisides funksjon
Heavisides funksjon er definert ved
Funksjonen kan brukes på kreative måter. For eksempel kan funksjonen
Laplacetransformasjonen til Heavisides funksjon er gitt ved
Dette utledes helt analogt med den laplacetransformerte til
t-Skifting
Den laplacetransformerte til en funksjon
Dette kalles for t-skifting.
Bevis
Her er det brukt substitusjonen
Eksempel 1
La
finn
Hvis
Dette kan vi bruke t-skifting på:
Eksempel 2
La
finn
Vi har et utrykk på formen
Diracs deltafunksjon
Diracs deltafunksjon brukes til å modellere veldig korte støt og er definert ved
slik at
Laplacetransformasjonen til
Laplacetransformasjoner av deriverte og integraler
Deriverte
Den laplacetransformerte til den deriverte av en funksjon
og for den dobbeltderiverte
Bevis
Siden funksjonen må være eksponensielt begrenset, vil
Utvidelse til andre-deriverte og n'te-deriverte kan deretter gjøres ved direkte bruk av resultatet ovenfor:
Ved induksjon kan det deretter vises at
Integrerte
Laplacetranformasjoen til en funksjon
er gitt ved
Beviset utelates her, men kan finnes i Kreyszig s. 213.
Integrasjon og derivasjon av laplacetransformerte
Hvis en lar
og deriverer med hensyn på s, får en
Altså hvis
Det kan også vises at
Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon
Diskusjonen så langt er veldig hendig til løsning av differensiallikninger. Ved bruk av formelenene for laplacetransformasjonen til første- og andrederiverte, kan enhver lineær diff. likning på formen
laplacetransformeres og deretter løses, så lenge
Eksempel 1
Løs differensiallikningen
Vi laplacetransformerer overalt og får
Vi har nå utledet et utrykk for
Vi ser at vi kan bruke s-skifting på første brøk, og at andre brøk er den laplacetransformerte til
Vi har her løst en ganske komplisert diff. likning på en veldig effektiv måte. Løsningen er en lineær kombinasjon av den homogene og den partikulære løsning av diff. likningen. Ved løsning via laplacetransformasjon vil alltid både den homogene og den partikulære løsningen være inkludert. En slipper dermed å løse en diff. likning "to" ganger.
Eksempel 2
Løs differensiallikningen
Vi går til verks som i forige oppgave:
I overgangen til siste linje har vi brukt delbrøksoppspaltning på
Vi lister opp leddene vi kan løse direkte, evt. med s- og/eller t-skifting
Vi har igjen
Videre bruker vi derivasjonsteoremet:
Totalt har vi dermed løsningen
Klarer du denne oppgaven på strak arm, er du så lærd som det kreves og vel så det i Laplacetransfomering (så lenge du titter på konvolusjon).
Konvolusjon
Laplacetransformering er som vist en linær operasjon, men for to funksjoner
Vi kan bruke konvolusjon til å inverstransformere sammensatte funksjoner i laplace-domenet.
Eksempel:
La
Vi kan skrive dette som
Dermed har vi
Integrallikninger
Konvolusjon kan brukes til å løse likninger som inneholder integraler som selv inneholder variablen likningen skal løses for.
Eksempel:
Løs for
Vi ser at vi med konvolusjon kan hive hele likningen over i Laplace-domenet, og deretter løse for
Vi har nå fått et utrykk vi kan løse med s-skifting:
Tabell med laplacetransformasjoner
Fourieranalyse
Introduksjon
Joseph Fourier var en fransk matematiker som levde på 17- og 18-hundretallet. En av hans store oppdagelser innen matematikk var ideen om at alle periodiske funksjoner kan skrives som en sum av sinus- og cosinusfunksjoner med forskjellig amplitude og frekvens. En slik sum kalles for en fourierrekke.
Formelene gitt i delkapittelet vil ikke bli utledet her, siden utledningene med få unntak er relativt lange. Den seriøse student anbefales å se Kreyszig for utledningene.
Fourierrekker
Hensikten med fourierrekker å utrykke en gitt periodisk funksjon
Det kan vises at
Periodisitet på 2$\pi$
Hvis funksjonen det skal lages fourierrekke av har periodisitet på
Jevne og odde funksjoner
Jevne funksjoner
Hvis
siden
hvor
Dette kalles for en fouriercosinusrekke.
Odde funksjoner
Hvis
siden
hvor
Dette kalles for en fouriersinusrekke.
Kompleks form
Ved bruk av Eulers formler for sinus og cosinus
kan en skrive formlene for fourierrekken til en funksjon
hvor
Feilestimat
I praktisk bruk av fourierrekker kan det være nødvendig å bruke
Lar en koeffesientene i
Siden
Hvis antall ledd i
Eksempler
Generelle funksjoner
Eksempel 1
La
Finn fourierrekken til
Oppgaven går ut på å finne
Husk at
Ved utregning av
Leddene med
Dermed får vi
Eksempel 2
La
og
Finn fourierrekken til
Fourierrekken blir dermed
Jevne og Odde funksjoner
Eksempel 3
La
Finn fourierrekken til
Dermed er
Eksempel 4
La
Finn fourierrekken til
Vi ser at sinusleddet faller bort, siden
Feilestimering
Eksempel 5
Bruk fourierrekken til
Vi har
Fourierintegral
Diskusjonen så langt av fourierrekker har tatt basis i funksjoner som er strengt periodiske. Men hvis en funksjons periode går mot uendelig (altså hvis funksjonen er uperiodisk), vil rekke-representasjonen gå mot et integral på tilsvarende form:
Fouriertransformasjon
Ifra fourierintegralet, med eulers formel, kan en utlede fouriertransformasjonen:
Den inverse fouriertransformasjonen er gitt ved:
En alternativ notasjon for fouriertransformasjonen er
En fouriertransformert funksjon sies å være i frekvens-domenet.
Eksempel
Finn den fouriertransformerte av funksjonen
Her har vi brukt at
Eksistens
Hvis
Linearitet
Som laplacetransformasjonen, er fouriertransformasjonen en lineær operasjon, og dermed gjelder
Deriverte
For en derivert funksjon,
Bevis
Konvolusjon
Analogt med den laplacetransformerte av konvolusjonen av to funksjoner
hvor
er konvolusjonen av
Partielle differensiallikninger
I Matematikk 1, og Matematikk 3 har studenten blitt introdusert til ordinære differensiallikninger(ODE); differensiallikninger som inneholder deriverte avhengig av én variabel. Partielle differensialikninger(PDE) er differensiallikninger som inneholder partielderiverte, avhengig av to eller flere variabler. Hvis en PDE bare inneholder deriverte avhengig av én variabel, kan den skrives om til en tilsvarende ODE. Hvis en diff. likning er avhengig av to generelle deriverte kan den med kjerneregelen ekspanderes til en PDE.
PDE'er oppstår ofte i modellering av fysiske fenomener, siden ODE'er bare kan modellere de enklere fysiske fenomener, viss deriverte bare er avhengig av én variabel.
Partiellderiverte
En kjapp gjennomgang av partiellderiverte kan være nødvendig. Hvis studenten er kjent med partiellderiverte kan en hoppe til generell løsningsmetodikk.
Den partiellderiverte til en funksjon
Eksempel 1
La
Vi holder
Så holder vi
For å finne
Eksempel 2
La
Antideriverte
Det kan være nødvendig å gå fra partiellderiverte tilbake til den opprinnelige funksjonen. For eksempel
gitt
Eksempel
La
Vi tar først for oss
men, siden
Deretter, siden
Superposisjonens fundamentalteorem
Hvis
også en løsning for den samme PDE'en, med arbitrære konstanter
Generell løsningsmetodikk
Mengden løsninger for nesten enhver gitt PDE, uten videre betingelser, kan være veldig stor. En viktig del av å løse en PDE er dermed å finne initialbetingelser og grensebetingelser. Initialbetingelser er betingelser for
PDE'ene skal generelt løses i tre steg:
- Separere variable
- Løse to homogene ODE'er ved bestemmelse av en konstant
- Tilfredstille betingelsene
Ved å separere variable leter en etter en løsning på formen
Bølgelikningen
Den en-dimensjonale bølgelikningen er gitt ved
I pensum blir denne brukt til å modellere en svingende tråd som er festet i begge ender, og dermed er endebetingelsene:
Som forklart ovenfor, letes det etter en løsning på formen
Hvis en deretter deler på
Utrykkene er lik en konstant
PDE'en er nå redusert til to homogene ODE'er, som lar seg løse. Løsningen er avhengig av konstanten k, mer bestemt om den er positiv, negativ eller lik
Det er viktig å merke seg at gitt de to endebetingelsene, så er en løsning av PDE'en
Hvis en først lar
Altså en triviell løsning. Videre kan en la
Enda en triviell løsning. Siste mulighet er
Løsningen
Dette er et uendelig stort set med løsninger for
Før initialbetingelsene tilfredstilles, merkes det at løsninger for
Disse funksjonene kalles for eigenfunksjoner, eller karakteristiske funksjoner av
Siden bølgelikningen er lineær og homogen, følger det ifra superposisjonens fundamentalteorem at en sum av alle eigenfunksjonene er en løsning av
Initialbetingelsene må deretter tilfredstilles:
Dette kjennes igjen som en fouriersinusrekke til
Videre må
slik at
Som tidligere, kjennes dette igjen som en fouriersinusrekke til
Dette fullfører den generelle løsningen til den én-dimensjonale bølgelikningen.
D'Alemberts løsning av bølgelikningen
Hvis en antar at den initielle hastigheten i utledningen ovenfor,
Ved litt trigonometrisk triksing(
Altså er
hvor
Deriveres denne to ganger, ser en at den tilfredstiller bølgelikningen.
Dette resultatet kan etableres ved å la
Denne kan løses ved to integrasjoner (som diskutert i antideriverte), og gir
som er kjent som d'Alemberts løsning til bølgelikningen.
For å tilfredstille initialbetingelsene til bølgelikningen kan det vises at dette gir
som innsatt i d'Alemberts løsning gir
Som reduseres til
hvis den initielle hastigheten
Merk at denne løsningen gjelder bare hvis funksjonen
Varmelikningen i én dimensjon
Den én-dimensjonale varmelikningen er gitt ved
Det er flere initialbetinglser og grensebetingelser som er relevante i løsningen av varmelikningen, men her diskuteres bare grensebetingelsene:
- Endepunkter med konstant temperatur(
$u(0,t) = 0,\> u(L,t) = 0$ ) - Isolerte endepunkter(
$u_x(0,t) = 0,\> u_x(L,t)= 0$ , og initialbetingelsen:$u(x,0) = f(x)$ .
Det begynnes igjen med seperasjon av variable:
Som i bølgelikningen må likningene være lik en konstant k. Videre løses likningene med valg av konstant
Konstant temperatur
Med grensebetingelsene
Siden
Isolerte endepunkter
Med grensebetingelsene
Det eneste å legge merke til her er at
og siden
er
Som forventet, ser en av resultatet at gjennomsnittstemperaturen ved
Varmelikningen i to dimensjoner for stødige problemer
Varmelikningen i to dimensjoner er gitt ved
Pensum ser på stødige problemer; problemer som er uavhengige av tid, altså
Denne PDE'en lar seg løse i en region R, med grensekurve C, for gitte initialbetingelser og grensebetingelser, kalt et BVP (boundary value problem). Det er hovedsakelig tre kategorier med betingelser:
- Første BVP, Dirichlecht problem hvis
$u$ er definert på C - Andre BVP, Neumann problem hvis den normalderiverte
$u_n$ er definert på C - Tredje BVP, Mikset BVP, Robin problem hvis
$u$ er definert på deler av C, og$u_n$ på resten.
Her vises en utledning for en Første BVP og for en Tredje BVP.
Første BVP
Det kanskje mest trivielle problemet er en Første BVP som har grensebetingelser
Løsningsmetoden er den samme som før;
Velger
Videre brukes
Dermed er
Til slutt må grensebetingelsen
Dette er en fouriersinusrekke, og
som fullfører den generelle løsningen av problemet.
Kompleks Analyse
Komplekse tall
Et kompleks tall består av en realdel og en imaginærdel. Et kompleks tall
Komplekse funksjoner
Definisjonsmengden til en kompleks funksjon er et område i det komplekse plan. Til hvert punkt i området finnes det en funksjonsverdi, akkurat som reelle funksjoner av to variable:
Egenskaper med komplekse funksjoner
En kompleks funksjon er kommutativt (
Man kan også uttryke det som kalles komplekskonjugerte til et kompleks tall
Eulers formel beskriver en viktig egenskap for komplekse tall skrevet på polarform:
$$ e^{i\theta}=cos(\theta)+i sin(\theta)$$
Blant annet kan man fra denne formelen både definere komplekse trigonometriske funksjoner, samt at
Cauchy-Riemann-ligningene
Likningene er et godt verktøy for å undersøke om en kompleks funksjon
Teorem
Funksjonen
Komplekse varianter av kjente funksjoner
Ved en rekke enkle omskrivninger kan man få et uttrykk for en kompleks eksponentialfunksjon, trigonometrisk funksjon, logaritme osv.
Eksponentialfunksjonen
Trigonometriske funksjoner
Ut ifra Eulers formel får man
Logaritmer
Siden logaritmen er den ivense funksjonen av eksponentialfunksjonen, kan vi definere logaritmen som
Komplekse integraler
Integrering av komplekse funksjoner er nesten synonymt med kurveintegraler. Generelt vil formelen for et kompleks integral være
ML-ulikheten
$$\left|\oint_C f(z)\right| \,dz \leq ML $$ Der$L=\oint_C |dz|$ er lengden til kurven$C$ og$|f(z)| \leq M$ når$w\in C$ .
Tips: ML-ulikheten er meget eksamensrelevant