TMA4165: Differensialligninger og Dynamiske Systemer
Repetisjon
Definisjoner
En differensiallikning er en relasjon mellom en variabel og dens deriverte. En førsteordens-differensiallikning inneholder ledd derivert maksimalt én gang. andreordens med ledd derivert maksimalt to ganger.
En lineær differensiallikning er en differensiallikning hvor alle ledd vedrørende den primære variablen er lineære. For eksempel er
en lineær differensiallikning, mens
ikke er en lineær differensiallikning, siden leddet
Likninger som f.eks.
er heller ikke lineære, siden
En homogen differensiallikning er en likning på formen,
Reversert, har vi at en uhomogen differensiallikning er på formen
Et likningssystem av første orden over
Eksempelvis er
ett eksempel på et likningssystem. Vi kan alternativt skrive likningssystemet på matriseform:
En alternativ notasjon for den deriverte, som vi og kommer til å bruke videre, er Newtons notasjon for tidsderiverte:
Løsningen til lineære systemer
Separable lineære første-ordens likninger
Om vi har en lineær likning av første-orden på formen
kaller vi likningen separabel. I så tilfelle kan vi løse den på følgende måte:
Vi kan så regne ut de ubestemte integralene, og finne et utrykk for
Eksempel. Løs likningen
Løsning.
Dette eksemplet fører oss til følgende proposisjon:
Proposisjon 1. Enhver første-ordens lineær differensiallikning på formen
$$ y' - f(t)y = 0$$ har løsning$$ y(t) = k\exp\left(\int f(t) \dt\right) $$
Bevis. Ta eksemplet ovenfor og erstatt
Generelle lineære første-ordens likninger
Lemma. Løsningen til en første-ordens lineær differensiallikning
$$ x' + f(t)x = g(t) $$ er
$$ x(t) = \frac{\int h(t)g(t)\dt + C}{h(t)},\> h(t) = ke^{\int f(t) \dt} $$
Bevis.
La
Vi ser nå at vi venstresiden danner resultatet av en produktderivasjon, og trekker sammen:
Vi integrer så på begge sider:
Merk at vi skriver
Vi trenger nå bare å vise at
Vi ser at om vi setter inn utrykket vårt for
Med andre ord forsvinner
Dette fullfører beviset.
I faktiske utregninger bruker vi gjerne heller utledningen ovenfor steg for steg, heller enn formelen.
Eksempel
La
Finn
Løsning.
Vi finner først
Vi setter så inn
hvor
Andre-ordens likninger
Av "alle differensiallikninger", er det forholdsvis få som har en endelig, lukket, og lettleselig form. Dette kan gjøre det vanskelig å analysere løsningen til differensiallikningen. En av metodene en kan bruke til å trekke ut interessant informasjon om systemet, er ved et fasediagram.
En-dimensjonal differensiallikning
La oss bruke et eksempel for å få litt intuisjon bak nytten til et fasediagram.
Vi ser på differensiallikningen
Vi ignorerer for øyeblikket at vi kan finne den generelle løsningen for systemet.
La oss skrive om likningen vår til et likningssystem av to variable:
Så hva hjelper dette oss, mon tro? Jo, det vi nå kan gjøre er å plotte et fasediagram, hvor vi ved vært punkt
Dette diagrammet forteller oss hvordan
To-dimensjonale autonome systemer
For to-dimensjonale autonome systemer har vi relasjonene
Fasediagrammet for et to-dimensjonalt system konstrueres analogt som for det en-dimensjonale tilfellet.
Ta for eksempel
Her får vi følgende fasediagram:
Teknikker for å tegne fasediagrammer
Lineære systemer
Et lineært dynamisk system over
hvor hver
hvor
Eksempel.
La
være et dynamisk system i to dimensjoner.
Systemet kan også skrives
Likevektspunkter
Om vi tar en titt på følgende fasediagram
ser vi fort at vi i origo må ha
Det er forskjellige typer likevektspunkter, og noen systemer kan ha flere likevektspunkter. Et lineært system har alltid ett, og bare ett, likevektspunkt.
Vi klassifiserer likevektspunkter inn i følgende grupper:
- Sentre
- Stabil Node
- Stabil Spiral
- Ustabil Node
- Ustabil Spiral
- Sadelpunkt
- Degenerert stabil node
- Degenerert ustabil node
For å finne ut hva slags likevektspunkt et system har, er det tilstrekkelig å regne på matrisen
Utifra dette kan vi bestemme typen likevektspunkt via følgende tabell:
Senter | p = 0 | q > 0 | |
Stabil node | p < 0 | q > 0 | |
Stabil spiral | p < 0 | q > 0 | |
Ustabil node | p > 0 | q > 0 | |
Ustabil spiral | p > 0 | q > 0 | |
Sadelpunkt | -- | q < 0 | |
Degenerert stabil node | p < 0 | q > 0 | |
Degenerert ustabil node | p > 0 | q > 0 |
Vi kan se en oversikt over alle mulighetene i følgende bilde:
Noen greie huskeregler er følgende:
$q < 0$ er et sadelpunkt$p = 0$ er et senter$\Delta \geq 0$ er en node$\Delta < 0$ er en spiral$p < 0$ er stabilt,$p > 0$ er ustabilt$\Delta = 0$ er en degenerert node
Om dimensjonen på systemet er
Eksempel. La oss ta systemet fra eksemplet i forige seksjon.
Vi regner ut
Vi vet dermed at vi har en spiral (av
.
Ulineære systemer
Ikke alle dynamiske systemer av interesse er lineære systemer. Vi bruker derfor noe krefter på å analysere ulineære systemer.
Et par eksempler
Det interessante med ulineære systemer, er at de kan ha (og ofte har) flere likevektspunkter. Ta for eksempel:
Vi har likevektspunkter når
Vi har dermed likevektspunktene
Praktisk utledning av likevektspunkter for ulineære systemer
For ulineære systemer er det ikke helt åpenlyst hvordan man skal gå frem for å klassifisere likevektspunktene til systemet. Det er åpenlyst at vi ikke kan bruke metoden i den forige seksjonen, gitt at den gir klassifiseringen til ett likevektspunkt, hvorav vi her kan ha flere.
Vi kan dog se på den den lineariserte versjonen av systemet nært hvert punkt, og deretter anvende metoden i forige seksjon. Med dette menes det at vi estimerer likningene i systemet vårt som en taylorrekke i første ledd. Geometrisk sett burde den lineariserte løsningen være tilnærmet den faktiske løsningen.
Vi viser et 2-dimensjonalt eksempel, og utleder i samme sleng de relevante formlene:
Eksempel.
Vi har her likevektspunkter når
Dette gir oss de to punktene
Vi utvikler så utrykkene for
hvor
Vi ser på punkt for punkt:
Her har vi lineariseringen
Dette gir oss
Her har vi lineariseringen
Dette gir oss
Fasediagrammet til systemet ser du under:
Dette diagrammet er ikke altfor umulig å tegne selv, gitt at hva du vet om likevektspunktene.
Hamiltonske systemer
Et hamiltonsk system er beskrevet av en funksjon
I vår notasjon kan kan vi skrive dette som
Siden
Løsning av hamiltonske systemer
Har vi et hamiltonsk system gitt ved
Eksempel.
La
være et dynamisk likningssystem. Vi verifiserer først at systemet representerer at hamiltonsk system:
La oss så finne
Vi angriper først utrykket for
Vi har nå ett utrykk for
Siden disse utrykkene for
altså må
Likevektspunkter for hamiltonske systemer
Hamiltonske systemer har den hendige attributten at de bare har to typer likevektspunkter, sadler og sentere. Lar vi
Vi kan nå regne ut
Eksempel.
Indekser
Til en kurve
La
Se så på vektorene i fasediagramet som ligger på kurven. Gå så en runde mot klokken rundt hele kurven. Når du kommer tilbake til startpunktet, har du fått samme vektor som du startet med, dog den kan ha gjort en rotasjon på veien rundt kurven. Antall rotasjoner gjort mot klokken kalles for indeksen til kurven.
En konkret formel for indeksen til en kurve er gitt ved:
Rundt et likevektspunkt
La
Til en kurve v2
Proposisjon. Indeksen til en kurve er summen av indeksen til alle likevektspunkter.
Bevis. Utelatt. Om du ønsker å vise det selv, så er dette en bevismal:
- Vis at alle kurver rundt et likevektspunkt har samme indeks.
- Vis først for to likevektspunkter: La
$\Gamma_1$ og$\Gamma_2$ være to kurver rundt de to punktene, respektivt. - Lag en ny kurve
$\Gamma_3$ slik at$\Gamma_1 + \Gamma_2 \subset \Gamma_3$ og indeksen til$\Gamma_3 = I_1 + I_2$ , ved å la$\Gamma_3$ være 'tilstrekkelig nærme$\Gamma_1 + \Gamma_2$ . - Via 1. vil alle kurver rundt de to punktene ha riktig indeks.
- Induksjon til
$n$ punkter.
Indeksen ved uendelig
La
Det er mulig å definere indeks ved uendelig noe mer rigorøst, for så å utlede formelen ovenfor. Vi gjør ikke dette her.
Indeks til forskjellige typer likevektspunkter
Vi har følgende indekser for likevektspunktene våres:
Sadelpunkt | |
Spiral, senter og node |
Eksempel. Vi ser igjen på systemet
La så
Løsning.
Fra før vet vi at systemet har to likevektspunkter, ett i
Vi vet dermed at indeksen til de to punktene er henholdsvis
For å finne indeksen til kurven
Bendixsons indexformel
Bendixson fant en nyttig formel for å regne ut indeksen rundt mer komplekse punkter, som kanskje grenser til både parabolske, hyperbolske og elliptiske regioner. Uformelt forklart er en parabolsk region/sektor ett område rundt et likevektspunkt hvor alle faselinjer treffer likevektspunktet én gang. Hyberbolske har faselinjer nogenlunde lik hyperbler, og ingen faselinjer her treffer likevektspunktet. I elliptiske regioner starter og slutter alle faselinjer i likevektspuntet.
Teorem. Rundt et likevektspunkt gjelder følgende formel:
$$I = 1 + \frac {e - h} 2$$ hvor$e$ er antall elliptiske regioner og$h$ er antall hyperbelske regioner.
Bevis. Utelatt. Kan vises ved å se på hvordan en vektor langs en kurve vil roteres langs de respektive områdene.
Periodiske løsninger og grensesykler
Generelt
En periodisk løsning til et system
Et typisk eksempel er en pendel uten friksjon med lav svingehastighet (lav nok til at pendelen ikke "går rundt").
En grensesykel til et system
Grensesykler er interessante når de oppstår, spesielt stabile grensesykler, siden disse representerer en endelig tilstand for systemet, gitt en familie med forskjellige initialverdier.
Ved polarkoordinater
Visse systemer har veldig tydelig en periodisk løsning ved transformering til polarkoordinater. Vi minner om følgende forhold mellom kartesiske og polarkoordinater:
siden
Eksempel. Vis at systemet
har en periodisk løsning.
Løsning. Vi gjør om til polarkoordinater:
Vi skriver
Vi har dermed systemet
Setter vi
Bendixsons negative kriterie
Teorem. La
$\Omega$ være en enkelt sammenhengende region i et fasediagram. Om$$ \frac{\partial X}{\px} + \frac{\partial X}{\py} $$ har samme fortegn overalt i$\Omega$ , kan ikke systemet ha en lukket (periodisk) løsning i$\Omega$ .
Bevis. Følger mer eller mindre direkte av divergensteoremet. Om du ønsker en noe intuitiv forklaring:
Se på akselerasjonskomponentene i en sirkelbane, de forandrer periodisk fortegn for å endre hastigheten rundt sirkelen. Summen av disse må dermed også skifte fortegn periodisk. Deformerer du sirkelen i én region, vil du endre akselerasjonen her, men "gjennomsnittelig" vil akselerasjonen over regionen være den samme. Dermed må du i enhver lukket periodisk bane ha endring i fortegn.
Eksempel.
La oss se på
Dermed kan ikke systemet ha noen lukkede stier i fasediagrammet.
Poincaré-Bendixson
Vi har nå kommet til det viktigste teoremet i pensum, Poincaré-bendixson. Før vi formelt definerer teoremet, skal vi opparbeide oss litt motivasjon og intuisjon rundt det.
Det er ofte slik at vi ønsker å finne grensesykler og/eller likevektspunkt til et dynamisk system, men dette er vanskelig direkte fra utrykket for systemet. En måte vi kan vise eksistens på er ved følgende prosedyre:
Finn først et lukket område
Hva vet vi om dette området? Vel, vi vet at siden alle faselinjer på tvers av grensen til området peker innover, må alle faselinjer "slutte" i området. En vilkårlig faselinje i området har dermed tre mulige utfall: Konvergens mot en grensesykel, en lukket sykel eller konvergens mot et likevektspunkt. Vi kan videre spesifisere naturen av utfallet ved å prøve å finne en annulus
Diskusjonen vår ovenfor er nettopp teoremet til Poincaré-Bendixson (med et veldig uformelt "bevis"):
Teorem (Poincaré-Bendixson). La
$\Omega$ være et lukket bundet område uten singulære punkter i fasediagrammet til et dynamisk system$\dot {\bf x } = \bf {X(x)}$ . La$\Gamma$ være en kurve hvor en positiv halvsti er fullstendig inneholdt i$\Omega$ . Da har$\Gamma$ tre mulige klassifiseringer: (i) konvergens mot et likevektspunkt, (ii)$\Gamma$ er en lukket sykel, (iii)$\Gamma$ konvergerer mot en lukket sykel. Bevis. Utelatt, se her for et forståelig bevis.
Merk at vi i punkt (iii) av teoremet sier "lukket sykel", og ikke grensesykel. Dette er fordi den lukkede syklen kan konvergere mot en polysykel.
Problemet med å bruke teoremet i praksis er å finne lukkede bundete områder slik at vi kan avnende teoremet. En måte å gjøre det på er å regne ut divergensen til systemet over en lukket kurve på en "fornuftig form". Ofte er sirkler eller ellipser brukt.
Eksempel. [#]TODO
Stabilitet
Vi ønsker å formalisere i litt større grad idéen om stabilitet, og videre differensiere i litt større grad mellom forskjellige typer stabilitet. Intuitivt vet vi at stabilitet impliserer at tilstanden til systemet ikke divergerer, selv ved små forstyrrelser.
Poincaréstabilitet
Den første typen stabilitet vi definerer er Poincaréstabilitet, også kalt for sti-stabilitet, for autonome systemer. Uformelt sier vi at et system er Poincaréstabilt hvis enhver forstyrrelse fra enhver sti gjør at den nye stien holder seg en bundet distanse ifra den originale stien, avhengig av størrelsen på forstyrrelsen. Formelt:
Definisjon. La
$\Gamma$ være en sti for løsningen$\bf x(t)$ av systemet$\bf{\dot x} = \bf{X(\bf x)}$ , som starter ved$t = t_0$ i$a$ . Om vi for enhver$\epsilon > 0$ kan finne$\delta(\epsilon) > 0$ slik at for enhver sti$\Gamma'$ med løsning$x^*(t)$ som starter i$a^*$ ved$t = t_0$ , så har vi:$$\|a - a^*\| < \delta \implies \max \|x - x^*\| < \epsilon$$
En autonom sti som ikke er Poincaréstabil kalles for ustabil.
Merk at stien
Her denoterer
Liapunovstabilitet
For systemer som ikke nødvendigvis er autonome har vi den noe ekvivalente definisjonen for Liapunovstabilitet:
Definisjon. La
$\Gamma$ være en halvsti for løsningen$\bf x(t)$ av systemet$\bf{\dot x} = \bf{X(\bf x)}$ , med start i$t_0$ . Om vi for enhver$\epsilon > 0$ kan finne$\delta(\epsilon, t_0) > 0$ slik at for enhver halvsti$\Gamma'$ med løsning$x^*(t)$ med start i$t_0$ , så har vi$$\|x(t_0) - x^*(t_0)\| < \delta \implies \max \|x(t) - x^*(t)\| < \epsilon,\quad\forall\,t > t_0$$
Vi ser at den eneste forskjellen til Poincaréstabilitet er avhengigheten på
En ikke-autonom sti som ikke er Liapunovstabil kalles for ustabil.
Definsisjon. La
$\Gamma$ være en Liapunovstabil halvsti som definert i forige definisjon. Om$\delta$ i definisjonen bare avhenger av$\epsilon$ og ikke$t_0$ , sier av at stien er uniformt stabil.
En uniformt stabil sti er en som sti som er stabil uavhengig av startpunkt. Alle stabile stier i autonome systemer er åpenlyst uniforme.
En siste ønskelig attributt er at stien er asymptotisk stabil. Intuitivt kan vi forklare det som at en hver forstyrrelse fra en stabil sti vil konverge tilbake til stien. Dette er mønsteret vi for eksempel ser i fasediagram rundt stabile noder og stabile spiraler.
Definisjon. La
$\Gamma$ være en stabil sti for$t > t_0$ . Om det finnes en$\eta(t_0) > 0$ slik at$$ \|x(t_0) - x^*(t_0)\| < \eta \implies \lim_{t \to \infty} \|x(t) - x^*(t)\| = 0$$ sier vi at stien er asymptotisk stabil.
Tabell
Vi har følgende stabiliteter for forskjellige likevektspunkter
Sadelpunkt | Ustabil |
Stabil node | Poincaréstabil, uniformt og asymptotisk |
Stabil spiral | Poincaréstabil, uniformt og asymptotisk |
Ustabil node/spiral | Ustabil |
Senter | Poincaréstabil, uniformt |
Lineære $n \times n$ -systemer
Teorem. La
$\bf {\dot x} = \bf A(t) \bf x$ være et lineært system, hvor$A$ er en$n\times n$ matrise med tilhørende matrisenorm:
$$ \| A \| = \sum_{i,j}\left|A_{i,j}\right| $$ Da er alle løsninger Liapunovstabile hvis og bare hvis alle løsninger er bundede når$t \to \infty$ . Om$A$ er constant og hver løsning er bundet, er alle løsninger uniformt stabile.
Bevis. Utelatt.
Teorem. La
$\bf {\dot x} = A \bf x$ være et system med konstant matrise$A$ med eigenverdier$\lambda_i$ . Da gjelder følgende: (i) Om systemet er stabilt er$\mathrm{Re}(\lambda_i) \leq 0\,\forall i$ .(ii) Om systemet er uniformt stabilt er
$\mathrm{Re}(\lambda_i) < 0\,\forall i$ , eller så er$\Re(\lambda_i) \leq 0\,\forall i$ uten repeterte$0$ -løsninger.(iii) Om systemet er uniformt stabilt er
$\mathrm{Re}(\lambda_i) < 0\,\forall i$ . (Det er dermed også uniformt stabilt av (ii).
Bevis. Utelatt.
Generelle $n \times n$ -systemer
Teorem. La
$\bf {\dot x} = \left(A + C(t)\right)\bf x$ være et dynamisk system hvor$A$ er en konstant matrise,$C$ er kontinuerlig for$t_0 \leq t < \infty$ , og hvor$A$ har eigenverdier med negativ reell-del. Om$$ \int_{t0}^t \| C(t)\| < \infty$$ så er alle løsningene til$\bf x$ asymptotisk stabile.
Bevis. Utelatt.
Liapunovmetoden
Liapunovfunksjoner
En veldig nyttig måte å teste for stabilitet faller ganske naturlig ut av Poincaré-Bendixsons teorem. Vi minner på diskusjonen som kommer før det formelle teoermet. Vi sa her at om vi har et lukket og bundet område
Så, hvordan finner vi et slikt område? Vi leter etter en kurve
Vi krever for øvrig at
Om
Teorem. Om
$V(x,y)$ er en test-funksjon som tilfredstiler kravene til en Liapunov test-funksjon, og vi vet at$V$ for alle$\alpha$ ikke er en fasesti i$\Omega$ , så er det dynamiske systemet asymptotisk stabilt.Teorem. La
$\bf {\dot x} = \bf A\bf x +\bf h(\bf x)$ være et to-dimensjonalt system slik at størrelsesordene til$h$ er mindre enn$A$ . Da er stabilitetsattributene til systemet$\bf {\dot x} = \bf A x$ det samme som det for det originale systemet.
Ustabilitetstest
Følgende teorem gir en enkel stabilitetstest for
Teorem. La
$\bf x(t) = 0$ være,$t > t_0$ være null-løsningen til et autonomt dynamisk system$\bf x(t) = \bf X(\bf x)$ hvor$\bf X(\bf 0) = \bf 0$ . Hvis det finnes en funksjon$U(x)$ i et nabolag av rundt$\bf 0$ slik at$\|\bf x\| < k$ ($\bf x$ er bundet) og(i)
$U(\bf x)$ og dens deriverte er kontinuerlige(ii)
$U(\bf 0) = 0$ (iii)
$\dot U(\bf x)$ er positiv-definitiv i systemet.(iv) For et hvert, arbitrært lite, nabolag rundt
$\bf 0$ , finnes det et punkt$\bf x$ s.a.$U(\bf x) > 0$ .
Matriseeksponenter
Matriseekspontenten
Det kan vises at denne summen konvergerer for alle
La
hvor
Da er
Hartman-Grobman
Vi har i løpet av hele pensum brukt dette teoremet uten å egentlig vite det. Når vi sier ting som "vi antar at den lineariserte versjonen av systemet har samme oppførsel som systemet i seg selv", invokerer vi egentlig Hartman-Grobman. Vi gir her en noe uformell versjon av teoremet:
Teorem. La
$\bf {\dot x} = f(\bf x)$ være et dynamisk system, med linearisering$\bf {\dot x} = A\bf x$ hvor$A$ er jakobianmatrisen$Df(\bf x)$ . La$x^*$ være et likevektspunkt til systemet, som er flyttet til origo (Dette er ok gitt translasjonsinvarians). Da finnes det en homeomorfi mellom det originale ulineære systemet og flyten gitt av$e^{At}$ til det lineære systemet.
Bevis. Se her.
Bifurkasjoner
Summa summarum
Formler
Linearisering av et ulineært system i 2 dimensjoner
Linearisering av et ulineært system i n dimensjoner
Hamiltonsk system
Indeks til en kurve
Indeks ved uendelig
Bendixsons indeksformel
Tabell for likevektspunkter
Senter | p = 0 | q > 0 | |
Stabil node | p < 0 | q > 0 | |
Stabil spiral | p < 0 | q > 0 | |
Ustabil node | p > 0 | q > 0 | |
Ustabil spiral | p > 0 | q > 0 | |
Sadelpunkt | -- | q < 0 | |
Degenerert stabil node | p < 0 | q > 0 | |
Degenerert ustabil node | p > 0 | q > 0 |
Indekstabell
Sadelpunkt | |
Spiral, senter og node |
Stabilitetstabell
Sadelpunkt | Ustabil |
Stabil node | Poincaréstabil, uniformt og asymptotisk |
Stabil spiral | Poincaréstabil, uniformt og asymptotisk |
Ustabil node/spiral | Ustabil |
Senter | Poincaréstabil, uniformt |