TMA4150: Algebra og tallteori
Introduksjon
Forord
Kompendiet vil bli strukturert nesten regelrett etter oppbygningen til [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra]
Under vil en kjapp repitisjon av mengder og relasjoner bli gitt.
Mengde
Det er umulig å definere alle konsepter
"En ku er et pattedyr". Men hva er et pattedyr? "Et pattedyr er en undergruppe av virveldyrene". Men hva er et virveldyr? "Virveldyr er dyr med et indre skjelett" Men hva er dyr?...
... Og slik kan du holde på til du ikke har flere ord igjen i ordboken, og må definere dine tidligere definisjoner med ord du allerede har brukt, og ender opp med sirkulære definisjoner.
Dette gjelder også i matematikken. Dermed må vi ha et udefinert, primitivt konsept som et startsted for videre definisjoner. I matematikken er dette konseptet en mengde.
En mengde er en veldefinert samling av unike elementer, også kalt objekter. Hvis et element
Det er en og bare en mengde uten elementer, kalt den tomme mengden,
Det er flere måter å beskrive en mengde. En vanlig notasjon er klammeparenteser, for eksempel:
Hvis vi vil ha en mengde med elementer som tilfredstiller et vilkårlig kriterie,
lest "mengden av alle x slik at P(x) er tilfredstilt". Vi kan også beskrive en mengde direkte, som "Mengden av alle røde biler i Oppdal", eller "Alle primtall".
Beskrivelsene
beskriver samme mengde.
En mengde må være veldefinert. Det vil si at beskrivelser som "Mengden av noen tall over 10" ikke kan brukes om en mengder. På en annen side må vi ikke kjenne til alle elementer i en mengden for å beskrive mengden. Selv om vi ikke kjenner til alle primtall, kan vi uten problemer definere mengden "Alle primtall".
En mengde som ikke er av uendelig størrelse, kalles en endelig mengde.
Delmengde
Vi sier at en mengde
Hvis A inneholder elementer ikke i B, er B en ekte delmengde av A, og skrives
B er en ekte delmengde av A hvis og bare hvis
Eksempel
Finn alle delmengdene til
Settet har åtte delmengder:
Merk at rekkefølgen på elementene er uten betydning.
Mengden av alle delmengdene til en mengde
Kartesisk produkt
For to mengder
Altså alle mulige tupler dannet ved et element fra
Eksempel
La
Noen viktige mengder
Mengden av alle heltall | |
Mengden av alle rasjonale tall | |
Mengden av alle reelle tall | |
Mengden av alle komplekse tall |
Mengden
Mengden
Mengden
En særdeles viktig mengde er mengden
Relasjoner
En relasjon mellom to mengder er en delmengde
Enhver relasjon mellom en mengde
Et eksempel på en relasjon er funksjonen
En funksjon
For en slik funksjon er
Kardinalitet
Kardinaliteten til en endelig mengde
Kardinaliteten til uendelige mengder er i all hovedsak utenfor pensum. Det kan dog være fornuftig å notere seg at kardinaliteten til
Kardinaliteten til
Surjektivitet
En funksjon
$\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er surjektiv, eller på, hvis og bare hvis$\phi[X] = Y$ . Altså hvis verdiene til$X$ etter å ha bli transformert av$\phi$ , utgjør hele$Y$ . Vi sier at$\phi$ er en surjeksjon fra$X$ på$Y$ .
To kjappe eksempeler fra kalkulus
La
La
Injektivitet
En funksjon
$\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er injektiv, eller en-til-en, hvis og bare hvis for hver$y \in Y$ , så finnes det bare en$x \in X$ , s.a.$\phi(x) = y$ .
To kjappe eksempler
La
La
Bijektivitet
En funksjon er bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv.
Om en funksjon er surjektiv og strengt voksende på en ordnet mengde (dvs. vi har en tilhørende relasjon
La
La
Om du ønsker, prøv til slutt å finne en bijeksjon mellom
Ekvivalensrelasjoner
En relasjon er en ekvivalensrelasjon på en mengde
Refleksiv
En relasjon
$\mathscr{R}$ på$S$ er refleksiv hvis for hver$x \in S$ , så er$x\>\mathscr{R}\>x$ .
Eksempel
Symmetrisk
En relasjon
$\mathscr{R}$ på$S$ er symmetrisk hvis for hver$x,y \in S$ , og$x\>\mathscr{R}\>y$ så er$y\>\mathscr{R}\>x$ .
Eksempel
Transitiv
En relasjon
$\mathscr{R}$ på$S$ er transitiv hvis for hver$x,y,z \in S$ , og$x\>\mathscr{R}\>y$ ,$y\>\mathscr{R}\>z$ , så er$x\>\mathscr{R}\>z$ .
Eksempel
Binære operasjoner
En binær operasjon
Eksempelvis er
La
$*$ være en binær operasjon på$S$ , og la$H$ være en delmengde av$S$ .$H$ er lukket under$*$ hvis for alle$a, b \in H$ , så er$a$ *$b \in H$ . I dette tilfellet hvor den binære operasjonen er begrenset til$H$ , kaller vi operasjonen den induserte operasjonen av$*$ på$H$ .
Eksempel (2.6 i boka)
La
- Addisjon?
- Multiplikasjon?
Det kan først være greit å gjøre seg kjent med delmengden vår,
For addisjon ser vi at siden
For multiplikasjon går vi litt mer generelt til verks:
La
siden
Kommutativitet
En binær operasjon
$*$ er kommutativ på en mengde$S$ hvis og bare hvis$$ a*b = b*a $$
for alle
Assosiativitet
En binær operasjon
$*$ er assosiativ på en mengde$S$ hvis og bare hvis$$(a*b)*c = a*(b*c)$$
for alle
Tabell-notasjon
(TODO)
Isomorfier
(TODO)
Grupper
En gruppe
$\left<G, *\right>$ er en mengde$G$ , lukket under en binær operasjon$*$ , slik at de tre følgende aksiomene holder:
$\mathscr{G}_1$ :$*$ er assossativ: For alle$a, b, c \in G$ er
$$ (a * b) * c = a * (b * c) $$
$\mathscr{G}_2$ : Det finnes et element$e \in G$ , kalt identitetselement, slik at for alle$x \in G$ er
$$ e * x = x * e = x $$
$\mathscr{G}_3$ : For hver$a \in G$ , finnes det en invers$a' \in G$ , slik at
$$ a * a' = e $$
Heretter kommer en gruppe
Teorem
For en gruppe
Eksempel
Er
(a): Vi sjekker hvert aksiom:
1. (a+b)+c = a+(b+c).
(b): Vi sjekker hvert aksiom:
1.
Vi går heretter igjennom eksempelene litt kjappere.
Eksempel
Er
(a): Fra det forige eksemplet vet vi at
(b):
Eksempel
Er
(a):
(b):
- Multiplikasjon er assossiativt.
- Identitet
$e = 1$ - For enhver
$q \in \mathbb{Q}^+$ , har vi en$q' \in \mathbb{Q}^+$ definert ved$q' = 1/q$ som gjør$q \cdot q' = q \cdot \frac{1}{q} = 1$
Eksempel
La
Det holder å finne et moteksempel. Vi ser at
Utfordring: Er
Eksempel
Vis at
For en
La oss først verifisere at
La
Først må vi vise at operasjonen
La oss så sjekke gruppeaksiomene:
$(a + b) + c = a + (b + c)$ , dette faller rett ut av assossiativiteten til addisjon$0$ er identitetselement- For enhver
$a \in \mathbb{Z}_n$ finnes det en$a' \in \mathbb{Z}_n$ slik at$a a' = 0$ , definert ved$a + a' = n$ i$\mathbb{Z}$ .
Abelske grupper
En gruppe
$G$ er abelsk hvis dens binære operasjon er kommutativ, altså
$$ a * b = b * a $$ for hver
$a,b \in G$ .
En binær operasjon på en abelsk gruppe benevnes ofte
Generelt skrives binære operasjoner ofte bare ved sidestilling av elementer, i.e.
Endelige grupper
Hittil, med unntak av det siste eksemplet under Grupper, har vi bare håndtert uendelige grupper.
En endelig gruppe er en mengde
(TODO: Tabeller)
Undergrupper
La
$H$ være en mengde, og la$G$ være en gruppe med binær operasjon$*$ .$H$ er en undergruppe av$G$ , skrevet$H \leq G$ , hvis$H$ er en delmengde av$G$ , og$*$ er lukket under$H$ .
Hvis
Eksempelvis er
Vi har generelt tre krav som må tilfredstilles for at en gruppe
En gruppe
$H$ er en undergruppe av en gruppe$G$ hvis og bare hvis 1.$H$ er lukket under den binære operasjonen til$G$ 2. Identitetselementet til$G$ er også i$H$ 3. For alle$a \in H$ , er også$a^{-1} \in H$
Eksempel
La
Vi sjekker enkelt og greit kravene våre. Her kan vi sjekke alle kravene ved å teste alle elementer om vi vil.
- Dette må åpenlyst være tilfelle. Men la oss verifisere det for å være på den sikre siden:
$0 + 2 = 2,\> 2 + 0 = 2,\> 2 + 2 = 4 \equiv 0,\> 0 + 0 = 0$ . - Identitetselementet til
$G$ er$0$ , som også er i$H$ . - Vi har bare ett element ikke lik
$0$ i$H$ , nemlig$2$ , som har invers$2$ .
Sykliske grupper
La oss slenge ut en påstand:
En endelig gruppe
$G$ som inneholder et element$a$ , må også inneholde alle$a^n,\>n \in \mathbb{Z}$ .
Dette kan vi bevise ganske enkelt ved induksjon (her gjort litt uformelt):
Hvis
Det burde nå være enkelt å overbevise seg over følgende:
For en gruppe
$G$ og et element$a \in G$ , er undergruppen$H$ av G, definert ved
$$ H = \{a^n\:|\:n \in \mathbb{Z} \} $$ den minste undergruppen som inneholder
$a$ .Gruppen
$H$ over er den sykliske undergruppen av$G$ generert av$a$ , og skrives$\left<a\right>$ , Hvis$a$ genererer$G$ , er$a$ en generator av$G$ .Hvis en gruppe
$G$ har en generator er$G$ syklisk.
Eksempel
Er
Ordenen til et element
$a$ i en gruppe$G$ , er ordenen til den sykliske gruppen$\left<a\right>$ generert av$a$ . Hvis denne er uendelig, sier vi at$a$ er av uendelig orden.Hver sykliske gruppe er abelsk
Bevis
La
Merk at
Samme bevis med annen notasjon
La
Divisjonsalgoritmen for grupper
La
$m$ være et positivt heltall, og la$n$ være et gitt heltall. Da finnes det heltall$q, r$ slik at
$$ n = mq + r,\quad 0 \leq r \le m $$
Det blir ikke gitt noe bevis for dette her. Rent intuivt kan kanskje se at dette må være tilfelle, siden et hvert heltall kan skrives som en multippel av et annet heltall, pluss en rest.
Eksempel
La
Vi vet at
Dette virker knapt overraskende. Men vi skal nå bruke dette teoremet til noe litt viktigere.
En undergruppe av en syklisk gruppe er selv syklisk
Bevis
La
$G$ være en syklisk gruppe med generator$a$ , og la$H$ være en undergruppe av$G$ . Hvis$H = \{e\}$ er vi ferdige. Hvis ikke, la$m$ være det minste positive heltallet slik at$a^m \in H$ .La
$a^m = c \in H$ . Vi påstår at$c$ genererer$H$ , altså$\left<c\right> = H$ . Det må bety at hver$b \in H$ må være en potens av c (kravet for at H skal være syklisk).Så la oss skrive
$b = a^n$ . La oss nå bruke divisjonsalgoritmen og skrive$$n = mq + r,$$ slik at$$ a^n = a^{mq + r} \ \implies a^r = a^n a^{-mq} $$ Siden
$a^{-mq}, a^n \in H$ er$a^r \in H$ . Men dette kan ikke være mulig med mindre$r = 0$ , siden vi har av divisjonsalgoritmen at$r < m$ , og siden vi valgte$m$ til å være den minste positive potensen$a^m \in H$ . Dermed er$r = 0$ , og$$ a^n = a^{mq} \implies b = c^q $$
Alle gruppene
La
$G$ være en syklisk gruppe av uendelig orden. Da er$G$ isomorf til$\left<\mathbb{Z}, +\right>$ .
Permutasjonsgrupper
De fleste har kanskje en ide om hva en permutasjon er. For en mengde kan man anse det som en omstokking av elementene. La oss ta mengden
En permutasjon av en mengde
$M$ er en funksjon$\phi\: :\: M \rightarrow M$ som er bijektiv (altså en-til-en.)Permutasjon er en binær operasjon.
Eksempel
Ta utgangspunkt i permutasjonen
og kall denne
Vi regner ut ved å bytte om elementene som indikert:
Eksempel
La S og
Regn ut
Vi merker oss at resultatene ikke er kommuterer, og at gruppen av permutasjoner dermed ikke kan være abelsk.
Merk også at vi regner ut fra høyre til venstre.
Siden notasjonen brukt i eksemplene ovenfor kan være litt slitsom og klumpete, bruker vi ofte notasjonen
for permutasjoner. Her indikerer hvert vertikalt par en avbildning.
La
$A$ være en endelig gruppe med$n$ elementer$\{1,2,3,\dots,n\}$ . Gruppen av alle permutasjoner på$A$ , er den symmetriske gruppen på n bokstaver,$S_n$ .
Merk at vi har
Denne gruppen er essensielt alle permutasjoner en kan gjøre på en regulær
Cayley's Teorem
Enhver gruppe er isomorf til en gruppe av permutasjoner.
Alternativt kan man si at en enhver gruppe er isomorf til en delgruppe av
Orbitaler
La oss se på permutasjonen
Vi ser at permutasjonen bytter om
Orbitaler kan defineres ved en ekvivalensrelasjon:
La
$\sigma$ være en permutasjon av en mengde$A$ . La så$a, b \in A$ , og la$~$ være en relasjon definert ved$a~b$ hvis og bare hvis$b = \sigma^n(a)$ for en$n\in \mathbb{Z}$ .
Merk analogien til sykliske grupper.
Eksempel
Finn alle orbitaler i permutasjonen
Vi ser på hvert element. Til å begynne med er
En orbital med to elementer kalles en transposisjon.
En permutasjon
$\tau$ er en sykel hvis den har maksimalt en orbital med mer enn ett element.
Vi bruker ofte en en-rads notasjon for sykler
Her tar permutasjonen
Permutasjonen
er eksempelvis en sykel. Mens
er ikke en sykel, siden den inneholder to orbitaler med to elementer:
Disjunkte sykler
To sykler er disjunkte hvis de ikke inneholder samme element
For eksempel er
Enhver permutasjon kan skrives som et produkt av disjunkte sykler.
Restklasser
Lagranges Teorem
Endelig-genererte abelske grupper
Homomorphismer
Faktorgrupper
Gruppevirkninger
Ringer
Hittil har vi bare diskutert grupper, som er en mengde
En ring
$\left<R, +, \cdot\right>$ er en mengde$R$ med to tilhørende binære operasjoner$+$ og$\cdot$ , kalt addisjon og multiplikasjon. For en slik ring$R$ , er følgende aksiomer tilfredstilt:
$\mathscr{R}_1$ :$\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe.
$\mathscr{R}_2$ : Multiplikasjonen er assosiativ
$\mathscr{R}_3$ : For alle$a,b,c \in R$ , gjelder den venstre distributive lov;$$a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,$$ og den høyre distributive lov;$$(a+b)\cdot c = a\cdot c + a\cdot b.$$
Eksempler på ringer er
Det kan også vises at
Direkte produkt
For ringer
Homomorfier
For ringer
$R$ og$R'$ er en avbildning$\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ en homomorfi hvis og bare hvis, for alle$a,b \in R$ :
$\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$ $\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot \phi(b)$
En kan si at homomorfien må gjelde både for den additive operasjonen og den multiplikative operasjonen til R.
Mer om dette under Ringhomomorfier.
Evalueringshomomorfien
Evalueringshomomorfien er homomorfien
Isomorfier
En isomorfi
Kommutative ringer, Divisjonsringer og Kropper
En ring med kommutativ multiplikasjon er en kommutativ ring. En ring med en multiplikativ identitet kalles for en ring med enhet.
En ring med multiplikativ invers for hvert element ikke lik
$0$ , dvs. en >$r' \in R$ for hver$r \in R$ slik at$rr' = e$ , kalles en divisjonsring.En kropp er en kommutativ divisjonsring. Altså en ring med kommutativ multiplikasjon som har en multiplikativ invers for hvert element i ringen.
(TODO: Eksempler)
Underring & Underkropp
En underring
En underkropp følger analogt for en kropp.
Integritetsdomene
Før vi kan definere integritetsdomener må vi kjenne til nulldivisorer.
To elementer
Eksempel
Er
Siden
Eksempel
Er
Et integritetsdomene
$D$ er en kommutativ ring med multiplikativ identitet$1 \neq 0$ som inneholder ingen nulldivisorer.
Det er lett å overbise seg om at
I
$\mathbb{Z}_n$ er nulldivisorene alle elementer som ikke er lik$0$ , og som ikke er relativt primiske til$n$ .
Bevis
La
La så
Korollar
Hvis
$p$ er et primtall, har$\mathbb{Z}_p$ ingen nulldivisorer.
Bevis for teoremene under kan finnes på s. 180 i boka.
En hver kropp
$F$ er et integritetsdomene.Et hvert endelig integritetsdomene er en kropp.
Korollar
Hvis
$p$ er et primtall, er$\mathbb{Z}_p$ en kropp. (Dette faller ut av forige teorem og forige korollar)
Vi fullfører ringer med å definere karakteristikken til en ring:
Karakteristikken til en ring er det laveste heltallet
Karakteristikken til
Eulers og fermats teoremer
Fermats Lille Teorem
Vi begynner med å konstatere noe som kanskje nå er åpenlyst:
For en hver kropp, danner alle elementer ikke lik 0 en gruppe under multiplikasjon.
La oss nå se på elementene i
Et hvert element i denne gruppen er som tidligere nevnt syklisk, og generer undergrupper av en orden
Siden
Dette gir oss Fermats Lille Teorem:
Hvis
$a \in \mathbb{Z}$ og$p$ er et primtall som ikke deler$a$ , så deler$p$ $a^{p-1} -1$ , altså
$$ a^{p-1} \equiv 1\>(\text{mod}\>p),\> a \not\equiv 0\> (\text{mod}\> p) $$
Korollar
Hvis
$a \in \mathbb{Z}$ , så er$a^p \equiv a\> (\text{mod}\> p)$ for en hver$p$ .
Eksempel
Hva er
Trikset her er å dele opp tallet i en base
Eulers Teorem
Eulers phi-funksjon
Hvis
$a$ er et heltall relativt primisk til$n$ , er$a^{\phi(n)} - 1$ delbart med$n$ , altså er
$$ a^{\phi(n)} = 1 (\text{mod}\> n) $$
La oss se på
Polynomer
Ringer av polynomer
Det kan være lurt å formalisere noen konsepter vi tidligere "har tatt for gitt", og introdusere noen nye utrykk.
For et polynom av
Settet av alle polynomer med koeffesienter i ringen
For en ring
Vi skriver polynomet som en uendelig sum, ikke en endelig sum, for å unngå flere definisjoner av samme polynom, e.g
Merk vi i all hovedsak skal arbeide med kropper av polynomer. Det kan vises at for en kropp
Eksempel
Ekspander
To og flere ukjente
For to ukjente, sier vi at
For flere, sier vi at
Evalueringshomomorfien, part II
Det er nå hensiktsmessig å se tilbake på evalueringshomomorfien, og definere den for kropper.
Har vi to kropper
$F$ og$E$ , med$F \leq E$ , og for$\alpha \in E$ , har vi evaluasjonshomomorfien
$$ \phi_{\alpha}\>:\>F[x] \rightarrow E \\ \phi_{\alpha}(a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n) = a_0 + a_1 \alpha + \dots \ a_n $$
Homorfien
Det er nå klart at en "løsning" av et polynom, er enhver evalueringshomomorfi
En
Grunnen til at ordet løsning var i hermetegn over, var at vi ikke lenger snakker om å løse et polynom, men heller om å finne røttene til polynomet.
Eksempel
La
- Beskriv
$N = \text{Ker}(\phi_2)$ . - Er
$x^3 - x^2 - 2$ i$N$ ?
Altså er
Faktorisering av polynomer
La
$F[x]$ være en kropp av polynomer, og la$f(x), g(x) \in F[x]$ være to polynomer i$F[x]$ . Da kan$f(x) skrives$
$$ f(x) = g(x)q(x) + r(x) $$ hvor
$q(x), r(x) \in F[x]$ . Dette kalles for divisjonsalgoritmen for$F[x]$ .
Merk likhetstrekkene til divisjonsalgoritmen for
Et element
$a \in F$ er en rot i$f(x) \in F[x]$ hvis og bare hvis$x - a$ er en faktor av$f(x)$ i$F[x]$ .Et polynom ikke lik
$0$ i$F[x]$ av grad$n$ kan maksimalt ha$n$ røtter.
De to siste av disse teoremene har vi brukt hyppig for å finne røttene til polynomer helt fra den videregående skole.
Irredusible polynomer
Et polynom
$f(x) \in F[x]$ er irredusibel i$F$ hvis polynomet ikke kan skrives som et produkt$f(x) = g(x)h(x)$ hvor$g(x), h(x) \in F[x]$ er polynomere av lavere grad enn$f(x)$ .
Et eksempel på et irredusibelt polynom er
(TODO: Eksempler)
Eisenstein-kriteriet
La
$p \in \mathbb{Z}$ være et primtall, og la$f(x) = a_n x^n + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ . La også$a_n \not\equiv 0 (\text{mod} p)$ ,$a_i = 0 (\text{mod}\>p)$ for alle$i < n$ og$a_0 \not\equiv 0 (\text{mod}\>p^2)$ . Da er$f(x)$ irredusibel over$\mathbb{Q}$ .
Ringhomomorfier og faktorringer
Ringhomomorfier
Vi repeterer homomorfier en siste gang, og definerer de analoge resultatene av homomorfier for ringer.
La
For hver
La
La
(TODO: Eksempler)
Kjerne
La
$\phi\>:\>R\>\rightarrow\>R'$ være en ringhomomorfi. Da er underringen
$$ \phi^{-1}[0'] = \{r \in R | \phi(r) = 0'\} $$ kjernen til R.
Faktorringer
La
Avbildningen
Den additive delen av dette er allerede konstatert (og bevist i boken) for faktorgrupper.
Idealer
I gruppeteori, definerte vi normale undergrupper. Tilsvarende for ringer har vi idealer.
La
Vi kan nå definere faktorringer.
La
$N$ være et ideal av en ring$R$ . De additive restklassene av$N$ danner en ring$R/N$ , faktorringen av$R$ ved$N$ , ved de binære operasjonene addisjon og multiplikasjon, definert ved
$$ (a + N) + (b + N) = (a + b) + N \\ (a + N)(b + N) = (ab) + N $$
(TODO: Eksempler)
Fundamentalteoremet for homomorfier II
Har du lest fundementalteoremet for homomorfier, vil det følgende knapt overraske:
La
Maksimale idealer
Hver ring
Hvis
$R$ er en ring med identitet, og$N$ er et ideal av$R$ som inneholder en enhet, er$N = R$
Et maksimalt ideal av en ring R, er et ideal
Hvis
$R$ er en kommutativ ring med identitet, er$M$ et maksimalt ideal av$R$ hvis og bare hvis$R/M$ er en kropp.
(TODO: Eksempler)
Sylowteori
I endelig-genererte abelske grupper klassifiserte vi endelig-genererte abelske grupper fullstendig. Dette er ikke fullt så lett å gjøre for grupper som ikke er abelske. Men teoremene til Peter Ludvig Mejdell Sylow hjelper oss et stykke på vei.
Først må vi få noen definisjoner på plass:
La
La så
Cauchy's Teorem
La
$p$ være et primtall, og la$G$ være en endelig gruppe hvor$p$ deler$|G|$ . Da har$G$ et element av orden$p$ , og dermed en undergruppe av orden$p$ .
Korollar
La
$G$ være en endelig gruppe.$G$ er da bare en$p$ -gruppe hvis$|G| = p^i$ , altså en potens av$p$ .La
$H$ og$G$ være to grupper med$H \leq G$ , og la$G_H = \{g \in G\>|\>gHg^{-1} = H\}$ .$G_H$ er normalisatoren av$H$ i$G$ . Vi skriver$G_H$ som$N[H]$ .
Lemma
La
$H$ være en$p$ -undergruppe av en endelig gruppe$G$ . Da er
$$ (N[H]\>:\>H) \equiv (G\>:\>H)(\text{mod}\>p). $$
Korollar
La
$H$ være en$p$ -undergruppe av en endelig gruppe$G$ . Hvis$p$ deler$(G\>:\>H)$ , så er$N[H] \neq H$ .
Første Sylow Teorem
La
$G$ være en endelig gruppe og la$G = p^n m$ hvor$n \geq 1$ og$p$ ikke deler$m$ . Da har vi
$G$ inneholder en undergruppe av orden$p^i$ for alle$1 \leq i \leq n$ ,- Hver undergruppe
$H$ av$G$ av orden$p^i$ er en normal undergruppe av en undergruppe av orden$p^i$ for alle$1 \leq i \leq n$
En Sylow
Andre Sylow Teorem
La
$P_1$ og$P_2$ være Sylow$p$ -undergrupper av en endelig gruppe$G$ . Da er$P_1$ og$P_2$ konjugerte undergrupper av$G$
Tredje Sylow Teorem
Hvis
$G$ er en endelig gruppe og$p$ deler$|G|$ , er antall Sylow$p$ -undergrupper av$G$ kongruent til$1$ modulo$p$ , og deler$|G|$ .
(TODO: Eksempler)
Eulers phi-funksjon & RSA
Nyttige lenker
Referanser
[John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra]