TMA4165: Differensialligninger og Dynamiske Systemer
$$
\newcommand{\dt}{\,\mathrm{d}t}
\newcommand{\dx}{\,\mathrm{d}x}
\newcommand{\dy}{\,\mathrm{d}y}
\newcommand{\dh}{\,\mathrm{d}h}
\newcommand{\QEDA}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}
\newcommand{\QEDB}{\hfill\ensuremath{\square}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
$$
# Repetisjon
## Definisjoner\dot{x} = \frac{\mathr{d}x}{\mathrm{d}t}
$$dt}{\dx}
$$
# # Løsningen til lineære systemer
### Separable lineære første-ordens likninger
Om vi har en lineær likning av første-orden på formen
$$
\frac{dx}{dt} = f(x)g(t)
$$
kaller vi likningen **separabel**. I så tilfelle kan vi løse den på følgende måte:
$$
\begin{align}
\frac{\dx}{\dt} =& f(x)g(t) \\
\frac{\dx}{f(x)} =& g(t)\dt \\
\int \frac{\dx}{f(x)} =& \int g(t) \dt \\
\end{align}
$$
Vi kan så gjennomføre de ubestemte integralene, og finne et utrykk for $x$.
** Eksempel.** Løs likningen
$$
x' - cos(t)x = 0
$$
*Løsning*.
$$
\begin{align}
\frac{\dx}{\dt} =& \cos(t) x \\
\int\frac{\dx}{x} =& \int \cos(t) \dt \\
\ln(x) =& \sin(t) + C \\
x(t) =& k\exp\left(sin(t)\right)
\end{align}
$$
Dette eksemplet fører oss til følgende proposisjon:
> **Proposisjon.** Enhver første-ordens lineær differensiallikning på formen
> $$ y' - f(t)y = 0$$
> har løsning
> $$ y(t) = k\exp\left(\int f(t) \dt\right) $$
*Bevis.* Ta eksemplet ovenfor og erstatt $cos(t)$ med $f(t)$.
### Generelle lineære første-ordens likninger
> **Lemma.** Løsningen til en første-ordens lineær differensiallikning
>
>$$
>x' + f(t)x = g(t)
>$$
>
>er
>
>$$
>x(t) = \frac{\int h(t)g(t)\dt + C}{h(t)},\> h(t) = ke^{\int f(t) \dt}
>$$
*Bevis.*
La $h(t)$ være en funksjon av $t$, slik at $h(t)f(t) = h'(t)$. Gang nå hele systemet med $h(t)$:
$$
\begin{align}
h(t)x'(t) + h(t)f(t)x(t) =& h(t)g(t) \\
h(t)x'(t) + h'(t)x(t) =& h(t)g(t) \\
\end{align}
$$
Vi ser nå at vi venstresiden danner resultatet av en produktderivasjon, og trekker sammen:
$$
(h(t)x(t))' = h(t)g(t)
$$
Vi tar så å integrer på begge sider:
$$
\begin{align}
\int (h(t)x(t))' \dt &= \int h(t)g(t) \dt \\
h(t)x(t) - C &= \int h(t)g(t) \dt \\
x(t) =& \frac{\int h(t)g(t)\dt + C}{h(t)}
\end{align}
$$
Merk at vi skriver $-C$ istedenfor $C$ utelukkende av estetiske grunner (En arbitrær konstant i $\R$ sitt fortegn er likegyldig).
Vi trenger nå bare å vise at $h$ eksister, og forhåpentligvis i samme sleng finne en formel for å konstruere $h$ i samme sleng. Vi kan bruke separasjon av variable, og får:
$$
\begin{align}
h(t)f(t) =& h'(t) \\
f(t) =& \frac{h'(t)}{h(t)}\\
f(t) =& (\ln( h(t)))' \\
\int f(t) \dt =& ln(h(t))+k \\
h(t) =& \exp\left({\int f(t) \dt +k_0}\right) \\
h(t) =& k\exp\left({\int f(t) \dt}\right)
\end{align}
$$
Vi ser at om vi setter inn utrykket vårt for $h$ i utrykket for $x(t)$ vil konstanten $k$ inntre både i nevner og første ledd i teller. Trekker vi ut $k$ av teller, og forkorter, står vi igjen med:
$$
x(t) = \frac{\int \exp\left(\int f(t) \dt \right)g(t)\dt + \frac{C}{k}}{\exp\left(\int f(t) \dt \right)}
$$
Med andre ord forsvinner $k$ fra utrykket til $h$ og blir "en del av" konstanten $C$. Vi kan dermed "ignorere at den finnes" i faktiske utregninger.
Dette fullfører beviset.
$\square$
I faktiske utregninger bruker vi gjerne heller utledningen ovenfor steg for steg, heller enn formelen.
** Eksempel**
La
$$
y' - 2t\,y = 4.
$$
Fasediagraminn $y$.
*Løsning*.
Vi finner først $h(t)$ som definert over:
$$
h(t) = \exp\left(\int -2t \dt\right) \\
h(t) = \exp\left(-t^2\right) \\
$$
Vi setter så inn $h(t)$ i utrykket $(h(t)x(t))' = h(t)g(t)$, og integrerer
$$
\begin{align}
\left(\exp\left(-t^2)\right) x(t)\right)' &= \exp\left(-t^2\right)\cdot 4 \\
\left(\exp\left(-t^2)\right) x(t)\right) &= \int \exp\left(-t^2\right)\cdot 4 \dt \\
\left(\exp\left(-t^2)\right) x(t)\right) &= 8\sqrt{\pi}\,\mathrm{erf}(t) + C \\
x(t) &= \frac{8\sqrt{\pi}\,\mathrm{erf}(t) + C}{\exp\left(-t^2\right)} \\
\end{align}
$$
hvor $erf$ er [Gauss' error funksjon](https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function).
### Andre-ordens likninger
##
# Fasediagrammer
Av "alle differensiallikninger", er det forholdsvis få som har en endelig, lukket, lettleselig form. Dette kan gjøre det vanskelig å analysere løsningen til differensiallikningen. En av metodene én kan bruke til å trekke ut interessant informasjon om systemet, er ved et **fasediagram**.
## En-dimensjonal differensiallikning
La oss bruke et eksempel for å få litt intuisjon bak nytten til et fasediagram.
## To-dimensjonale systemer# Likevektspunkter
En **differensiallikning** er en relasjon mellom en **variabel** og dens deriverte. En **førsteordens**-differensiallikning inneholder ledd med **første-derivarte**, **andreordens** med andre-deriverte, og så videre.
En **lineær** differensiallikning er en differensiallikning hvor alle ledd er lineære. For eksempel er
$$
x'- x = t
$$
en lineær differensiallikning, mens
$$
x'^2 - x = t
$$
*ikke* er en lineær differensiallikning, siden leddet $x'$ er opphøyd i annen.
En **homogen** differensiallikning er en likning på formen,
$$
f(x, x', x'',\ldots,x^{(n)} = 0
$$
Reversert, har vi at en **uhomogen** differensiallikning er på formen
$$
f(x, x', x'',\ldots,y^{(n)} = g(t),\>g(t) \not\equiv 0
$$
Et **likningssystem** av første orden over $n$ variabler er et system med differensiallikninger
$$
\begin{align}
x_1 &= f_1(x_1,\dots,x_n) \\
x_2 &= f_2(x_1,\dots,x_n) \\
\dots& \\
x_n &= f_n(x_1,\dots,x_n)
\end{align}
$$
Eksempelvis er
$$
x' = 2x - y \\
y' = y + x
$$
ett eksempel på et likningssystem. Vi kan alternativt skrive likningssystemet på matriseform:
$$
\begin{bmatrix}
x' \\ y'
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 & - 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
$$
En alternativ notasjon for den deriverte, som vi og kommer til å bruke videre, er *Newtons* notasjon for tidsderiverte:
$$
# Lineære systemer
# Ulineære systemer
# Hamiltonske systemer
# Indekser
# Grensesykler
# Stabilitet
# Liapunovmetoden
# Poincaré-Bendixson og Hartman-Grobman
# Nyttige tabeller