TMA4100: Matematikk 1
Grenser og kontinuitet
Derivasjon
Den deriverte av en funksjon beskriver hastigheten en funksjon endrer seg med. Geometrisk kan det også beskrives som stigningen til tangenten til en kurve.
Den deriverte
Den viser endringen til
Regler for derivasjon
Regler for hvordan å derivere sammensatte funksjoner.
Produktregelen
Kvotientregelen
Kjerneregelen
Deriverte av ulike typer funksjoner
Potensfunksjoner
Eksponensialfunksjoner
Logaritmefunksjoner
Trigonometriske funksjoner
Middelverditeoremet
For en funskjon som er kontinuerlig på intervallet
Er
Transcendentale funksjoner
Inversfunksjoner
Definisjon 1 - En-til-en funksjoner
En funksjon
Eller, ekvivalent med forrige utsagn, er også en funksjon en-til-en hvis
Definisjon 2 - Inversfunksjon
Hvis
Definisjon 3 - Selvinvers
En funksjon
Egenskaper til inversfunksjoner
$ y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) $ - Definisjonsmengden til
$ f^{-1} $ er verdimengden til$ f $ . - Verdimengden til
$ f^{-1} $ er definisjonsmengden til$ f $ . $ f^{-1}(f(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengden til }f. $ $ f(f^{-1}(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengedn til }f^{-1}. $ $ (f^{-1})^{-1}(x) = f(x) \text{ for alle x i definisjonsmengden til } f. $ -
$ \text{Grafen til } f^{-1} \text{ er speilvendt av grafen til } f \text{ i linjen x = y} $ -
Den deriverte av en inversfunksjon er som følger:
$$ \frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$
Eksponential og logaritmefunksjoner
Regler for eksponenter
Hvis
$ a^0 = 1 $ $ a^{x+y} = a^x a^y $ $ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $ $ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} $ $ (a^{x})^{y} = a^{xy} $ $ (ab)^{x} = a^{x}b^{x} $ $ a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x} $
Logaritmer
Definisjon
Hvis
Regler
Hvis
$ \log _a 1 = 0 $ $ \log _a (xy) = \log _a x + \log _a y $ $ \log _a (\frac{1}{x}) = -\log _a x $ $ \log _a (\frac{x}{y}) = \log _a x - \log _a y $ $ \log _a (x^y) = y \log _a x $ $ \log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a} $
Anvendelser av derivasjon
Integrering
Teknikker i integrering
Anvendelser av integrering
Differensiallikninger
Likninger på formelen
-
Ganger alle ledd med integrerende faktor
$ e^{\int p(x)} $ . -
Venstre side kan skrives om ved bruk av produktregelen for derivasjon baklengs.
$ (e^{\int p(x)}y)' = g(x) e^{\int p(x)} $ -
Integrer så begge sider og du får
$ e^{\int p(x)} y = \int g(x) e^{\int p(x)} $ Ikke glem$ + C $ på høyresiden når du integrerer uttrykket. -
Del så på den integrerende faktor og du har fått funksjonsuttrykket
$ y = \frac {\int g(x) e^{\int p(x)}}{e^{\int p(x)}} $ For å finne$ C $ må du ha en initialbetingelse. For eksempel$ y(0) = 2 $
Likninger på formelen
-
Skriver om venstreside med leibniznotasjon:
$ \frac{dy}{dx} = g(x)y $ -
Ganger så med
$ dx $ og får$ dy = g(x)y dx $ -
Deler på y og får:
$ \frac{dy}{y} = g(x) dx $ -
Integrer så hver side med hensyn på hver sin:
$ dy $ og$ dx $ -
Du får da funksjonsuttrykket:
$ ln(y) = \int g(x) $ -
Opphøy begge sider i
$ e $ og funksjonuttrykket blir:$ y = e^{\int g(x)} $ Ikke glem$ + C $ etter at du har integrert høyre side.