$$ \newcommand{\dt}{\,\mathrm{d}t} \newcommand{\dx}{\,\mathrm{d}x} \newcommand{\dy}{\,\mathrm{d}y} \newcommand{\dh}{\,\mathrm{d}h} \newcommand{\QEDA}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}} \newcommand{\QEDB}{\hfill\ensuremath{\square}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bmat}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} $$ # Repetisjon ## Definisjoner En **differensiallikning** er en relasjon mellom en **variabel** og dens deriverte. En **førsteordens**-differensiallikning inneholder ledd med **første-derivarte**, **andreordens** med andre-deriverte, og så videre.

$$ x'- x = t $$ en lineær differensiallikning, mens $$ x'^2 - x = t $$

En **homogen** differensiallikning er en likning på formen, $$ f(x, x', x'',\ldots,x^{(n)} = 0 $$ Reversert, har vi at en **uhomogen** differensiallikning er på formen $$ f(x, x', x'',\ldots,y^{(n)} = g(t),\>g(t) \not\equiv 0 $$ Et **likningssystem** av første orden over $n$ variabler er et system med differensiallikninger $$ \begin{align} x_1' &= f_1(x_1,\dots,x_n) \\ x_2' &= f_2(x_1,\dots,x_n) \\ \dots& \\ x_n' &= f_n(x_1,\dots,x_n) \end{align} $$ Eksempelvis er $$ x' = 2x - y \\ y' = y + x $$ ett eksempel på et likningssystem. Vi kan alternativt skrive likningssystemet på matriseform: $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$ En alternativ notasjon for den deriverte, som vi og kommer til å bruke videre, er *Newtons* notasjon for tidsderiverte: $$ \dot{x} = \frac{\dt}{\dx} $$ ## Løsningen til lineære systemer ### Separable lineære første-ordens likninger Om vi har en lineær likning av første-orden på formen $$ \frac{dx}{dt} = f(x)g(t) $$ kaller vi likningen **separabel**. I så tilfelle kan vi løse den på følgende måte: $$ \begin{align} \frac{\dx}{\dt} =& f(x)g(t) \\ \frac{\dx}{f(x)} =& g(t)\dt \\ \int \frac{\dx}{f(x)} =& \int g(t) \dt \\ \end{align} $$ Vi kan så gjennomføre de ubestemte integralene, og finne et utrykk for $x$. ** Eksempel.** Løs likningen $$ x' - cos(t)x = 0 $$ *Løsning*. $$ \begin{align} \frac{\dx}{\dt} =& \cos(t) x \\ \int\frac{\dx}{x} =& \int \cos(t) \dt \\ \ln(x) =& \sin(t) + C \\ x(t) =& k\exp\left(sin(t)\right) \end{align} $$ Dette eksemplet fører oss til følgende proposisjon: > **Proposisjon.** Enhver første-ordens lineær differensiallikning på formen > $$ y' - f(t)y = 0$$ > har løsning > $$ y(t) = k\exp\left(\int f(t) \dt\right) $$ *Bevis.* Ta eksemplet ovenfor og erstatt $cos(t)$ med $f(t)$. ### Generelle lineære første-ordens likninger > **Lemma.** Løsningen til en første-ordens lineær differensiallikning > >$$ >x' + f(t)x = g(t) >$$ > >er > >$$ >x(t) = \frac{\int h(t)g(t)\dt + C}{h(t)},\> h(t) = ke^{\int f(t) \dt} >$$ *Bevis.* La $h(t)$ være en funksjon av $t$, slik at $h(t)f(t) = h'(t)$. Gang nå hele systemet med $h(t)$: $$ \begin{align} h(t)x'(t) + h(t)f(t)x(t) =& h(t)g(t) \\ h(t)x'(t) + h'(t)x(t) =& h(t)g(t) \\ \end{align} $$ Vi ser nå at vi venstresiden danner resultatet av en produktderivasjon, og trekker sammen: $$ (h(t)x(t))' = h(t)g(t) $$ Vi tar så å integrer på begge sider: $$ \begin{align} \int (h(t)x(t))' \dt &= \int h(t)g(t) \dt \\ h(t)x(t) - C &= \int h(t)g(t) \dt \\ x(t) =& \frac{\int h(t)g(t)\dt + C}{h(t)} \end{align} $$ Merk at vi skriver $-C$ istedenfor $C$ utelukkende av estetiske grunner (En arbitrær konstant i $\R$ sitt fortegn er likegyldig). Vi trenger nå bare å vise at $h$ eksister, og forhåpentligvis i samme sleng finne en formel for å konstruere $h$ i samme sleng. Vi kan bruke separasjon av variable, og får: $$ \begin{align} h(t)f(t) =& h'(t) \\ f(t) =& \frac{h'(t)}{h(t)}\\ f(t) =& (\ln( h(t)))' \\ \int f(t) \dt =& ln(h(t))+k \\ h(t) =& \exp\left({\int f(t) \dt +k_0}\right) \\ h(t) =& k\exp\left({\int f(t) \dt}\right) \end{align} $$ Vi ser at om vi setter inn utrykket vårt for $h$ i utrykket for $x(t)$ vil konstanten $k$ inntre både i nevner og første ledd i teller. Trekker vi ut $k$ av teller, og forkorter, står vi igjen med: $$ x(t) = \frac{\int \exp\left(\int f(t) \dt \right)g(t)\dt + \frac{C}{k}}{\exp\left(\int f(t) \dt \right)} $$ Med andre ord forsvinner $k$ fra utrykket til $h$ og blir "en del av" konstanten $C$. Vi kan dermed "ignorere at den finnes" i faktiske utregninger. Dette fullfører beviset. $\square$ I faktiske utregninger bruker vi gjerne heller utledningen ovenfor steg for steg, heller enn formelen. ** Eksempel** La $$ y' - 2t\,y = 4. $$ Finn $y$. *Løsning*. Vi finner først $h(t)$ som definert over: $$ h(t) = \exp\left(\int -2t \dt\right) \\ h(t) = \exp\left(-t^2\right) \\ $$ Vi setter så inn $h(t)$ i utrykket $(h(t)x(t))' = h(t)g(t)$, og integrerer $$ \begin{align} \left(\exp\left(-t^2)\right) x(t)\right)' &= \exp\left(-t^2\right)\cdot 4 \\ \left(\exp\left(-t^2)\right) x(t)\right) &= \int \exp\left(-t^2\right)\cdot 4 \dt \\ \left(\exp\left(-t^2)\right) x(t)\right) &= 8\sqrt{\pi}\,\mathrm{erf}(t) + C \\ x(t) &= \frac{8\sqrt{\pi}\,\mathrm{erf}(t) + C}{\exp\left(-t^2\right)} \\ \end{align} $$ hvor $erf$ er [Gauss' error funksjon](https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function). ### Andre-ordens likninger ## # Fasediagrammer Av "alle differensiallikninger", er det forholdsvis få som har en endelig, lukket, og lettleselig form. Dette kan gjøre det vanskelig å analysere løsningen til differensiallikningen. En av metodene en kan bruke til å trekke ut interessant informasjon om systemet, er ved et **fasediagram**. ## En-dimensjonal differensiallikning La oss bruke et eksempel for å få litt intuisjon bak nytten til et fasediagram. Vi ser på differensiallikningen $$ \ddot{x} - x = 0. $$ Vi ignorerer for øyeblikket at vi kan finne en den generelle løsningen for systemet. La oss skrive om likningen vår til ett likningssystem: $$ \dot{x} = y \\ \dot{y} - x = 0 \implies \dot{y} = x $$ Så hva hjelper dette oss, mon tro? Jo, det vi nå kan gjøre er å plotte et fasediagram, hvor vi ved vært punkt $(x,y)$ får assosiert en *endringsvektor* $\bmat{\dot{x}\\\dot{y}}$. Om vi plotter denne endringsvektoren i et koordinatsystem får vi fasediagrammet vårt:  Dette diagrammet forteller oss hvordan $\ddot{x}$ og $\dot{x} = y$ oppfører seg som en funksjon av $x$ og $\dot{x}$. Dette gir oss innsikt i hvordan systemet utvikler seg over tid. Vi kan også se at vektorene i fasediagrammet danner *faselinjer*. Én slik linje representerer én løsning av systemet, avhengig av initialverdier. ## To-dimensjonale autonome systemer For to-dimensjonale autonome systemer har vi typisk den generelle relasjonen $$ \dot{x} = F(x,y),\quad \dot{y} = G(x, y) $$ Fasediagrammet for et to-dimensjonalt system konstrueres analogt som for det en-dimensjonale tilfellet. Ta for eksempel $$ \dot{x} = x - y \\ \dot{y} = x + 2y \\ \bmat{\dot{x}\\\dot{y}} = \bmat{1 & - 1\\1 & 2} \bmat{x \\ y} $$ Her får vi følgende fasediagram:  ## Teknikker for å tegne fasediagrammer # Lineære systemer Et lineært dynamisk system over $n$ variable er et system på følgende form: $$ \begin{align} \dot{x_1} &= f_1(x_1,\dots,x_n) \\ \dot{x_2} &= f_2(x_1,\dots,x_n) \\ \dots& \\ \dot{x_n} &= f_n(x_1,\dots,x_n) \end{align} $$ hvor hver $f_n$ er en lineær funksjon. En alternativ måte å skrive systemet på er $$ \bmat{\dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dots \\ \dot{x_n}} = A\bmat{x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n} $$ hvor $A$ er en $n \times n$-matrise med reelle tall. **Eksempel.** La $$ \begin{align} \dot{x} &= 2x - 3y \\ \dot{y} &= x + y \end{align} $$ være et dynamisk system i to dimensjoner. Systemet kan også skrives $$ \bmat{\dot{x} \\ \dot{y}} = \bmat{2 & - 3 \\ 1 & 1}\bmat{x \\ y} $$ # Likevektspunkter Om vi tar en titt på følgende fasediagram  ser vi fort at vi i origo må ha $\bmat{\dot{x}\\\dot{y}} = 0$. Et slikt punkt kalles et **likevektspunkt**. Det er forskjellige typer likevektspunkter, og noen systemer kan ha flere likevektspunkter. Et lineært system har alltid *ett*, og bare ett, likevektspunkt. Vi klassifiserer likevektspunkter inn i følgende grupper: * Sentre * Stabil Node * Stabil Spiral * Ustabil Node * Ustabil Spiral * Sadelpunkt * Degenerert stabil node * Degenerert ustabil node For å finne ut hva slags likevektspunkt et system har, holder det å regne på matrisen $A$. I det to-dimensjonale tilfellet, hvor $A = \bmat{a & b \\ c & d}$, (som også er det tilfellet vi jobber mest med), regner vi ut følgende verdier: $$ p = a + d \\ q = ad - cb \\ \Delta = p^2 - 4q $$ Utifra dette kan vi bestemme typen likevektspunkt via følgende tabell: || Senter || p = 0 || q > 0 || \Delta > 0 || || Stabil node || p < 0 || q > 0 || \Delta > 0 || || Stabil spiral || p < 0 || q > 0 || \Delta < 0 || || Ustabil node || p > 0 || q > 0 || \Delta > 0 || || Ustabil spiral || p > 0 || q > 0 || \Delta < 0 || || Sadelpunkt || -- || q < 0 || \Delta > 0 || || Degenerert stabil node || p < 0 || q > 0 || \Delta = 0 || || Degenerert ustabil node || p > 0 || q > 0 || \Delta = 0 || Vi kan se en oversikt over alle mulighetene i følgende bilde  Et grei mengde huskeregler er følgende: * $q < 0$ er et sadelpunkt * $p = 0$ er et senter * $\Delta \geq 0$ er en node * $\Delta < 0$ er en spiral * $p < 0$ er stabilt, $p > 0$ er ustabilt * $\Delta = 0$ er en degenerert node Om dimensjonen på systemet er $> 2$, generaliserer vi formlene til $$ p = tr(A) \\ q = \det(A) \\ \Delta \mathrm{\,as\,before} $$ **Eksempel.** La oss ta systemet fra eksemplet i forige seksjon. $$ \bmat{\dot{x} \\ \dot{y}} = \bmat{2 & - 3 \\ 1 & 1}\bmat{x \\ y} $$ Vi regner ut $p, q$ og $\Delta$: $$ p = 2 + 1 = 3 \\ q = 2\cdot1 - (1\cdot -3) = 5 \\ \Delta = 3^2 - 4*5 = 9 - 20 = -11 $$ Vi vet dermed at vi har en spiral (av $\Delta < 0$) og at den er ustabil $p > 0$. Fasediagrammet av systemet kan sees i bildet under: .

# Hamiltonske systemer # Indekser # Grensesykler # Stabilitet # Liapunovmetoden # Poincaré-Bendixson og Hartman-Grobman # Nyttige tabeller