Forord

Kompendiet vil bli strukturert nesten regelrett etter oppbygningen til [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra]

Under vil en kjapp repitisjon av mengder og relasjoner bli gitt.

Mengde

Det er umulig å definere alle konsepter

"En ku er et pattedyr". Men hva er et pattedyr? "Et pattedyr er en undergruppe av virveldyrene". Men hva er et virveldyr? "Virveldyr er dyr med et indre skjelett" Men hva er dyr?...

... Og slik kan du holde på til du ikke har flere ord igjen i ordboken, og må definere dine tidligere definisjoner med ord du allerede har brukt, og ender opp med sirkulære definisjoner.

Dette gjelder også i matematikken. Dermed må vi ha et udefinert, primitivt konsept som et startsted for videre definisjoner. I matematikken er dette konseptet en mengde.

En mengde er en veldefinert samling av unike elementer, også kalt objekter. Hvis et element $a$ er i en mengde $S$, skriver vi dette $a \in S$.

Det er en og bare en mengde uten elementer, kalt den tomme mengden, $\emptyset$.

Det er flere måter å beskrive en mengde. En vanlig notasjon er klammeparenteser, for eksempel:

$$ \{1, 2, 3, 4\} $$

Hvis vi vil ha en mengde med elementer som tilfredstiller et vilkårlig kriterie, $ P(x) $, skriver vi

$$ \{x \>|\> P(x)\} $$

lest "mengden av alle x slik at P(x) er tilfredstilt". Vi kan også beskrive en mengde direkte, som "Mengden av alle røde biler i Oppdal", eller "Alle primtall".

Beskrivelsene

$$ \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ $$ \{x \>|\> x \in \mathbb{Z^+} \>\text{and}\> x < 6\} $$ $$ \text{Alle positive heltall mindre enn 6} $$

beskriver samme mengde.

En mengde må være veldefinert. Det vil si at beskrivelser som "Mengden av noen tall over 10" ikke kan brukes om en mengder. På en annen side må vi ikke kjenne til alle elementer i en mengden for å beskrive mengden. Selv om vi ikke kjenner til alle primtall, kan vi uten problemer definere mengden "Alle primtall".

En mengde som ikke er av uendelig størrelse, kalles en endelig mengde.

Kartesisk produkt

For to mengder $A$ og $B$ er det kartesiske produktet definert ved

$$ A \times B = \{(a, b) | a \in A\> \text{and}\> b \in B\} $$

Altså alle mulige tupler dannet ved et element fra $A$ og ett fra $B$.

Eksempel

La $A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}$. Finn $ A \times B$.

$$ A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} $$

Noen viktige mengder

Mengden $\mathbb{Z}^+$ er mengden av alle positive heltall. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene.

Mengden $\mathbb{Z}^*$ er mengden av alle heltall utenom $0$. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene.

Mengden $R \times R$ er det to-dimensjonale euklidiske plan.

En særdeles viktig mengde er mengden $\mathbb{Z}_n$, mengden av de $n$ første heltall (inklusiv 0). Vi vil ofte snakke om addisjon eller multiplikasjon modulo $n$ på denne mengden.

Relasjoner

En relasjon mellom to mengder er en delmengde $\mathscr{R}$ av $A \times B$. Vi sier for hvert element $(a, b)$ i denne delmengden, så er $a$ relatert til $b$, og skriver $a \>\mathscr{R}\> b$.

Enhver relasjon mellom en mengde $A$ og seg selv er en relasjon på $A$.

Et eksempel på en relasjon er funksjonen $f(x) = x$, som kan skrives som delmengden $\{(x,x) | x \in \mathbb{R}\}$ av $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

En funksjon $\phi$ som transformerer et element i $X$ til et element i $Y$ sies å være en mapping mellom $X$ og $Y$. Dette skrives $\phi: \> X \; \rightarrow \; Y$. En slik funksjon er en relasjon mellom $X$ og $Y$. Vi skriver (som kjent) en relasjon mellom to elementer, $(x,y) \in \phi$, som $\phi(x) = y$.

For en slik funksjon er $X$ definisjonsmengden, $Y$ verdiområet, og $phi[X]$ verdimengden til $\phi$.

Kardinalitet

Kardinaliteten til en endelig mengde $A$ er antall elementer i $A$. Kardinaliteten $\lvert S \rvert$ til mengden $S = \{1,2,3\}$ er altså $3$.

Kardinaliteten til uendelige mengder er i all hovedsak utenfor pensum. Det kan dog være fornuftig å notere seg at kardinaliteten til $\mathbb{Z}$ er mindre enn kardinaliteten til $\mathbb{R}$. Uformelt kan vi si at uendeligheten av tall i $\mathbb{R}$ er større enn den i $\mathbb{Z}$.

Kardinaliteten til $\mathbb{Z}$, $\lvert \mathbb{Z} \rvert$ betegnes ved symbolet $\aleph_0$ (uttales aleph-naught eller aleph-zero). Noe som kanskje overrasker, er at kardinaliteten til $\mathbb{N}, \mathbb{Z}$ og $\mathbb{Q}$ er den samme.

Surjektivitet

En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er surjektiv, eller på, hvis og bare hvis $\phi[X] = Y$. Altså hvis verdiene til $X$ etter å ha bli transformert av $\phi$, utgjør hele $Y$. Vi sier at $\phi$ er en surjeksjon fra $X$ på $Y$.

To kjappe eksempeler fra kalkulus

La $ f : [-2, 2] \to [0, 4]$ være gitt ved $f(x) = x^2$. Vi ser at at $f$ er surjektiv, siden $f(0) = 0$ og $f(2) = 4$ og $f$ er kontinuerlig(!!).

La $ g : [0, \infty) \to [0, \pi /2]$ være gitt ved $g(x) = \arctan(x)$. $g$ er ikke surjektiv, siden det ikke finnes en $x$ s.a. $g(x) = \pi/2 \in Y$. Er $g$ surjektiv fra $[0, \infty)$ på $[0, \pi /2)$?

Injektivitet

En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er injektiv, eller en-til-en, hvis og bare hvis for hver $y \in Y$, så finnes det bare en $x \in X$, s.a. $\phi(x) = y$.

To kjappe eksempler

La $ f : [-2, 2] \to [0, 4]$ være gitt ved $f(x) = x^2$. $f$ er ikke injektiv, siden $\forall x \in [-2, 2], -x \in [-2, 2], f(x) \in [0, 4]$ og $f(x) = f(-x)$.

La $ g: \{a, b, c, d, e\} \to \{aa, ab, ac, ad, ae, af, ba, bb \dots \}$ være gitt ved $g(x) = ax$ ($g(a) = aa$ osv.). $g$ er injektiv siden $f[X] = \{aa, ab, ac, ad, ae\}$, og om vi lar $g^{-1}(x) = g^{-1}(ax') = x'$, hvor $x' \in \{a, b, c, d, e\}$.

Bijektivitet

En funksjon er bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv.

Om en funksjon er surjektiv og strengt voksende på en ordnet mengde (dvs. vi har en tilhørende relasjon $>$ som bestemmer "størrelsen på elementene), er funksjonen bijektiv.

La $f : R \to R$ være gitt ved $f(x) = x$.

La $g : [0, \infty) \to [0, \infty]$ være gitt ved $g(x) = x^n, n \in (0, \infty)$. Er $g$ injektiv? (Hint: Bruk at $f$ er strengt voksende, $f(0)$, $\lim_{x \to \infty}$ og kontinuitet)

Om du ønsker, prøv til slutt å finne en bijeksjon mellom $\mathbb{Z}$ og $\mathbb{Q}$. Hint: Det kan være lurt å tegne.

Ekvivalensrelasjoner

En relasjon er en ekvivalensrelasjon på en mengde $S$ hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Binære operasjoner

En binær operasjon $*$ på en mengde $S$, er en funksjon som mapper $S \times S$ til S. Vi skriver $*(a,b)$ som $a*b$. Operasjonen tilegner $(a,b)$ en annen verdi i $S$.

Eksempelvis er $+$(addisjon) $\cdot$(multiplikasjon) binære operasjoner på $\mathbb{Z}$.

La $*$ være en binær operasjon på $S$, og la $H$ være en delmengde av $S$. $H$ er lukket under $*$ hvis for alle $a, b \in H$, så er $a$*$b \in H$. I dette tilfellet hvor den binære operasjonen er begrenset til $H$, kaller vi operasjonen den induserte operasjonen av $*$ på $H$.

Eksempel (2.6 i boka)

La $+$ og $\cdot$ være de binære operasjonene addisjon og multiplikasjon på $\mathbb{Z}$, og la $H = \{x^2 \>|\>x \>\in\> \mathbb{Z^+}\}$. Er $H$ lukket under

1. Addisjon?
2. Multiplikasjon?

Det kan først være greit å gjøre seg kjent med delmengden vår, $H$. Den er i kortfattethet mengden av alle kvadrater for positive heltall:

$$\{1, 4, 9, \ldots\} $$

For addisjon ser vi at siden $1$ og $4$ begge er i $H$, men $1+4 = 5$ ikke er i $H$: $5 \notin H$. Så H er ikke lukket under addisjon.

For multiplikasjon går vi litt mer generelt til verks: La $x \in H$ og $y \in H$. Utifra definisjonen til $H$ (alle kvadrater), må det finnes $a, b \in S$ slik at $a^2 = x, b^2 = y$. Multiplikasjon mellom $x$ og $y$ kan dermed skrives

$$ x\cdot y = a^2\cdot b^2 = (a\cdot b)^2 \in H $$

siden $(ab)^2$ også er et kvadrat. $H$ er dermed lukket under multiplikasjon.

Tabell-notasjon

(TODO)

Isomorfier

(TODO)

Abelske grupper

En gruppe $G$ er abelsk hvis dens binære operasjon er kommutativ, altså

$$ a * b = b * a $$

for hver $a,b \in G$.

$\mathbb{Z},\> \mathbb{N},\> \mathbb{R}\> og\> \mathbb{C}$ under addisjon er alle abelske grupper.

En binær operasjon på en abelsk gruppe benevnes ofte $+$.

Generelt skrives binære operasjoner ofte bare ved sidestilling av elementer, i.e. $a * b = ab$.

Endelige grupper

Hittil, med unntak av det siste eksemplet under Grupper, har vi bare håndtert uendelige grupper.

En endelig gruppe er en mengde $G$ med et endelig antall elementer under en binær operasjon $*$.

(TODO: Tabeller)

Undergrupper

La $H$ være en mengde, og la $G$ være en gruppe med binær operasjon $*$. $H$ er en undergruppe av $G$, skrevet $H \leq G$, hvis $H$ er en delmengde av $G$, og $*$ er lukket under $H$.

Hvis $H = G$, er $H$ den uekte undergruppen av $G$. Gruppen $\{e\}$ er den trivielle undergruppen.

Eksempelvis er $3Z$, gruppen av alle heltall delbar med $3$, i.e. $\{\dots -3, 0,3,6,\dots\}$, en undergruppe av $Z$ under addisjon, siden $3Z$ er lukket under addisjon.

Vi har generelt tre krav som må tilfredstilles for at en gruppe $H$ skal være en undergruppe av en gruppe $G$:

En gruppe $H$ er en undergruppe av en gruppe $G$ hvis og bare hvis 1. $H$ er lukket under den binære operasjonen til $G$ 2. Identitetselementet til $G$ er også i $H$ 3. For alle $a \in H$, er også $a^{-1} \in H$

Eksempel

La $G = \mathbb{Z}_4$ under addisjon modulo $4$. Altså $\{0,1,2,3\}$. Og la $H = \{0, 2\}$. Er $H$ en undergruppe av $G$?

Vi sjekker enkelt og greit kravene våre. Her kan vi sjekke alle kravene ved å teste alle elementer om vi vil.

1. Dette må åpenlyst være tilfelle. Men la oss verifisere det for å være på den sikre siden: $0 + 2 = 2,\> 2 + 0 = 2,\> 2 + 2 = 4 \equiv 0,\> 0 + 0 = 0$.
2. Identitetselementet til $G$ er $0$, som også er i $H$.
3. Vi har bare ett element ikke lik $0$ i $H$, nemlig $2$, som har invers $2$.

$H$ er dermed en undergruppe av $G$.

Sykliske grupper

La oss slenge ut en påstand:

En endelig gruppe $G$ som inneholder et element $a$, må også inneholde alle $a^n,\>n \in \mathbb{Z}$.

Dette kan vi bevise ganske enkelt ved induksjon (her gjort litt uformelt):

Hvis $a$ er i $G$, må $a * a = a^2 \in G$, siden $G$ må være lukket under $*$. Tilsvarende, hvis $a^i \in G$, må $a^{i+1} \in G$.

Det burde nå være enkelt å overbevise seg over følgende:

For en gruppe $G$ og et element $a \in G$, er undergruppen $H$ av G, definert ved

$$ H = \{a^n\:|\:n \in \mathbb{Z} \} $$

den minste undergruppen som inneholder $a$.

Gruppen $H$ over er den sykliske undergruppen av $G$ generert av $a$, og skrives $\left<a\right>$, Hvis $a$ genererer $G$, er $a$ en generator av $G$.

Hvis en gruppe $G$ har en generator er $G$ syklisk.

Eksempel

Er $\mathbb{Z}_{3}$ syklisk? Hvis ja, finn en generator.

$\mathbb{Z}_3$ er syklisk. Vi ser at både $\left<2\right> = \{2, 4, 6\} = \{2, 1, 0\}$ og $\left<1\right> = \{1, 2, 0\}$ er generatorer.

Ordenen til et element $a$ i en gruppe $G$, er ordenen til den sykliske gruppen $\left<a\right>$ generert av $a$. Hvis denne er uendelig, sier vi at $a$ er av uendelig orden.

Hver sykliske gruppe er abelsk

Bevis

La $G$ være gruppen generert av $a$, og la $b,c \in G$. Da har vi at $b = a^m, c = a^n$ for $n, m \in \mathbb{Z}$. Det gir

$$ bc = a^m a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n a^m = cb. $$

Merk at $a^{m+n} = a^{n+m}$ siden $\mathbb{Z}$ er abelsk.

Samme bevis med annen notasjon

La $a, b, c$ som over. Da er

$$ bc = \underbrace{aaa \ldots a}_\text{n} \underbrace{aaa \ldots a}_\text{m} = \underbrace{aaa \ldots a}_\text{m} + \underbrace{aaa \ldots a}_\text{n} = cb $$

Cayley's Teorem

Enhver gruppe er isomorf til en gruppe av permutasjoner.

Alternativt kan man si at en enhver gruppe er isomorf til en delgruppe av $S_n$.

Orbitaler

La oss se på permutasjonen

$$ \sigma = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 1, 4, 3, 2, 5 \end{array}\right). $$

Vi ser at permutasjonen bytter om $2$ og $4$, og at en kontinuerlig applikasjon av $\sigma$ vil fortsette å bytte $2$ i $4$ og $4$ i $2$. Mengden av $\{2,4 \}$ i $\sigma$ er en orbital.

Orbitaler kan defineres ved en ekvivalensrelasjon:

La $\sigma$ være en permutasjon av en mengde $A$. La så $a, b \in A$, og la $~$ være en relasjon definert ved $a~b$ hvis og bare hvis $b = \sigma^n(a)$ for en $n\in \mathbb{Z}$.

Merk analogien til sykliske grupper.

Eksempel

Finn alle orbitaler i permutasjonen

$$ \sigma = \left(\begin{array}{cccccccc} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \\ 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6 \\ \end{array}\right). $$

Vi ser på hvert element. Til å begynne med er $\{1\}$ en ett-elements orbital. For $2$ har vi $2 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma} 4 \xrightarrow{\sigma} 2 \dots$, så vår neste orbital er $\{2,3,4\}$. $\{5\}$ er en ett-elements orbital. Til slutt har vi orbitalen $\{6,7,8\}$.

En orbital med to elementer kalles en transposisjon.

En permutasjon $\tau$ er en sykel hvis den har maksimalt en orbital med mer enn ett element.

Vi bruker ofte en en-rads notasjon for sykler

$$ \tau = (1,2,4) $$

Her tar permutasjonen $1$ til $2$, $2$ til $3$, og $4$ til $1$. Det må gjøres klart ved bruk av denne notasjonen hvilken mengde det er snakk om. Merk også at alle andre elementer ikke nevnt i notasjonen antas å permutere til seg selv.

Permutasjonen

$$ \sigma = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 1, 4, 3, 2, 5 \end{array}\right) = (2, 4), $$

er eksempelvis en sykel. Mens

$$ \tau = \left(\begin{array}{ccccc} 1, 2, 3, 4, 5 \\ 1, 4, 5, 2, 3 \end{array}\right), $$

er ikke en sykel, siden den inneholder to orbitaler med to elementer: $\{2, 4\}$ og $\{3, 5\}$.

Direkte produkt

For ringer $R_1, R_2, \dots, R_n$ er det direkte produktet av ringene en n-tuppel $R_1 \times R_2 \times R_3 \dots R_n$. Det direkte produktet er selv en ring, med addisjon og multiplikasjon definert elementvis.

Homomorfier

For ringer $R$ og $R'$ er en avbildning $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ en homomorfi hvis og bare hvis, for alle $a,b \in R$:

1. $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$
2. $\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot \phi(b)$

En kan si at homomorfien må gjelde både for den additive operasjonen og den multiplikative operasjonen til R.

Mer om dette under Ringhomomorfier.

Kommutative ringer, Divisjonsringer og Kropper

En ring med kommutativ multiplikasjon er en kommutativ ring. En ring med en multiplikativ identitet kalles for en ring med enhet.

En ring med multiplikativ invers for hvert element ikke lik $0$, dvs. en >$r' \in R$ for hver $r \in R$ slik at $rr' = e$ , kalles en divisjonsring.

En kropp er en kommutativ divisjonsring. Altså en ring med kommutativ multiplikasjon som har en multiplikativ invers for hvert element i ringen.

(TODO: Eksempler)

Underring & Underkropp

En underring $S$ av en ring $R$ er logisk nok (gitt tilsvarende konsept for grupper) en delmengde $S \subseteq R$ lukket under de to binære operasjonene til $R$.

En underkropp følger analogt for en kropp.

Integritetsdomene

Før vi kan definere integritetsdomener må vi kjenne til nulldivisorer.

To elementer $a,b \in \mathbb{R}$ er nulldivisorer hvis $ab = 0$, og hverken $a$ eller $b$ er $0$.

Eksempel

Er $a = 3$ og $b = 4$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}$?

Siden $3\cdot 4 = 12$ er $a,b$ ikke nulldivisorer.

Eksempel

Er $a = 3$ og $b = 4$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}_6$?

$3\cdot 4 = 12 = 0$ i $\mathbb{Z}_6$. Altså er $a,b$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}_6$.

Et integritetsdomene $D$ er en kommutativ ring med multiplikativ identitet $1 \neq 0$ som inneholder ingen nulldivisorer.

Det er lett å overbise seg om at $\mathbb{Z}$ er et integritetsdomene.

I $\mathbb{Z}_n$ er nulldivisorene alle elementer som ikke er lik $0$, og som ikke er relativt primiske til $n$.

Bevis

La $m \in \mathbb{Z}_n$, hvor $m \neq 0$, og la den største fellesnevneren mellom $m$ og $n$ være $d \neq 1$. Vi har

$$ m \left(\frac{n}{d}\right) = \left(\frac{m}{d}\right)n $$

$(m/d)n$ må være $0 \>\text{mod}\> n$, som betyr at $\left(\frac{n}{d}\right) m = 0$ (begge sider må være like). Men siden hverken $\frac{n}{d}$ eller $m$ er $0$, må $m$ være en nulldivisor.

La så $m \in \mathbb{Z}_n$ være relativt primisk til $n$. For hver $s \in \mathbb{Z}_n$ hvor $s\cdot m = 0$, må $n$ dele $s$, og $s = 0$ i $\mathbb{Z_n}$.

Korollar

Hvis $p$ er et primtall, har $\mathbb{Z}_p$ ingen nulldivisorer.

Bevis for teoremene under kan finnes på s. 180 i boka.

En hver kropp $F$ er et integritetsdomene.

Et hvert endelig integritetsdomene er en kropp.

Korollar

Hvis $p$ er et primtall, er $\mathbb{Z}_p$ en kropp. (Dette faller ut av forige teorem og forige korollar)

Vi fullfører ringer med å definere karakteristikken til en ring:

Karakteristikken til en ring er det laveste heltallet $n$, slik at $n\cdot a = 0$ for alle $a \in R$. Hvis inget slik heltall eksisterer, er R av karakteristikk $0$.

Karakteristikken til $\mathbb{Z}_n$ er $n$.

Fermats Lille Teorem

Vi begynner med å konstatere noe som kanskje nå er åpenlyst:

For en hver kropp, danner alle elementer ikke lik 0 en gruppe under multiplikasjon.

La oss nå se på elementene i $\mathbb{Z}_p$:

$$ 1,2,3,\ldots,p-1 $$

Et hvert element i denne gruppen er som tidligere nevnt syklisk, og generer undergrupper av en orden $m$, som deler $p-1$ (per definisjon). Dermed må $b^{p-1} = 1$ i $\mathbb{Z}_p$ for hver $b \in \mathbb{Z}_p$ ikke lik $0$ (siden $b^{m} = 1$, og $b^{p-1} = b^{km}$ hvor $k = (p-1)/m$).

Siden $\mathbb{Z}_p$ er isomorf til ringen av restklasser $a + p \mathbb{Z}$, må enhver $a \in \mathbb{Z}$ som ikke er i restklassen $0 + p \mathbb{Z}$(merk at dette er det analoge kriteriet til $b \neq 0$ ovenfor, gitt isomorfien) følge

$$ a^{p-1} = 1 (\text{mod} p) $$

Dette gir oss Fermats Lille Teorem:

Hvis $a \in \mathbb{Z}$ og $p$ er et primtall som ikke deler $a$, så deler $p$ $a^{p-1} -1$, altså

$$ a^{p-1} \equiv 1\>(\text{mod}\>p),\> a \not\equiv 0\> (\text{mod}\> p) $$

Korollar

Hvis $a \in \mathbb{Z}$, så er $a^p \equiv a\> (\text{mod}\> p)$ for en hver $p$.

Eksempel

Hva er $8^{903}\> (\text{mod}\> 17)$?

Trikset her er å dele opp tallet i en base $a$ udelbar med $p$, og en eksponent lik $p-1$:

$$ \begin{array}{l} 8^{903} &\equiv (8^{16})^{56}\cdot8^7 \equiv (1^{56})\cdot 8^7 \equiv (8^2)^3 \cdot 8 \equiv (64)^3 \cdot 8 \equiv 13^3\cdot 8 \equiv (-4)^3 \cdot 8 \\ &\equiv -64\cdot 8 \equiv -13 \cdot 8 \equiv 4 \cdot 8 \equiv 32 \equiv -2 \equiv 15\> (\text{mod}\> 17) \end{array} $$

Eulers Teorem

Eulers phi-funksjon $\phi(n)\>:\>\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$, er antall elementer ikke lik $0$ i $\mathbb{Z}_n$ som ikke er nulldivisorer. Med denne kan vi gi Eulers Teorem.

Hvis $a$ er et heltall relativt primisk til $n$, er $a^{\phi(n)} - 1$ delbart med $n$, altså er

$$ a^{\phi(n)} = 1 (\text{mod}\> n) $$

La oss se på $n = 16$. De positive heltallene som er relativt primisk til 16 er: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$. Dette gir $\phi(n) = 7$. Vi kan dermed konstatere at

$$ 3^{7} = 5^{7} = 7^{7} = 9^{7} = 11^{7} = 13^{7} = 15^{7} = 1 (\text{mod}\>16) $$

Ringer av polynomer

Det kan være lurt å formalisere noen konsepter vi tidligere "har tatt for gitt", og introdusere noen nye utrykk.

For et polynom av $x$, skal vi unngå å kalle $x$ for en variabel, men heller for en ukjent. Videre skal vi unngå å la $x$ "ta på seg verdier". Altså skal vi unngå å skrive ting som $x = 5$. $x$ fungere som et symbol i seg selv.

Settet av alle polynomer med koeffesienter i ringen $R$, skrives $R[x]$.

For en ring $R$, er et polynom $f(x)$ med koeffesienter i $R$ en uendelig formell sum

$$ f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_n x^n + \dots $$

$a_i$ er koeffesientene til $f(x)$, og hvis det finnes en $i \geq 0$ slik at $a_{n} = 0$, for alle $n \geq i$, er $i$ graden til polynomet.

Vi skriver polynomet som en uendelig sum, ikke en endelig sum, for å unngå flere definisjoner av samme polynom, e.g

$$ 2x + x^2 = 0 + 2x + x^2 + 0x^3 = 2x + x^2 + 0x^{101} $$

Merk vi i all hovedsak skal arbeide med kropper av polynomer. Det kan vises at for en kropp $F$ er $F[x]$ et integritetsdomene.

Eksempel

Ekspander $(x+3)^4$ i $\mathbb{Z}_ 4$.

$$ \begin{align} (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) &= x^4 + (1+1+1+1)x^3 + (1+1+1+1+1+1)x^2 \\ + (1+1+1+1)x + 1 &=x^4 + 0x^3 + 2x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 \end{align} $$

Evalueringshomomorfien, part II

Det er nå hensiktsmessig å se tilbake på evalueringshomomorfien, og definere den for kropper.

Har vi to kropper $F$ og $E$, med $F \leq E$, og for $\alpha \in E$, har vi evaluasjonshomomorfien

$$ \phi_{\alpha}\>:\>F[x] \rightarrow E \\ \phi_{\alpha}(a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n) = a_0 + a_1 \alpha + \dots \ a_n $$

Homorfien $\phi_{\alpha}$ kalles for evalueringen av $\alpha$.

Det er nå klart at en "løsning" av et polynom, er enhver evalueringshomomorfi $\phi_{\alpha}$ slik at polynomet er i $\text{Ker}(\phi_{\alpha})$. (TODO legge link til kjerne-kapitellet når det kommer på plass).

En $\alpha$ slik at $f(\alpha) = 0$ er en rot av polynomet.

Grunnen til at ordet løsning var i hermetegn over, var at vi ikke lenger snakker om å løse et polynom, men heller om å finne røttene til polynomet.

Eksempel

La $\phi_{2}$ være evalueringshomomorfien $\phi_{2}\>:\>\mathbb{Q}[x]\>\rightarrow\>\mathbb{R}$.

1. Beskriv $N = \text{Ker}(\phi_2)$.
2. Er $x^3 - x^2 - 2$ i $N$?

$\text{Ker}(\phi_2)$ er alle polynomer $f(x)$ slik at $\phi_2(f(x)) = 0$.

$$ \phi_2(x^3 - x^2 - 2) = 2^3 - 2^2 - 2 = 8 - 4 - 2 = 2 \neq 0 $$

Altså er $x^3 - x^2 - 2$ ikke i $\text{Ker}(\phi_2)$.

Faktorisering av polynomer

La $F[x]$ være en kropp av polynomer, og la $f(x), g(x) \in F[x]$ være to polynomer i $F[x]$. Da kan $f(x) skrives$

$$ f(x) = g(x)q(x) + r(x) $$

hvor $q(x), r(x) \in F[x]$. Dette kalles for divisjonsalgoritmen for $F[x]$.

Merk likhetstrekkene til divisjonsalgoritmen for $\mathbb{Z}$.

Et element $a \in F$ er en rot i $f(x) \in F[x]$ hvis og bare hvis $x - a$ er en faktor av $f(x)$ i $F[x]$.

Et polynom ikke lik $0$ i $F[x]$ av grad $n$ kan maksimalt ha $n$ røtter.

De to siste av disse teoremene har vi brukt hyppig for å finne røttene til polynomer helt fra den videregående skole.

Irredusible polynomer

Et polynom $f(x) \in F[x]$ er irredusibel i $F$ hvis polynomet ikke kan skrives som et produkt $f(x) = g(x)h(x)$ hvor $g(x), h(x) \in F[x]$ er polynomere av lavere grad enn $f(x)$.

Et eksempel på et irredusibelt polynom er $x^2 - 2$ i $\mathbb{Q}$, siden $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$. Det er dermed viktig å merke seg at et polynom irredusibelt i en delmengde $F \leq E$, kan være redusibelt $E$. Her illustrert ved at $x^2 -2$ er redusibelt i $\mathbb{R}$, og $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$.

(TODO: Eksempler)

Ringhomomorfier

Vi repeterer homomorfier en siste gang, og definerer de analoge resultatene av homomorfier for ringer.

La $\phi$ være en homomorfi fra en ring $R$ til en ring $R'$. La $0$ være det additive identitetselementet i $R$. Da er $\phi(0)$ det additive identitetselementet i $R'$.

For hver $a \in R$, er $\phi(-a) = - \phi(a)$.

La $S$ være en underring av $R$. Da er $\phi[S]$ en underring av $R'$. Tilsvarende, la $S'$ være en underring av $S$. Da er $\phi^{-1}[S']$ en underring av $R$.

La $1$ være multiplikativ identitet i $R$. Da er $\phi(1)$ multiplikativ identitet i $\phi[R]$. (Men ikke nødvendigvis i $R'$!)

(TODO: Eksempler)

Faktorringer

La $\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ være en ringhomomorfi med kjerne $H$. De additive restklassene til $H$ danner en ring $R/H$.

Avbildningen $\mu\>:\>R/H\rightarrow\>\phi[R]$ definert ved $\mu(a + H) = \phi(a)$ er en isomorfi.

Den additive delen av dette er allerede konstatert (og bevist i boken) for faktorgrupper.

Cauchy's Teorem

La $p$ være et primtall, og la $G$ være en endelig gruppe hvor $p$ deler $|G|$. Da har $G$ et element av orden $p$, og dermed en undergruppe av orden $p$.

Korollar

La $G$ være en endelig gruppe. $G$ er da bare en $p$-gruppe hvis $|G| = p^i$, altså en potens av $p$.

La $H$ og $G$ være to grupper med $H \leq G$, og la $G_H = \{g \in G\>|\>gHg^{-1} = H\}$. $G_H$ er normalisatoren av $H$ i $G$. Vi skriver $G_H$ som $N[H]$.

Lemma

La $H$ være en $p$-undergruppe av en endelig gruppe $G$. Da er

$$ (N[H]\>:\>H) \equiv (G\>:\>H)(\text{mod}\>p). $$

Korollar

La $H$ være en $p$-undergruppe av en endelig gruppe $G$. Hvis $p$ deler $(G\>:\>H)$, så er $N[H] \neq H$.

Første Sylow Teorem

La $G$ være en endelig gruppe og la $G = p^n m$ hvor $n \geq 1$ og $p$ ikke deler $m$. Da har vi

1. $G$ inneholder en undergruppe av orden $p^i$ for alle $1 \leq i \leq n$,
2. Hver undergruppe $H$ av $G$ av orden $p^i$ er en normal undergruppe av en undergruppe av orden $p^i$ for alle $1 \leq i \leq n$

En Sylow $p$-undergruppe av en gruppe $G$ er en maksimal $p$-undergruppe av $G$.

Andre Sylow Teorem

La $P_1$ og $P_2$ være Sylow $p$-undergrupper av en endelig gruppe $G$. Da er $P_1$ og $P_2$ konjugerte undergrupper av $G$

Tredje Sylow Teorem

Hvis $G$ er en endelig gruppe og $p$ deler $|G|$, er antall Sylow $p$-undergrupper av $G$ kongruent til $1$ modulo $p$, og deler $|G|$.

(TODO: Eksempler)