# Introduksjon ## Forord Kompendiet vil bli strukturert nesten regelrett etter oppbygningen til [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra] Under vil en kjapp repitisjon av mengder og relasjoner bli gitt. ## Mengde >Det er umulig å definere alle konsepter "En ku er et pattedyr". Men hva er et pattedyr? "Et pattedyr er en undergruppe av virveldyrene". Men hva er et virveldyr? "Virveldyr er dyr med et indre skjelett" Men hva er dyr?... ... Og slik kan du holde på til du ikke har flere ord igjen i ordboken, og må definere dine tidligere definisjoner med ord du allerede har brukt, og ender opp med sirkulære definisjoner. Dette gjelder også i matematikken. Dermed må vi ha et _udefinert, primitivt_ konsept som et startsted for videre definisjoner. I matematikken er dette konseptet en __mengde__. En mengde er en veldefinert samling av unike __elementer__, også kalt __objekter__. Hvis et element $a$ er i en mengde $S$, skriver vi dette $a \in S$. Det er en og bare en mengde uten elementer, kalt den __tomme mengden__, $\emptyset$. Det er flere måter å beskrive en mengde. En vanlig notasjon er klammeparenteser, for eksempel: $$ \{1, 2, 3, 4\} $$ Hvis vi vil ha en mengde med elementer som tilfredstiller et vilkårlig kriterie, $ P(x) $, skriver vi $$ \{x \>|\> P(x)\} $$ lest "mengden av alle x slik at P(x) er tilfredstilt". Vi kan også beskrive en mengde direkte, som "Mengden av alle røde biler i Oppdal", eller "Alle primtall". Beskrivelsene $$ \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ $$ \{x \>|\> x \in \mathbb{Z^+} \>\text{and}\> x < 6\} $$ $$ \text{Alle positive heltall mindre enn 6} $$ beskriver samme mengde. En mengde må være __veldefinert__. Det vil si at beskrivelser som "Mengden av noen tall over 10" ikke kan brukes om en mengder. På en annen side må vi ikke kjenne til alle elementer i en mengden for å beskrive mengden. Selv om vi ikke kjenner til alle primtall, kan vi uten problemer definere mengden "Alle primtall". En mengde som ikke er av uendelig størrelse, kalles en __endelig mengde__. ### Delmengde Vi sier at en mengde $B$ er en __delmengde__ av en mengde $A$, hvis alle elementer i B også er i A. Dette skrives $$ B \subseteq A $$ Hvis A inneholder elementer ikke i B, er B en __ekte delmengde__ av A, og skrives $$ B \subset A $$ B er en ekte delmengde av A hvis og bare hvis $B \subseteq A$ og $B \neq A $. For en hver mengde $A$ er $A$ den __uekte delmengden__ til A. En hver annen delmengde til $A$ er en ekte delmengde __Eksempel__ Finn alle delmengdene til $S = \{5, 4, 3\}$. Settet har åtte delmengder: $$ \emptyset, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}, \{3, 4, 5\} $$ Merk at rekkefølgen på elementene er uten betydning. ## Kartesisk produkt For to mengder $A$ og $B$ er det kartesiske produktet definert ved $$ A \times B = \{(a, b) | a \in A\> \text{and}\> b \in B\} $$ Altså alle mulige tupler dannet ved et element fra $A$ og ett fra $B$. __Eksempel__ La $A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}$. Finn $ A \times B$. $$ A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} $$ ## Noen viktige mengder || $\mathbb{Z}$ || Mengden av alle heltall|| || $\mathbb{Q}$ || Mengden av alle rasjonale tall|| || $\mathbb{R}$ || Mengden av alle reelle tall|| || $\mathbb{C}$ || Mengden av alle komplekse tall|| Mengden $\mathbb{Z}^+$ er mengden av alle positive heltall. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $\mathbb{Z}^*$ er mengden av alle heltall utenom $0$. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $R \times R$ er det to-dimensjonale euklidiske plan. En særdeles viktig mengde er mengden $\mathbb{Z}_n$, mengden av de $n$ første heltall (inklusiv 0). Vi vil ofte snakke om addisjon eller multiplikasjon modulo $n$ på denne mengden. ## Relasjoner En relasjon mellom to mengder er en delmengde $\mathscr{R}$ av $A \times B$. Vi sier for hvert element $(a, b)$ i denne delmengden, så er $a$ relatert til $b$, og skriver $a \>\mathscr{R}\> b$. Enhver relasjon mellom en mengde $A$ og seg selv er en __relasjon på__ $A$. Et eksempel på en relasjon er funksjonen $f(x) = x$, som kan skrives som delmengden $\{(x,x) | x \in \mathbb{R}\}$ av $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. En __funksjon__ $\phi$ som transformerer et element i $X$ til et element i $Y$ sies å være en __mapping__ mellom $X$ og $Y$. Dette skrives $\phi: \> X \; \rightarrow \; Y$. En slik funksjon er en relasjon mellom $X$ og $Y$. Vi skriver (som kjent) en relasjon mellom to elementer, $(x,y) \in \phi$, som $\phi(x) = y$. For en slik funksjon er $X$ __definisjonsmengden__, $Y$ __verdiområet__, og $phi[X]$ __verdimengden__ til $\phi$. ## Kardinalitet Kardinaliteten til en mengde $A$ er antall elementer i $A$. Kardinaliteten til en mengde $S = \{1,2,3\}$ er altså $3$. (TODO: Skrive om kardinaliteten til mengder som f.eks. $\mathbb{Z}?) ## Surjektivitet >En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __surjektiv__, eller __på__, hvis og bare hvis $\phi[X] = Y$. Altså hvis verdiene til $X$ etter å ha bli transformert av $\phi$, utgjør hele $Y$. Vi sier at $\phi$ er en surjeksjon fra $X$ på $Y$. (TODO: Eksempler) ## Injektivitet >En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __injektiv__, eller __en-til-en__, hvis og bare hvis for hver $y \in Y$, så finnes det bare en $x \in X$, s.a. $\phi(x) = y$. (TODO: Eksempler) ## Bijektivitet >En funksjon er __bijektiv__ hvis den er både injektiv og surjektiv. (TODO: Eksempler) ## Ekvivalensrelasjoner En relasjon er en __ekvivalensrelasjon__ på en mengde $S$ hvis den er __refleksiv, symmetrisk__ og __transitiv__. ### Refleksiv >En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er refleksiv hvis for hver $x \in S$, så er $x\>\mathscr{R}\>x$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (2,2), (1,3), (3,3)\}$$ ### Symmetrisk >En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er symmetrisk hvis for hver $x,y \in S$, og $x\>\mathscr{R}\>y$ så er $y\>\mathscr{R}\>x$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (2,3), (3,2)\} $$ ### Transitiv >En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er transitiv hvis for hver $x,y,z \in S$, og $x\>\mathscr{R}\>y$, $y\>\mathscr{R}\>z$, så er $x\>\mathscr{R}\>z$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (1,2), (2,3), (1,3) \} $$ ## Binære operasjoner En __binær operasjon__ $*$ på en mengde $S$, er en funksjon som mapper $S \times S$ til S. Vi skriver $*(a,b)$ som $a*b$. Operasjonen tilegner $(a,b)$ en annen verdi i $S$. Eksempelvis er $+$(addisjon) $\cdot$(multiplikasjon) binære operasjoner på $\mathbb{Z}$. >La $*$ være en binær operasjon på $S$, og la $H$ være en delmengde av $S$. $H$ er __lukket under__ $*$ hvis for alle $a, b \in H$, så er $a$*$b \in H$. I dette tilfellet hvor den binære operasjonen er begrenset til $H$, kaller vi operasjonen den __induserte operasjonen__ av $*$ på $H$. __Eksempel (2.6 i boka)__ La $+$ og $\cdot$ være de binære operasjonene addisjon og multiplikasjon på $\mathbb{Z}$, og la $H = \{x^2 \>|\>x \>\in\> \mathbb{Z^+}\}$. Er $H$ lukket under 1. Addisjon? 2. Multiplikasjon? Det kan først være greit å gjøre seg kjent med delmengden vår, $H$. Den er i kortfattethet mengden av alle kvadrater for positive heltall: $$\{1, 4, 9, \ldots\} $$ For addisjon ser vi at siden $1$ og $4$ begge er i $H$, men $1+4 = 5$ ikke er i $H$: $5 \notin H$. Så H er __ikke__ lukket under addisjon. For multiplikasjon går vi litt mer generelt til verks: La $x \in H$ og $y \in H$. Utifra definisjonen til $H$ (alle kvadrater), må det finnes $a, b \in S$ slik at $a^2 = x, b^2 = y$. Multiplikasjon mellom $x$ og $y$ kan dermed skrives $$ x\cdot y = a^2\cdot b^2 = (a\cdot b)^2 \in H $$ siden $(ab)^2$ også er et kvadrat. $H$ er dermed lukket under multiplikasjon. ### Kommutativitet >En binær operasjon $*$ er __kommutativ__ på en mengde $S$ hvis og bare hvis $$ a*b = b*a $$ for alle $a,b \in S$. ### Assosiativitet >En binær operasjon $*$ er __assosiativ__ på en mengde $S$ hvis og bare hvis $$(a*b)*c = a*(b*c)$$ for alle $a,b,c \in S$. ## Tabell-notasjon (TODO) ## Isomorfier (TODO) # Grupper >En __gruppe__ $\left<G, *\right>$ er en mengde $G$, lukket under en binær operasjon $*$, slik at de tre følgende aksiomene holder: > >$\mathscr{G}_1$: $*$ er assossativ: For alle $a, b, c \in G$ er > >$$ (a * b) * c = a * (b * c) $$ > >$\mathscr{G}_2$: Det finnes et element $e \in G$, kalt __identitetselement__, slik at for alle $x \in G$ er > >$$ e * x = x * e = x $$ > >$\mathscr{G}_3$: For hver $a \in G$, finnes det en __invers__ $a' \in G$, slik at > >$$ a * a' = e $$ Heretter kommer en gruppe $G$ med binær operasjon $*$ til å bli refert til som $G$ _under_ $*$. __Teorem__ For en gruppe $G$ under den binære operasjonen $*$, gjelder __høyre og venstre kanselleringslov__, dvs $$ a * b = a * c \Longleftrightarrow b = c $$ $$ b * a = c * a \Longleftrightarrow b = c $$ __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}$ en gruppe under (a) addisjon, (b) multiplikasjon? (a): Vi sjekker hvert aksiom: 1. (a+b)+c = a+(b+c). $+$ er assossiativ 2. Identitetselementet er $0$ siden $a + 0 = 0 + a = a$ 3. For en hver $x \in Z$ finnes det en invers $-x \in Z$. $\mathbb{Z}$ er dermed en gruppe under addisjon. (b): Vi sjekker hvert aksiom: 1. $(a\cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 2. $1\cdot a = a\cdot 1 = a$ 3. Her rakner det. I $\mathbb{Z}$ har vi ingen invers. Ta for eksempel tallet $4$. Tallet $b$ som gjør $b\cdot4 = 1$ er $b = \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ er dermed _ikke_ en gruppe under multiplikasjon. Vi går heretter igjennom eksempelene litt kjappere. __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}^*$ en gruppe under (a) addisjon, (b) multiplikasjon? (a): Fra det forige eksemplet vet vi at $\mathbb{Z}$ er en gruppe under addisjon. Men dette var avhengig av identitetselementet $0$, som vi ikke har i $\mathbb{Z}^*$. $\mathbb{Z}^*$ er dermed ikke en gruppe under addisjon. (b): $\mathbb{Z}^*$ er ikke en gruppe under multiplikasjon av samme argument som for eksemplet ovenfor: vi har ingen invers. __Eksempel__ Er $\mathbb{Q}^+$ en gruppe under (a) addisjon og (b) multiplikasjon? (a): $\mathbb{Q}^+$ er ikke en gruppe under addisjon siden for et element $q \in Q^+$ må en invers være $-q$, som ikke er i $\mathbb{Q}^+$. (b): 1. Multiplikasjon er assossiativt. 2. Identitet $e = 1$ 3. For enhver $q \in \mathbb{Q}^+$, har vi en $q' \in \mathbb{Q}^+$ definert ved $q' = 1/q$ som gjør $q \cdot q' = q \cdot \frac{1}{q} = 1$ $\mathbb{Q}^+$ er dermed en gruppe under multiplikasjon. __Eksempel__ La $G = \{1, 2, 3, 4\}$ og definer $*$ ved $ a * b =$ __min__$(a,b)$ hvor min er funksjonen som velger den minste av $a$ og $b$. eller $a$ hvis de er like. Er $G$ under $*$ en gruppe? Det holder å finne et moteksempel. Vi ser at $G$ har identitetselement $4$, siden $4$ er det største elementet. Samtidig har vi ingen invers, siden for enhver $a \in G$ og $a < 4$, vil $a * b < 4$ for hver $b \in G$. $G$ er dermed ikke en gruppe under $*$. _Utfordring:_ Er $*$ assossiativ? __Eksempel__ Vis at $\mathbb{Z}_n$ under addisjon modulo $n$ er en gruppe. For en $a \in \mathbb{Z}$, er addisjon modulo $n$ definert som resten av $a/n$. Ta for eksempel $a = 9$ og $n = 5$, i $\mathbb{Z}_5$ er $a$ resten av $9/5$, som er $4$. En kjapp teknikk for å regne ut dette er å trekke fra $a$ den høyeste multippel av $n$ som er mindre enn $a$. En annen definisjon ( som er bedre siden den ikke er avhengig av at deling og rest er definert) er at addisjon modulo $n$ er vanlig addisjon helt til du når et tall $n$, hvor du "starter på nytt". Et typisk eksempel er klokken, som opererer med addisjon modulo $12$. La oss først verifisere at $\mathbb{Z}_n$ er lukket under addisjon modulo $n$. Dette gjør vi ved å vise at addisjon modulo $n$ er veldefinert. La $a,b,c \in \mathbb{Z}_N$. Først må vi vise at operasjonen $+$ på to elementer $a, b$, gir et nytt element i $\mathbb{Z}_n$. Dette faller ut av definisjonen til addisjon på $\mathbb{Z}$. Videre er $+$ åpenlyst definert for alle elementer i $\mathbb{Z}_n$. Vi har også at hvis $a + b = a + c$, så er $b = c$. La oss så sjekke gruppeaksiomene: 1. $(a + b) + c = a + (b + c)$, dette faller rett ut av assossiativiteten til addisjon 2. $0$ er identitetselement 3. For enhver $a \in \mathbb{Z}_n$ finnes det en $a' \in \mathbb{Z}_n$ slik at $a a' = 0$, definert ved $a + a' = n$ i $\mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}_n$ er dermed en gruppe. ## Abelske grupper >En gruppe $G$ er abelsk hvis dens binære operasjon er kommutativ, altså > >$$ a * b = b * a $$ > >for hver $a,b \in G$. $\mathbb{Z},\> \mathbb{N},\> \mathbb{R}\> og\> \mathbb{C}$ under addisjon er alle abelske grupper. En binær operasjon på en abelsk gruppe benevnes ofte $+$. Generelt skrives binære operasjoner ofte bare ved sidestilling av elementer, i.e. $a * b = ab$. ## Endelige grupper Hittil, med unntak av det siste eksemplet under [Grupper](#grupper), har vi bare håndtert uendelige grupper. En __endelig gruppe__ er en mengde $G$ med et endelig antall elementer under en binær operasjon $*$. (TODO: Tabeller) ## Undergrupper >La $H$ være en mengde, og la $G$ være en gruppe med binær operasjon $*$. $H$ er en undergruppe av $G$, skrevet $H \leq G$, hvis $H$ er en delmengde av $G$, og $*$ er lukket under $H$. Hvis $H = G$, er $H$ den __uekte undergruppen__ av $G$. Gruppen $\{e\}$ er den __trivielle undergruppen__. Eksempelvis er $3Z$, gruppen av alle heltall delbar med $3$, i.e. $\{\dots -3, 0,3,6,\dots\}$, en undergruppe av $Z$ under addisjon, siden $3Z$ er lukket under addisjon. Vi har generelt tre krav som må tilfredstilles for at en gruppe $H$ skal være en undergruppe av en gruppe $G$: >En gruppe $H$ er en undergruppe av en gruppe $G$ hvis og bare hvis >1. $H$ er lukket under den binære operasjonen til $G$ >2. Identitetselementet til $G$ er også i $H$ >3. For alle $a \in H$, er også $a^{-1} \in H$ __Eksempel__ La $G = \mathbb{Z}_4$ under addisjon modulo $4$. Altså $\{0,1,2,3\}$. Og la $H = \{0, 2\}$. Er $H$ en undergruppe av $G$? Vi sjekker enkelt og greit kravene våre. Her kan vi sjekke alle kravene ved å teste alle elementer om vi vil. 1. Dette må åpenlyst være tilfelle. Men la oss verifisere det for å være på den sikre siden: $0 + 2 = 2,\> 2 + 0 = 2,\> 2 + 2 = 4 \equiv 0,\> 0 + 0 = 0$. 2. Identitetselementet til $G$ er $0$, som også er i $H$. 3. Vi har bare ett element ikke lik $0$ i $H$, nemlig $2$, som har invers $2$. $H$ er dermed en undergruppe av $G$. ## Sykliske grupper La oss slenge ut en påstand: >En endelig gruppe $G$ som inneholder et element $a$, må også inneholde alle $a^n,\>n \in \mathbb{Z}$. Dette kan vi bevise ganske enkelt ved induksjon (her gjort litt uformelt): Hvis $a$ er i $G$, må $a * a = a^2 \in G$, siden $G$ må være lukket under $*$. Tilsvarende, hvis $a^i \in G$, må $a^{i+1} \in G$. Det burde nå være enkelt å overbevise seg over følgende: >For en gruppe $G$ og et element $a \in G$, er undergruppen $H$ av G, definert ved > >$$ >H = \{a^n\:|\:n \in \mathbb{Z} \} >$$ > >den minste undergruppen som inneholder $a$. >Gruppen $H$ over er den __sykliske undergruppen av__ $G$ __generert__ av $a$, og skrives $\left<a\right>$, Hvis $a$ genererer $G$, er $a$ en __generator__ av $G$. > >Hvis en gruppe $G$ har en __generator__ er $G$ __syklisk__. __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}_{3}$ syklisk? Hvis ja, finn en generator. $\mathbb{Z}_3$ er syklisk. Vi ser at både $\left<2\right> = \{2, 4, 6\} = \{2, 1, 0\}$ og $\left<1\right> = \{1, 2, 0\}$ er generatorer. >__Ordenen til et element__ $a$ i en gruppe $G$, er ordenen til den sykliske gruppen $\left<a\right>$ generert av $a$. Hvis denne er uendelig, sier vi at $a$ er av __uendelig orden__. >Hver sykliske gruppe er abelsk __Bevis__ La $G$ være gruppen generert av $a$, og la $b,c \in G$. Da har vi at $b = a^m, c = a^n$ for $n, m \in \mathbb{Z}$. Det gir $$ bc = a^m a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n a^m = cb. $$ Merk at $a^{m+n} = a^{n+m}$ siden $\mathbb{Z}$ er abelsk. __Samme bevis med annen notasjon__ La $a, b, c$ som over. Da er $$ bc = \underbrace{aaa \ldots a}_\text{n} \underbrace{aaa \ldots a}_\text{m} = \underbrace{aaa \ldots a}_\text{m} + \underbrace{aaa \ldots a}_\text{n} = cb $$ ### Divisjonsalgoritmen for grupper >La $m$ være et positivt heltall, og la $n$ være et gitt heltall. Da finnes det heltall $q, r$ slik at > >$$ >n = mq + r,\quad 0 \leq r \le m >$$ Det blir ikke gitt noe bevis for dette her. Rent intuivt kan kanskje se at dette må være tilfelle, siden et hvert heltall kan skrives som en multippel av et annet heltall, pluss en rest. __Eksempel__ La $n = 5$ og $m = 3$, finn $q$ og $r$. $$ n = m\cdot q + r $$ Vi vet at $r$ er positiv og mindre enn $m$. Vi ser dermed at $m$ ikke kan være større enn $1$, vi ser faktisk at den må være $1$. Dermed er $r = 2$, og vi har $$ 5 = 1\cdot 3 + 2 $$ Dette virker knapt overraskende. Men vi skal nå bruke dette teoremet til noe litt viktigere. >En undergruppe av en syklisk gruppe er selv syklisk __Bevis__ > La $G$ være en syklisk gruppe med generator $a$, og la $H$ være en undergruppe av $G$. Hvis $H = \{e\}$ er vi ferdige. Hvis ikke, la $m$ være det minste positive heltallet slik at $a^m \in H$. > >La $a^m = c \in H$. Vi påstår at $c$ genererer $H$, altså $\left<c\right> = H$. Det må bety at hver $b \in H$ må være en potens av c (kravet for at H skal være syklisk). > >Så la oss skrive $b = a^n$. La oss nå bruke divisjonsalgoritmen og skrive >$$n = mq + r,$$ >slik at >$$ >a^n = a^{mq + r} \ >\implies a^r = a^n a^{-mq} >$$ > >Siden $a^{-mq}, a^n \in H$ er $a^r \in H$. Men dette kan ikke være mulig med mindre $r = 0$, siden vi har av divisjonsalgoritmen at $r < m$, og siden vi valgte $m$ til å være den minste positive potensen $a^m \in H$. Dermed er $r = 0$, og >$$ >a^n = a^{mq} \implies b = c^q >$$ Alle gruppene $n \mathbb{Z}$ hvor $n \in \mathbb{Z}$, er sykliske undergrupper av $\mathbb{Z}$, siden $\mathbb{Z}$ selv er syklisk, med generatorer $1$ og $-1$ >La $G$ være en syklisk gruppe av uendelig orden. Da er $G$ isomorf til $\left<\mathbb{Z}, +\right>$. # Permutasjonsgrupper De fleste har kanskje en ide om hva en permutasjon er. For en mengde kan man anse det som en _omstokking_ av elementene. La oss ta mengden $\{1,2,3,4\}$. En permutasjon av denne mengden kan være $\{3,4,2,1\}$. Vi skal håndtere permutasjonsgrupper, endelige grupper som omstokker på endelige mengder. >En permutasjon av en mengde $M$ er en funksjon $\phi\: :\: M \rightarrow M$ som er _bijektiv_ (altså en-til-en.) >Permutasjon er en binær operasjon. __Eksempel__ Ta utgangspunkt i permutasjonen $$ 1 \rightarrow 2 \\ 2 \rightarrow 3 \\ 3 \rightarrow 5 \\ 4 \rightarrow 4 \\ 5 \rightarrow 1 $$ og kall denne $\tau$. La $S = \{1,2,3,4,5\}$. Regn ut $\tau(S)$ og $\tau^2(S)$. Vi regner ut ved å bytte om elementene som indikert: $$ \tau(S) = \{2, 3, 5, 4, 1\} $$ $$ \tau^2(S) = \tau(\tau(S)) = \tau(\{2,3,5,4,1\}) = \{3, 5, 1, 4, 2\} $$ __Eksempel__ La S og $\tau$ være som over, og la $\sigma$ være $$ 1 \rightarrow 5 \\ 2 \rightarrow 2 \\ 3 \rightarrow 3 \\ 4 \rightarrow 4 \\ 5 \rightarrow 1 $$ Regn ut $\tau(\sigma(S))$ og $\sigma(\tau(S))$. Kan du si noe om kommutativiten til $\tau$ og $\sigma$? $$ \sigma(S) = \{5,2,3,4,1\} \\ \tau(S) = \{2, 3, 5, 4, 1\} \\ \tau(\sigma(S)) = \tau(\{5,2,3,4,1\}) = \{1,3,5,4,2\} \\ \sigma(\tau(S)) = \sigma(\{2,3,5,4,1\}) = \{2,3,1,4,5\} $$ Vi merker oss at resultatene ikke er kommuterer, og at gruppen av permutasjoner dermed ikke kan være abelsk. Merk også at vi regner ut fra høyre til venstre. Siden notasjonen brukt i eksemplene ovenfor kan være litt slitsom og klumpete, bruker vi ofte notasjonen $$ \tau = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 5, 4, 3, 2, 1 \end{array}\right) $$ for permutasjoner. Her indikerer hvert vertikalt par en avbildning. >La $A$ være en endelig gruppe med $n$ elementer $\{1,2,3,\dots,n\}$. Gruppen av alle permutasjoner på $A$, er den __symmetriske gruppen på n bokstaver__, $S_n$. Merk at vi har $n!$ permutasjoner på $A$, så $S_n$ har $n!$ elementer. >Gruppen $S_n$ er også den __n'te dihedrale gruppe__ $D_n$, som virker på den regulære $n$-kant. Denne gruppen er essensielt alle permutasjoner en kan gjøre på en regulær $n$-kant. $D_3$ er eksempelvis gruppen av alle permutasjoner på den regulære (likevinklede) trekant. (s. 79 i boken for den interesserte). ## Cayley's Teorem > Enhver gruppe er isomorf til en gruppe av permutasjoner. Alternativt kan man si at en enhver gruppe er isomorf til en delgruppe av $S_n$. ## Orbitaler La oss se på permutasjonen $$ \sigma = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 1, 4, 3, 2, 5 \end{array}\right). $$ Vi ser at permutasjonen bytter om $2$ og $4$, og at en kontinuerlig applikasjon av $\sigma$ vil fortsette å bytte $2$ i $4$ og $4$ i $2$. Mengden av $\{2,4 \}$ i $\sigma$ er en __orbital__. Orbitaler kan defineres ved en [ekvivalensrelasjon](#ekvivalensrelasjoner): >La $\sigma$ være en permutasjon av en mengde $A$. >La så $a, b \in A$, og la $~$ være en relasjon definert ved $a~b$ hvis og bare hvis $b = \sigma^n(a)$ for en $n\in \mathbb{Z}$. Merk analogien til [sykliske grupper](#sykliske-grupper). __Eksempel__ Finn alle orbitaler i permutasjonen $$ \sigma = \left(\begin{array}{cccccccc} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \\ 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6 \\ \end{array}\right). $$ Vi ser på hvert element. Til å begynne med er $\{1\}$ en ett-elements orbital. For $2$ har vi $2 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma} 4 \xrightarrow{\sigma} 2 \dots$, så vår neste orbital er $\{2,3,4\}$. $\{5\}$ er en ett-elements orbital. Til slutt har vi orbitalen $\{6,7,8\}$. >En orbital med __to__ elementer kalles en __transposisjon__. >En permutasjon $\tau$ er en __sykel__ hvis den har maksimalt en orbital med mer enn ett element. Vi bruker ofte en en-rads notasjon for sykler $$ \tau = (1,2,4) $$ Her tar permutasjonen $1$ til $2$, $2$ til $3$, og $4$ til $1$. Det må gjøres klart ved bruk av denne notasjonen hvilken mengde det er snakk om. Merk også at alle andre elementer ikke nevnt i notasjonen antas å permutere til seg selv. Permutasjonen $$ \sigma = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 1, 4, 3, 2, 5 \end{array}\right) = (2, 4), $$ er eksempelvis en sykel. Mens $$ \tau = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 1, 4, 5, 2, 3 \end{array}\right), $$ er ikke en sykel, siden den inneholder to orbitaler med to elementer: $\{2, 4\}$ og $\{3, 5\}$. ### Disjunkte sykler >To sykler er __disjunkte__ hvis de ikke inneholder samme element For eksempel er $\tau = (1,2,3)$, og $\sigma = (4,5,6)$ disjunkte. >Enhver permutasjon kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. # Restklasser # Lagranges Teorem # Endelig-genererte abelske grupper # Homomorphismer # Faktorgrupper # Gruppevirkninger # Ringer Hittil har vi bare diskutert _grupper_, som er en mengde $G$ med en tilhørende binær operasjon $*$. Det er av interesse for oss å diskutere mengder med _to_ tilhørende binære operasjoner, kalt ringer. >En __ring__ $\left<R, +, \cdot\right>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt _addisjon_ og _multiplikasjon_. For en slik ring $R$, er følgende aksiomer tilfredstilt: >$\mathscr{R}_1$: $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe. >$\mathscr{R}_2$: Multiplikasjonen er assosiativ >$\mathscr{R}_3$: For alle $a,b,c \in R$, gjelder den __venstre distributive lov__; >$$a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,$$ >og den __høyre distributive lov__; >$$(a+b)\cdot c = a\cdot c + a\cdot b.$$ Eksempler på ringer er $\left<\mathbb{Z}, +, \cdot\right>$, $\left<\mathbb{Q}, +, \cdot\right>$, og $\left<\mathbb{C}, +, \cdot\right>$. $M_n(\mathbb{R})$, mengden av $n \times n$-dimensjonale matriser, under addisjon og matrise-multiplikasjon, er også et eksempel på en ring. Det kan også vises at $\mathbb{Z}_n$ er en ring under addisjon og multiplikasjon, hvis multiplikasjon defineres til å være _resten_ av vanlig heltalsmultiplikasjon, modulo $n$ (denne operasjonen kalles for __multiplikasjon__ modulo $\mathbb{Z}_n$). ## Direkte produkt For ringer $R_1, R_2, \dots, R_n$ er det __direkte produktet__ av ringene en n-tuppel $R_1 \times R_2 \times R_3 \dots R_n$. Det direkte produktet er selv en ring, med addisjon og multiplikasjon definert elementvis. ## Homomorfier >For ringer $R$ og $R'$ er en avbildning $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ en __homomorfi__ hvis og bare hvis, for alle $a,b \in R$: > >1. $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$ >2. $\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot \phi(b)$ En kan si at homomorfien må gjelde både for den additive operasjonen og den multiplikative operasjonen til R. Mer om dette under [Ringhomomorfier](#ringhomomorfier-og-faktorgrupper). ### Evalueringshomomorfien __Evalueringshomomorfien__ er homomorfien $\phi_a$, som avbilder ringen $F$, alle funksjoner fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$, til $\mathbb{R}$. Denne kommer til å bli hyppig brukt til videre diskusjon av løsning av polynomielle likninger. ### Isomorfier En __isomorfi__ $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ er en homomorfi som også er _en-til-en_ og _på_ $R'$. ## Kommutative ringer, Divisjonsringer og Kropper >En ring med _kommutativ multiplikasjon_ er en __kommutativ ring__. En ring med en __multiplikativ identitet__ kalles for en __ring med enhet__. >En ring med __multiplikativ invers__ for hvert element ikke lik $0$, dvs. en >$r' \in R$ for hver $r \in R$ slik at $rr' = e$ , kalles en __divisjonsring__. >En __kropp__ er en kommutativ divisjonsring. Altså en ring med kommutativ multiplikasjon som har en multiplikativ invers for hvert element i ringen. (TODO: Eksempler) ## Underring & Underkropp En underring $S$ av en ring $R$ er logisk nok (gitt tilsvarende konsept for grupper) en delmengde $S \subseteq R$ lukket under de to binære operasjonene til $R$. En underkropp følger analogt for en kropp. ## Integritetsdomene Før vi kan definere integritetsdomener må vi kjenne til _nulldivisorer_. To elementer $a,b \in \mathbb{R}$ er __nulldivisorer__ hvis $ab = 0$, og hverken $a$ eller $b$ er $0$. __Eksempel__ Er $a = 3$ og $b = 4$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}$? Siden $3\cdot 4 = 12$ er $a,b$ _ikke_ _nulldivisorer_. __Eksempel__ Er $a = 3$ og $b = 4$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}_6$?

>Et __integritetsdomene__ $D$ er en kommutativ ring med multiplikativ identitet $1 \neq 0$ som inneholder _ingen_ nulldivisorer. Det er lett å overbise seg om at $\mathbb{Z}$ er et integritetsdomene. >I $\mathbb{Z}_n$ er nulldivisorene alle elementer som ikke er lik $0$, og som ikke er relativt primiske til $n$. __Bevis__ La $m \in \mathbb{Z}_n$, hvor $m \neq 0$, og la den største fellesnevneren mellom $m$ og $n$ være $d \neq 1$. Vi har $$ m \left(\frac{n}{d}\right) = \left(\frac{m}{d}\right)n $$ $(m/d)n$ må være $0 \>\text{mod}\> n$, som betyr at $\left(\frac{n}{d}\right) m = 0$ (begge sider må være like). Men siden hverken $\frac{n}{d}$ eller $m$ er $0$, må $m$ være en nulldivisor. La så $m \in \mathbb{Z}_n$ være relativt primisk til $n$. For hver $s \in \mathbb{Z}_n$ hvor $s\cdot m = 0$, må $n$ dele $s$, og $s = 0$ i $\mathbb{Z_n}$. __Korollar__ >Hvis $p$ er et primtall, har $\mathbb{Z}_p$ ingen nulldivisorer. Bevis for teoremene under kan finnes på s. 180 i boka. >En hver kropp $F$ er et integritetsdomene. >Et hvert endelig integritetsdomene er en kropp. __Korollar__ >Hvis $p$ er et primtall, er $\mathbb{Z}_p$ en kropp. (Dette faller ut av forige teorem og forige korollar) Vi fullfører ringer med å definere karakteristikken til en ring: __Karakteristikken__ til en ring er det laveste heltallet $n$, slik at $n\cdot a = 0$ for _alle_ $a \in R$. Hvis inget slik heltall eksisterer, er R av karakteristikk $0$. Karakteristikken til $\mathbb{Z}_n$ er $n$. # Eulers og fermats teoremer ## Fermats Lille Teorem Vi begynner med å konstatere noe som kanskje nå er åpenlyst: >For en hver kropp, danner alle elementer ikke lik 0 en gruppe under multiplikasjon. La oss nå se på elementene i $\mathbb{Z}_p$: $$ 1,2,3,\ldots,p-1 $$ Et hvert element i denne gruppen er som tidligere nevnt syklisk, og generer undergrupper av en orden $m$, som deler $p-1$ (per definisjon). Dermed må $b^{p-1} = 1$ i $\mathbb{Z}_p$ for hver $b \in \mathbb{Z}_p$ ikke lik $0$ (siden $b^{m} = 1$, og $b^{p-1} = b^{km}$ hvor $k = (p-1)/m$). Siden $\mathbb{Z}_p$ er isomorf til ringen av restklasser $a + p \mathbb{Z}$, må enhver $a \in \mathbb{Z}$ som ikke er i restklassen $0 + p \mathbb{Z}$(merk at dette er det analoge kriteriet til $b \neq 0$ ovenfor, gitt isomorfien) følge $$ a^{p-1} = 1 (\text{mod} p) $$ Dette gir oss __Fermats Lille Teorem__: >Hvis $a \in \mathbb{Z}$ og $p$ er et primtall som ikke deler $a$, så deler $p$ $a^{p-1} -1$, altså >$$ >a^{p-1} \equiv 1 (\text{mod} p), a \not\equiv 0 (\text{mod}\> p) >$$ __Korollar__ >Hvis $a \in \mathbb{Z}$, så er $a^p \equiv a\> (\text{mod}\> p)$ for en hver $p$. __Eksempel__ Hva er $8^{903}\> (\text{mod}\> 17)$? Trikset her er å dele opp tallet i en base $a$ udelbar med $p$, og en eksponent lik $p-1$: (TODO: Verifiser, dette ble regnet litt fort) $$ \begin{array}{l} 8^{903} &\equiv (8^{16})^{56}\cdot8^7 \equiv (1^{56})\cdot 8^7 \equiv (8^2)^3 \cdot 8 \equiv (64)^3 \cdot 8 \equiv 13^3\cdot 8 \equiv (-4)^3 \cdot 8 \\ &\equiv -64\cdot 8 \equiv -13 \cdot 8 \equiv 4 \cdot 8 \equiv 32 \equiv -2 \equiv 15\> (\text{mod}\> 17) \end{array} $$ ## Eulers Teorem __Eulers phi-funksjon__ $\phi(n)\>:\>\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$, er antall elementer ikke lik $0$ i $\mathbb{Z}_n$ som ikke er nulldivisorer. Med denne kan vi gi Eulers Teorem. >Hvis $a$ er et heltall relativt primisk til $n$, er $a^{\psi(n) - 1}$ delbart med $n$, altså er > >$$ >a^{\psi(n) - 1} = 1 (\text{mod}\> n) >$$ La oss se på $n = 16$. De positive heltallene som er relativt primisk til 16 er: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$. Dette gir $\phi(n) = 7$. Vi kan dermed konstatere at $$ 3^{7} = 5^{7} = 7^{7} = 9^{7} = 11^{7} = 13^{7} = 15^{7} = 1 (\text{mod}\>16) $$ # Polynomer ## Ringer av polynomer Det kan være lurt å formalisere noen konsepter vi tidligere "har tatt for gitt", og introdusere noen nye utrykk. For et polynom av $x$, skal vi unngå å kalle $x$ for en __variabel__, men heller for en __ukjent__. Videre skal vi unngå å la $x$ "ta på seg verdier". Altså skal vi unngå å skrive ting som $x = 5$. $x$ fungere som et symbol i seg selv. Settet av alle polynomer med koeffesienter i ringen $R$, skrives $R[x]$. For en ring $R$, er et polynom $f(x)$ med __koeffesienter__ i $R$ en uendelig formell sum $$ f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_n x^n + \dots $$ $a_i$ er __koeffesientene til__ $f(x)$, og hvis det finnes en $i \geq 0$ slik at $a_{n} = 0$, for alle $n \geq i$, er $i$ __graden__ til polynomet. Vi skriver polynomet som en uendelig sum, ikke en endelig sum, for å unngå flere definisjoner av samme polynom, e.g $$ 2x + x^2 = 0 + 2x + x^2 + 0x^3 = 2x + x^2 + 0x^{101} $$ Merk vi i all hovedsak skal arbeide med _kropper av polynomer_. Det kan vises at for en kropp $F$ er $F[x]$ et integritetsdomene. __Eksempel__ Ekspander $(x+3)^4$ i $\mathbb{Z}_ 4$. $$ \begin{align} (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) &= x^4 + (1+1+1+1)x^3 + (1+1+1+1+1+1)x^2 \\ + (1+1+1+1)x + 1 &=x^4 + 0x^3 + 2x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 \end{align} $$ ### To og flere ukjente For to ukjente, sier vi at $R[x,y]$ er ringen av polynomer for __to ukjente__ $x$ og $y$ med koeffesienter i $R$. For flere, sier vi at $R[x_1, x_2, \dots, x_n]$ er ringen av polynomer for __n ukjente__ $x_i$ med koeffesienter i $R$. ## Evalueringshomomorfien, part II Det er nå hensiktsmessig å se tilbake på [evalueringshomomorfien](#evalueringshomomorfien), og definere den for kropper. >Har vi to kropper $F$ og $E$, med $F \leq E$, og for $\alpha \in E$, har vi __evaluasjonshomomorfien__ >$$ >\phi_{\alpha}\>:\>F[x] \rightarrow E \\ >\phi_{\alpha}(a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n) = a_0 + a_1 \alpha + \dots \ a_n >$$ Homorfien $\phi_{\alpha}$ kalles for __evalueringen av__ $\alpha$. Det er nå klart at en "løsning" av et polynom, er enhver evalueringshomomorfi $\phi_{\alpha}$ slik at polynomet er i $\text{Ker}(\phi_{\alpha})$. (TODO legge link til kjerne-kapitellet når det kommer på plass). En $\alpha$ slik at $f(\alpha) = 0$ er __en rot__ av polynomet. Grunnen til at ordet løsning var i hermetegn over, var at vi ikke lenger snakker om å _løse_ et polynom, men heller om å _finne røttene_ til polynomet. __Eksempel__ La $\phi_{2}$ være evalueringshomomorfien $\phi_{2}\>:\>\mathbb{Q}[x]\>\rightarrow\>\mathbb{R}$. 1. Beskriv $N = \text{Ker}(\phi_2)$. 2. Er $x^3 - x^2 - 2$ i $N$? $\text{Ker}(\phi_2)$ er alle polynomer $f(x)$ slik at $\phi_2(f(x)) = 0$. $$ \phi_2(x^3 - x^2 - 2) = 2^3 - 2^2 - 2 = 8 - 4 - 2 = 2 \neq 0 $$ Altså er $x^3 - x^2 - 2$ ikke i $\text{Ker}(\phi_2)$. ## Faktorisering av polynomer >La $F[x]$ være en kropp av polynomer, og la $f(x), g(x) \in F[x]$ være to polynomer i $F[x]$. Da kan $f(x) skrives$ > >$$ >f(x) = g(x)q(x) + r(x) >$$ >hvor $q(x), r(x) \in F[x]$. Dette kalles for __divisjonsalgoritmen for__ $F[x]$. Merk likhetstrekkene til [divisjonsalgoritmen for $\mathbb{Z}$](#divisjonsalgoritmen-for-grupper). >Et element $a \in F$ er en rot i $f(x) \in F[x]$ hvis og bare hvis $x - a$ er en faktor av $f(x)$ i $F[x]$. >Et polynom ikke lik $0$ i $F[x]$ av grad $n$ kan maksimalt ha $n$ røtter. De to siste av disse teoremene har vi brukt hyppig for å finne røttene til polynomer helt fra den videregående skole. ## Irredusible polynomer >Et polynom $f(x) \in F[x]$ er __irredusibel__ i $F$ hvis polynomet ikke kan skrives som et produkt $f(x) = g(x)h(x)$ hvor $g(x), h(x) \in F[x]$ er polynomere av lavere grad enn $f(x)$. Et eksempel på et irredusibelt polynom er $x^2 - 2$ i $\mathbb{Q}$, siden $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$. Det er dermed viktig å merke seg at et polynom irredusibelt i en delmengde $F \leq E$, kan være redusibelt $E$. Her illustrert ved at $x^2 -2$ er redusibelt i $\mathbb{R}$, og $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$. (TODO: Eksempler) ### Eisenstein-kriteriet >La $p \in \mathbb{Z}$ være et primtall, og la $f(x) = a_n x^n + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$. La også $a_n \not\equiv 0 (\text{mod} p)$, $a_i = 0 (\text{mod}\>p)$ for alle $i < n$ og $a_0 \not\equiv 0 (\text{mod}\>p^2)$. Da er $f(x)$ irredusibel over $\mathbb{Q}$. # Ringhomomorfier og faktorringer ## Ringhomomorfier Vi repeterer homomorfier en siste gang, og definerer de analoge resultatene av [homomorfier](#homomorfier) for ringer. La $\phi$ være en homomorfi fra en ring $R$ til en ring $R'$. La $0$ være det additive identitetselementet i $R$. Da er $\phi(0)$ det additive identitetselementet i $R'$. For hver $a \in R$, er $\phi(-a) = - \phi(a)$. La $S$ være en underring av $R$. Da er $\phi[S]$ en underring av $R'$. Tilsvarende, la $S'$ være en underring av $S$. Da er $\phi^{-1}[S']$ en underring av $R$. La $1$ være multiplikativ identitet i $R$. Da er $\phi(1)$ multiplikativ identitet i $\phi[R]$. (Men _ikke_ nødvendigvis i $R'$!) (TODO: Eksempler) ### Kjerne >La $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ være en ringhomomorfi. Da er underringen > >$$ >\phi^{-1}[0'] = \{r \in R | \phi(r) = 0'\} >$$ >__kjernen__ til R. ## Faktorringer La $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ være en ringhomomorfi med kjerne $H$. De additive restklassene til $H$ danner en ring $R/H$. Avbildningen $\mu\>:\>R/H\rightarrow\>\phi[R]$ definert ved $\mu(a + H) = \phi(a)$ er en isomorfi. Den additive delen av dette er allerede konstatert (og bevist i boken) for [faktorgrupper](#faktorgrupper). ### Idealer I gruppeteori, definerte vi [normale undergrupper](#normale-undergrupper). Tilsvarende for ringer har vi idealer. La $N$ være en additiv undergruppe av en ring $R$. N er et $ideal$ hvis $$ aN \subseteq N,\; Nb \subseteq N\; \text{for alle a,b} \in R $$ Vi kan nå definere faktorringer. >La $N$ være et ideal av en ring $R$. De additive restklassene av $N$ danner en ring $R/N$, __faktorringen av__ $R$ ved $N$, ved de binære operasjonene addisjon og multiplikasjon, definert ved > >$$ >(a + N) + (b + N) = (a + b) + N \\ >(a + N)(b + N) = (ab) + N >$$ (TODO: Eksempler) ### Fundamentalteoremet for homomorfier II Har du lest [fundementalteoremet for homomorfier](#fundamentalteoremet-for-homomorfier), vil det følgende knapt overraske: La $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ være en homomorfi med kjerne $N$. Da er $\phi[R]$ en ring, og avbildningen $\mu\>:\>R/N\>\rightarrow\>\phi[R]$, gitt ved $\mu(x + N) = \phi(x)$ er en isomorfi. Hvis $\gamma\>:\>R\rightarrow\>R/N$ er homomorfien gitt ved $\gamma(x) = x + N$, har vi for hver $x \in R$ at $\gamma\mu(x) = \phi(x)$. ### Maksimale idealer Hver ring $R$, ikke lik 0, har minst 2 idealer: det __uekte idealet__ $R$, og det __trivielle idealet__ ${0}$. Et __ekte ikke-trivielt ideal__ av en ring $R$, er er ideal $N$, slik at $N \neq R$ og $N \neq {0}$. >Hvis $R$ er en ring med identitet, og $N$ er et ideal av $R$ som inneholder en enhet, er $N = R$ Et __maksimalt ideal av en ring__ R, er et ideal $M$ forskjellig fra $R$, slik at det ikke finnes noe ideal $N$ av $R$ slik at $M \subset N$. >Hvis $R$ er en kommutativ ring med identitet, er $M$ et maksimalt ideal av $R$ hvis og bare hvis $R/M$ er en kropp. (TODO: Eksempler) # Sylowteori I [endelig-genererte abelske grupper](#endelig-genererte abelske grupper) klassifiserte vi endelig-genererte abelske grupper fullstendig. Dette er ikke fullt så lett å gjøre for grupper som ikke er abelske. Men teoremene til Peter Ludvig Mejdell Sylow hjelper oss et stykke på vei. Først må vi få noen definisjoner på plass: La $G$ være en gruppe av orden $p^n$, hvor $p$ er et primtall, og la $X$ være et endelig $G$-mengde. Da er $|X| = |X_G|$ hvor $X_G = \{x \in X\> |\> gx = x \>\text{for alle}\> g \in G\}$ (altså unionen av alle en-element orbitaler i $X$). La så $p$ være et primtall. En gruppe $G$ er en $p$-gruppe, hvis hvert element i $G$ har orden $p^i$, altså en potens av $p$. En $p$-__undergruppe__ er en undergruppe av en $p$-gruppe som selv er en $p$-gruppe. ## Cauchy's Teorem >La $p$ være et primtall, og la $G$ være en endelig gruppe hvor $p$ deler $|G|$. Da har $G$ et element av orden $p$, og dermed en undergruppe av orden $p$. __Korollar__ >La $G$ være en endelig gruppe. $G$ er da bare en $p$-gruppe hvis $|G| = p^i$, altså en potens av $p$. >La $H$ og $G$ være to grupper med $H \leq G$, og la $G_H = \{g \in G\>|\>gHg^{-1} = H\}$. $G_H$ er normalisatoren av $H$ i $G$. Vi skriver $G_H$ som $N[H]$. __Lemma__ >La $H$ være en $p$-undergruppe av en endelig gruppe $G$. Da er >$$ >(N[H]\>:\>H) \equiv (G\>:\>H)(\text{mod}\>p). >$$ __Korollar__ >La $H$ være en $p$-undergruppe av en endelig gruppe $G$. Hvis $p$ deler $(G\>:\>H)$, så er $N[H] \neq H$. __Første Sylow Teorem__ >La $G$ være en endelig gruppe og la $G = p^n m$ hvor $n \geq 1$ og $p$ ikke deler $m$. Da har vi >1. $G$ inneholder en undergruppe av orden $p^i$ for alle $1 \leq i \leq n$, >2. Hver undergruppe $H$ av $G$ av orden $p^i$ er en _normal_ undergruppe av en undergruppe av orden $p^i$ for alle $1 \leq i \leq n$ En __Sylow__ $p$-__undergruppe__ av en gruppe $G$ er en maksimal $p$-undergruppe av $G$. ## Andre Sylow Teorem >La $P_1$ og $P_2$ være Sylow $p$-undergrupper av en endelig gruppe $G$. Da er $P_1$ og $P_2$ konjugerte undergrupper av $G$ ## Tredje Sylow Teorem >Hvis $G$ er en endelig gruppe og $p$ deler $|G|$, er antall Sylow $p$-undergrupper av $G$ kongruent til $1$ modulo $p$, og deler $|G|$. (TODO: Eksempler) # Eulers phi-funksjon & RSA # Nyttige lenker * [Relasjoner, matematikk.net](http://matematikk.net/side/Relasjoner) * [Grupper, wolframalpha](http://mathworld.wolfram.com/Group.html) * [Restklasser, UiO](http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT2200/v13/restklasser.pdf) # Referanser [John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra]