TMA4165: Differensialligninger og Dynamiske Systemer
# Repetisjon
En **differensiallikning** er en relasjon mellom en **variabel** og dens deriverte. En **førsteordens**-differensiallikning inneholder ledd med **første-derivarte**, **andreordens** med andre-deriverte, og så videre.
En **lineær** differensiallikning er en differensiallikning hvor alle ledd er lineære. For eksempel er
$$
x'- x = t
$$
en lineær differensiallikning, mens
$$
x'^2 - x = t
$$
*ikke* er en lineær differensiallikning, siden leddet $x'$ er opphøyd i annen.
En **homogen** differensiallikning er en likning på formen,
$$
f(x, x', x'',\ldots,x^{(n)} = 0
$$
Reversert, har vi at en **uhomogen** differensiallikning er på formen
$$
f(x, x', x'',\ldots,y^{(n)} = g(t),\>g(t) \not\equiv 0
$$
Et **likningssystem** av første orden over $n$ variabler er et system med differensiallikninger
$$
\begin{align}
x_1 &= f_1(x_1,\dots,x_n) \\
x_2 &= f_2(x_1,\dots,x_n) \\
\dots& \\
x_n &= f_n(x_1,\dots,x_n)
\end{align}
$$
Eksempelvis er
$$
x' = 2x - y \\
y' = y + x
$$
ett eksempel på et likningssystem. Vi kan alternativt skrive likningssystemet på matriseform:
$$
\begin{bmatrix}
x' \\ y'
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 & - 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
$$
En alternativ notasjon for den deriverte, som vi og kommer til å bruke videre, er *Newtons* notasjon for tidsderiverte:
$$
\dot{x} = \frac{\mathr{d}x}{\mathrm{d}t}
$$
# Fasediagrammer
# Likevektspunkter
# Lineære systemer
# Ulineære systemer
# Hamiltonske systemer
# Indekser
# Grensesykler
# Stabilitet
# Liapunovmetoden
# Poincaré-Bendixson og Hartman-Grobman
# Nyttige tabeller