# Introduksjon ## Forord Kompendiet vil bli strukturert nesten regelrett etter oppbygningen til [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra] Under vil en kjapp repitisjon av mengder og relasjoner bli gitt. ## Mengde `Det er umulig å definere alle konsepter` "En ku er et pattedyr". Men hva er et pattedyr?

"Virveldyr er dyr med et indre skjelett" Men hva er dyr?... ... Og slik kan du holde på til du ikke har flere ord igjen i ordboken, og må definere dine tidligere definisjoner med ord du allerede har brukt, og ender opp med sirkulære definisjoner. Dette gjelder også i matematikken. Dermed må vi ha et _udefinert, primitivt_ konsept som et startsted for videre definisjoner. I matematikken er dette konseptet en __mengde__. En mengde er en veldefinert samling av unike __elementer__, også kalt __objekter__. Hvis et element $a$ er i en mengde $S$, skriver vi dette $a \in S$. Det er en og bare en mengde uten elementer, kalt den __tomme mengden__, $\emptyset$. Det er flere måter å beskrive en mengde. En vanlig notasjon er klammeparenteser, for eksempel: $$ \{1, 2, 3, 4\} $$ Hvis vi vil ha en mengde med elementer som tilfredstiller et vilkårlig kriterie, $ P(x) $, skriver vi $$ \{x \>|\> P(x)\} $$ lest "mengden av alle x slik at P(x) er tilfredstilt". Vi kan også beskrive en mengde direkte, som "Mengden av alle røde biler i Oppdal", eller "Alle primtall". Beskrivelsene $$ \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ $$ \{x \>|\> x \in \mathbb{Z^+} \>\text{and}\> x < 6\} $$ $$ \text{Alle positive heltall mindre enn 6} $$ beskriver samme mengde. En mengde må være __veldefinert__. Det vil si at beskrivelser som "Mengden av noen tall over 10" ikke kan brukes om en mengder. På en annen side må vi ikke kjenne til alle elementer i en mengden for å beskrive mengden. Selv om vi ikke kjenner til alle primtall, kan vi uten problemer definere mengden "Alle primtall". En mengde som ikke er av uendelig størrelse, kalles en __endelig mengde__. ### Undermengde Vi sier at en mengde $B$ er en __delmengde__ av en mengde $A$, hvis alle elementer i B også er i A. Dette skrives $$ B \subseteq A $$ Hvis A inneholder elementer ikke i B, er B en __ekte delmengde__ av A, og skrives $$ B \subset A $$ B er en ekte delmengde av A hvis og bare hvis $B \subseteq A$ og $B \neq A $. For en hver mengde $A$ er $A$ den __uekte delmengden__ til A. En hver annen delmengde til $A$ er en ekte delmengde __Eksempel__ Finn alle delmengdene til $S = \{5, 4, 3\}$. Settet har åtte delmengder: $$ \emptyset, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}, \{3, 4, 5\} $$ Merk at rekkefølgen på elementene er uten betydning. ## Kartesisk produkt For to mengder $A$ og $B$ er det kartesiske produktet definert ved $$ A \times B = \{(a, b) | a \in A\> \text{and}\> b \in B\} $$ Altså alle mulige tupler dannet ved et element fra $A$ og ett fra $B$. __Eksempel__ La $A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}$. Finn $ A \times B$. $$ A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} $$ ## Viktige tallmengder || $\mathbb{Z}$ || Mengden av alle heltall|| || $\mathbb{Q}$ || Mengden av alle rasjonale tall|| || $\mathbb{R}$ || Mengden av alle reelle tall|| || $\mathbb{C}$ || Mengden av alle komplekse tall|| Mengden $\mathbb{Z}^+$ er mengden av alle positive heltall. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $\mathbb{Z}^*$ er mengden av alle heltall utenom $0$. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $R \times R$ er det to-dimensjonale euklidiske plan. ## Relasjoner En relasjon mellom to mengder er en delmengde $\mathscr{R}$ av $A \times B$. Vi sier for hvert element $(a, b)$ i denne delmengden, så er $a$ relatert til $b$, og skriver $a \>\mathscr{R}\> b$. Enhver relasjon mellom en mengde $A$ og seg selv er en __relasjon på__ $A$. Et eksempel på en relasjon er funksjonen $f(x) = x$, som kan skrives som delmengden $\{(x,x) | x \in \mathbb{R}\}$ av $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. En __funksjon__ $\phi$ som transformerer et element i $X$ til et element i $Y$ sies å være en __mapping__ mellom $X$ og $Y$. Dette skrives $\phi: \> X \; \rightarrow \; Y$. En slik funksjon er en relasjon mellom $X$ og $Y$. Vi skriver (som kjent) en relasjon mellom to elementer, $(x,y) \in \phi$, som $\phi(x) = y$. For en slik funksjon er $X$ __definisjonsmengden__, $Y$ __verdiområet__, og $phi[X]$ __verdimengden__ til $\phi$. ## Kardinalitet Kardinaliteten til en mengde $A$ er antall elementer i $A$. Kardinaliteten til en mengde $S = \{1,2,3\}$ er altså $3$. (TODO: Skrive om kardinaliteten til mengder som f.eks. $\mathbb{Z}?) ## Surjektivitet En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __surjektiv__, eller __på__, hvis og bare hvis $\phi[X] = Y$. Altså hvis verdiene til $X$ etter å ha bli transformert av $\phi$, utgjør hele $Y$. Vi sier at $\phi$ er en surjeksjon fra $X$ på $Y$. (TODO: Eksempler) ## Injektivitet En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __injektiv__, eller __en-til-en__, hvis og bare hvis for hver $y \in Y$, så finnes det bare en $x \in X$, s.a. $\phi(x) = y$. (TODO: Eksempler) ## Bijektivitet En funksjon er __bijektiv__ hvis den er både injektiv og surjektiv. (TODO: Eksempler) ## Ekvivalensrelasjoner En relasjon er en __ekvivalensrelasjon__ på en mengde $S$ hvis den er __refleksiv, symmetrisk__ og __transitiv__. ### Refleksiv En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er refleksiv hvis for hver $x \in S$, så er $x\>\mathscr{R}\>x$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (2,2), (1,3), (3,3)\}$$ ### Symmetrisk En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er symmetrisk hvis for hver $x,y \in S$, og $x\>\mathscr{R}\>y$ så er $y\>\mathscr{R}\>x$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (2,3), (3,2)\} $$ ### Transitiv En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er transitiv hvis for hver $x,y,z \in S$, og $x\>\mathscr{R}\>y$, $y\>\mathscr{R}\>z$, så er $x\>\mathscr{R}\>z$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (1,2), (2,3), (1,3) \} $$ ## Binære operasjoner En __binær operasjon__ $*$ på en mengde $S$, er en funksjon som mapper $S \times S$ til S. Vi skriver $*(a,b)$ som $a*b$. Operasjonen tilegner $(a,b)$ en annen verdi i $S$. Eksempelvis er $+$(addisjon) $\cdot$(multiplikasjon) binære operasjoner på $\mathbb{Z}$. La $*$ være en binær operasjon på $S$, og la $H$ være en delmengde av $S$. $H$ er __lukket under__ $*$ hvis for alle $a, b \in H$, så er $a$*$b \in H$. I dette tilfellet hvor den binære operasjonen er begrenset til $H$, kaller vi operasjonen den __induserte operasjonen__ av $*$ på $H$. __Eksempel (2.6 i boka)__ La $+$ og $\cdot$ være de binære operasjonene addisjon og multiplikasjon på $\mathbb{Z}$, og la $H = \{x^2 \>|\>x \>\in\> \mathbb{Z^+}\}$. Er $H$ lukket under 1. Addisjon? 2. Multiplikasjon? Det kan først være greit å gjøre seg kjent med delmengden vår, $H$. Den er i kortfattethet mengden av alle kvadrater for positive heltall: $$\{1, 4, 9, \ldots\} $$ For addisjon ser vi at siden $1$ og $4$ begge er i $H$, men $1+4 = 5$ ikke er i $H$: $5 \notin H$. Så H er __ikke__ lukket under addisjon. For multiplikasjon går vi litt mer generelt til verks: La $x \in H$ og $y \in H$. Utifra definisjonen til $H$ (alle kvadrater), må det finnes $a, b \in S$ slik at $a^2 = x, b^2 = y$. Multiplikasjon mellom $x$ og $y$ kan dermed skrives $$ x\cdot y = a^2\cdot b^2 = (a\cdot b)^2 \in H $$ siden $(ab)^2$ også er et kvadrat. $H$ er dermed lukket under multiplikasjon. ### Kommutativitet En binær operasjon $*$ er __kommutativ__ på en mengde $S$ hvis og bare hvis $$ a*b = b*a $$ for alle $a,b \in S$. ### Assosiativitet En binær operasjon $*$ er __assosiativ__ på en mengde $S$ hvis og bare hvis $$(a*b)*c = a*(b*c)$$ for alle $a,b,c \in S$. ## Tabell-notasjon (TODO)

(TODO) # Grupper En __gruppe__ $\left<G, *\right>$ er en mengde $G$, lukket under en binær operasjon $*$, slik at de tre følgende aksiomene holder: $\mathscr{G}_1$: $*$ er assossativ: For alle $a, b, c_\in G$ er $$ (a * b) * c = a * (b * c) $$ $\mathscr{G}_2$: Det finnes et element $e \in G$, kalt __identitetselement__, slik at for alle $x \in G$ er $$ e * x = x * e = x $$ $\mathscr{G}_3$: For hver $a \in G$, finnes det en __invers__ $a' \in G$, slik at $$ a * a' = e $$ Heretter kommer en gruppe $G$ med binær operasjon $*$ til å bli refert til som $G$ _under_ $*$. __Teorem__ For en gruppe $G$ under den binære operasjonen $*$, gjelder __høyre og venstre kanselleringslov__, dvs $$ a * b = a * c \Longleftrightarrow b = c $$ $$ b * a = c * a \Longleftrightarrow b = c $$ __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}$ en gruppe under (a) addisjon, (b) multiplikasjon? (a): Vi sjekker hvert aksiom: 1. (a+b)+c = a+(b+c). $+$ er assossiativ 2. Identitetselementet er $0$ siden $a + 0 = 0 + a = a$ 3. For en hver $x \in Z$ finnes det en invers $-x \in Z$. $\mathbb{Z}$ er dermed en gruppe under addisjon. (b): Vi sjekker hvert aksiom: 1. $(a\cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 2. $1\cdot a = a\cdot 1 = a$ 3. Her rakner det. I $\mathbb{Z}$ har vi ingen invers. Ta for eksempel tallet $4$. Tallet $b$ som gjør $b\cdot4 = 1$ er $b = \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ er dermed _ikke_ en gruppe under multiplikasjon. Vi går heretter igjennom eksempelene litt kjappere. __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}^*$ en gruppe under (a) addisjon, (b) multiplikasjon? (a): Fra det forige eksemplet vet vi at $\mathbb{Z}$ er en gruppe under addisjon. Men dette var avhengig av identitetselementet $0$, som vi ikke har i $\mathbb{Z}^*$. $\mathbb{Z}^*$ er dermed ikke en gruppe under addisjon. (b): $\mathbb{Z}^*$ er ikke en gruppe under multiplikasjon av samme argument som for eksemplet ovenfor: vi har ingen invers. __Eksempel__ Er $\mathbb{Q}^+$ en gruppe under (a) addisjon og (b) multiplikasjon? (a): $\mathbb{Q}^+$ er ikke en gruppe under addisjon siden for et element $q \in Q^+$ må en invers være $-q$, som ikke er i $\mathbb{Q}^+$. (b): 1. Multiplikasjon er assossiativt. 2. Identitet $e = 1$ 3. For enhver $q \in \mathbb{Q}^+$, har vi en $q' \in \mathbb{Q}^+$ definert ved $q' = 1/q$ som gjør $q \cdot q' = q \cdot \frac{1}{q} = 1$ $\mathbb{Q}^+$ er dermed en gruppe under multiplikasjon. __Eksempel__ La $G = \{1, 2, 3, 4\}$ og definer $*$ ved $ a * b =$ __min__$(a,b)$ hvor min er funksjonen som velger den minste av $a$ og $b$. eller $a$ hvis de er like. Er $G$ under $*$ en gruppe? Det holder å finne et moteksempel. Vi ser at $G$ har identitetselement $4$, siden $4$ er det største elementet. Samtidig har vi ingen invers, siden for enhver $a \in G$ og $a < 4$, vil $a * b < 4$ for hver $b \in G$. $G$ er dermed ikke en gruppe under $*$. _Utfordring:_ Er $*$ assossiativ? ## Abelske grupper En gruppe $G$ er abelsk hvis dens binære operasjon er kommutativ, altså $$ a * b = b * a $$ for hver $a,b \in G$. $\mathbb{Z},\> \mathbb{N},\> \mathbb{R}\> og\> \mathbb{C}$ under addisjon er alle abelske grupper. En binær operasjon på en abelsk gruppe benevnes ofte $+$. Generelt skrives binære operasjoner ofte bare ved sidestilling av elementer, i.e. $a * b = ab$. ## Endelige grupper Hittil, med unntak av det siste eksemplet under [Grupper](#grupper), har vi bare håndtert uendelige grupper. En __endelig gruppe__ er en mengde $G$ med et endelig antall elementer under en binær operasjon $*$. (TODO: Tabeller)

# Sykliske grupper # Permutasjonsgrupper # Orbitaler # Restklasser # Lagranges Teorem # Endelig-genererte abelske grupper # Homomorphismer # Faktorgrupper # Gruppevirkninger # Ringer Hittil har vi bare diskutert _grupper_, som er en mengde $G$ med en tilhørende binær operasjon $*$. Det er av interesse for oss å diskutere mengder med _to_ tilhørende binære operasjoner, kalt ringer. En __ring__ $\left<R, +, \cdot\right>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt _addisjon_ og _multiplikasjon_. For en slik ring $R$, er følgende aksiomer tilfredstilt: $\mathscr{R}_1$: $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe. $\mathscr{R}_2$: Multiplikasjonen er assosiativ $\mathscr{R}_3$: For alle $a,b,c \in R$, gjelder den __venstre distributive lov__; $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$, og den __høyre distributive lov__; $(a+b)\cdot c = a\cdot c + a\cdot b$. Eksempler på ringer er $\left<\mathbb{Z}, +, \cdot\right>$, $\left<\mathbb{Q}, +, \cdot\right>$, og $\left<\mathbb{C}, +, \cdot\right>$. $M_n(\mathbb{R})$, mengden av $n \times n$-dimensjonale matriser, under addisjon og matrise-multiplikasjon, er også et eksempel på en ring. Det kan også vises at $\mathbb{Z}_n$ er en ring under addisjon og multiplikasjon, hvis multiplikasjon defineres til å være _resten_ av vanlig heltalsmultiplikasjon, modulo $n$ (denne operasjonen kalles for __multiplikasjon__ modulo $\mathbb{Z}_n$). ## Direkte produkt For ringer $R_1, R_2, \dots, R_n$ er det __direkte produktet__ av ringene en n-tuppel $R_1 \times R_2 \times R_3 \dots R_n$. Det direkte produktet er selv en ring, med addisjon og multiplikasjon definert elementvis. ## Homomorfier For ringer $R$ og $R'$ er en avbildning $\phi\>:\>R\>\Rightarrow\>R'$ en __homomorfi__ hvis og bare hvis, for alle $a,b \in R$: 1. $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$ 2. $\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot \phi(b)$

### Evalueringshomomorfien __Evalueringshomomorfien__ er homomorfien $\phi_a$, som avbilder ringen $F$, alle funksjoner fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$, til $\mathbb{R}$. Denne kommer til å bli hyppig brukt til videre diskusjon av løsning av polynomielle likninger. ### Ismorfiser En __isomorfi__ $\phi\>:\>R\>\Rightarrow\>R'$ er en homomorfi som også er _en-til-en_ og _på_ $R'$. ## Kommutative ringer, Divisjonsringer og Kropper En ring med _kommutativ multiplikasjon_ er en __kommutativ ring__. En ring med en __multiplikativ identitet__ kalles for en __ring med enhet__. En ring med __multiplikativ invers__ for hvert element ikke lik 0, dvs. en $r' \in R$ for hver $r \in R$ slik at $rr' = e$ , kalles en __divisjonsring__. En __kropp__ er en kommutativ divisjonsring. Altså en ring med kommutativ multiplikasjon som har en multiplikativ invers for hvert element i ringen. (TODO: Eksempler)

## Integritetsdomene Før vi kan definere integritetsdomener må vi kjenne til _nulldivisorer_. To elementer $a,b \in \mathbb{R}$ er __nulldivisorer__ hvis $ab = 0$, og hverken $a$ eller $b$ er $0$. __Eksempel__ Er $a = 3$ og $b = 4$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}$? Siden $3\cdot 4 = 12$ er $a,b$ _ikke_ _nulldivisorer_. __Eksempel__ Er $a = 3$ og $b = 4$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}_6$? $3\cdot 4 = 12 = 0$ i $\mathbb{Z}_6$. Altså er $a,b$ nulldivisorer i $\mathbb{Z}_6$. Vi er nå klare til å definere integritetsdomener: Et __integritetsdomene__ $D$ er en kommutativ ring med multiplikativ identitet $1 \neq 0$ som inneholder _ingen_ nulldivisorer. Det er lett å overbise seg om at $\mathbb{Z}$ er et integritetsdomene. __Teorem__ I $\mathbb{Z}_n$ er nulldivisorene alle elementer som ikke er lik $0$, og som ikke er relativt primiske til $n$. __Bevis__ La $m \in \mathbb{Z}_n$, hvor $m \neq 0$, og la den største fellesnevneren mellom $m$ og $n$ være $d \neq 1$. Vi har $$ m \left(\frac{n}{d}\right) = \left(\frac{m}{d}\right)n $$ $(m/d)n$ må være $0 \>\text{mod}\> n$, som betyr at $\left(\frac{n}{d}\right) m = 0$ (begge sider må være like). Men siden hverken $\frac{n}{d}$ eller $m$ er $0$, må $m$ være en nulldivisor. La så $m \in \mathbb{Z}_n$ være relativt primisk til $n$. For hver $s \in \mathbb{Z}_n$ hvor $s\cdot m = 0$, må $n$ dele $s$, og $s = 0$ i $\mathbb{Z_n}$. __Korollar__ Hvis $p$ er et primtall, har $\mathbb{Z}_p$ ingen nulldivisorer. Bevis for teoremene under kan finnes på s. 180 i boka. __Teorem__ En hver kropp $F$ er et integritetsdomene. __Teorem__ Et hvert endelig integritetsdomene er en kropp. __Korollar__ Hvis $p$ er et primtall, er $\mathbb{Z}_p$ en kropp. (Dette faller ut av forige teorem og forige korollar) Vi fullfører ringer med å definere karakteristikken til en ring: __Karakteristikken__ til en ring er det laveste heltallet $n$, slik at $n\cdot a = 0$ for _alle_ $a \in R$. Hvis inget slik heltall eksisterer, er R av karakteristikk $0$. Karakteristikken til $\mathbb{Z}_n$ er $n$. # Eulers og fermats teoremer ## Fermats Lille Teorem Vi begynner med å konstatere noe som kanskje nå er åpenlyst: `For en hver mengde, danner alle elementer ikke lik 0 en gruppe under multiplikasjon` La oss nå se på elementene i $\mathbb{Z}_p$: $$ 1,2,3,\ldots,p-1 $$

Siden $\mathbb{Z}_p$ er isomorf til ringen av restklasser $a + p \mathbb{Z}$, må enhver $a \in \mathbb{Z}$ som ikke er i restklassen $0 + p \mathbb{Z}$(merk at dette er det analoge kriteriet til $b \neq 0$ ovenfor, gitt isomorfien) følge $$ a^{p-1} = 1 (\text{mod} p) $$ Dette gir oss __Fermats Lille Teorem__: __Teorem__ Hvis $a \in \mathbb{Z}$ og $p$ er et primtall som ikke deler $a$, så deler $p$ $a^{p-1} -1$, altså $$ a^{p-1} \equiv 1 (\text{mod} p), a \not\equiv 0 (\text{mod}\> p) $$ __Korollar__ Hvis $a \in \mathbb{Z}$, så er $a^p \equiv a\> (\text{mod}\> p)$ for en hver $p$. __Eksempel__ Hva er $8^{903}\> (\text{mod}\> 17)$? Trikset her er å dele opp tallet i en base $a$ udelbar med $p$, og en eksponent lik $p-1$: (TODO: Verifiser, dette ble regnet litt fort) $$ \begin{array}{l} 8^{903} &\equiv (8^{16})^{56}\cdot8^7 \equiv (1^{56})\cdot 8^7 \equiv (8^2)^3 \cdot 8 \equiv (64)^3 \cdot 8 \equiv 13^3\cdot 8 \equiv (-4)^3 \cdot 8 \\ &\equiv -64\cdot 8 \equiv -13 \cdot 8 \equiv 4 \cdot 8 \equiv 32 \equiv -2 \equiv 15\> (\text{mod}\> 17) \end{array} $$ ## Eulers Teorem __Eulers phi-funksjon__ $\phi(n)\>:\>\mathbb{Z}^+ \Rightarrow \mathbb{Z}^+$, er antall elementer ikke lik 0 i $\mathbb{Z}_n$ som ikke er nulldivisorer. Med denne kan vi gi Eulers Teorem. __Teorem__ Hvis $a$ er et heltall relativt primisk til $n$, er $a^{\psi(n) - 1}$ delbart med $n$, altså er $$ a^{\psi(n) - 1} = 1 (\text{mod}\> n) $$ La oss se på $n = 16$. De positive heltallene som er relativt primisk til 16 er: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$. Dette gir $\phi(n) = 7$. Vi kan dermed konstatere at $$ 3^{7} = 5^{7} = 7^{7} = 9^{7} = 11^{7} = 13^{7} = 15^{7} = 1 (\text{mod}\>16) $$ # Polynomer ## Ringer av polynomer Det kan være lurt å formalisere noen konsepter vi tidligere "har tatt for gitt", og introdusere noen nye utrykk.

Settet av alle polynomer med koeffesienter i ringen $R$, skrives $R[x]$. For en ring $R$, er et polynom $f(x)$ med __koeffesienter__ i $R$ en uendelig formell sum $$ f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_n x^n + \dots $$ $a_i$ er __koeffesientene til__ $f(x)$, og hvis det finnes en $i \geq 0$ slik at $a_{n} = 0$, for alle $n \geq i$, er $i$ __graden__ til polynomet. Vi skriver polynomet som en uendelig sum, ikke en endelig sum, for å unngå flere definisjoner av samme polynom, e.g $$ 2x + x^2 = 0 + 2x + x^2 + 0x^3 = 2x + x^2 + 0x^{101} $$ Merk vi i all hovedsak skal arbeide med _kropper av polynomer_. Det kan vises at for en kropp $F$ er $F[x]$ et integritetsdomene. __Eksempel__ Ekspander $(x+3)^4$ i $\mathbb{Z}_ 4$. $$ \begin{align} (x+3)(x+3)(x+3) &= x^4 + (1+1+1+1)x^3 + (1+1+1+1+1+1)x^2 \\ + (1+1+1+1)x + 1 &=x^4 + 0x^3 + 2x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 \end{align} $$ ### To og flere ukjente For to ukjente, sier vi at $R[x,y]$ er ringen av polynomer for __to ukjente__ $x$ og $y$ med koeffesienter i $R$. For flere, sier vi at $R[x_1, x_2, \dots, x_n]$ er ringen av polynomer for __n ukjente__ $x_i$ med koeffesienter i $R$. ## Evalueringshomomorfien, part II Det er nå hensiktsmessig å se tilbake på [evalueringshomomorfien](#evalueringshomomorfien), og definere den for $kropper$. Har vi to kropper $F$ og $E$, med $F \leq E$, og for $\alpha \in E$, har vi __evaluasjonshomomorfien__ $$ \phi_{\alpha}\>:\>F[x] \Rightarrow E \\ \phi_{\alpha}(a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n) = a_0 + a_1 \alpha + \dots \ a_n $$ Homorfien $\phi_{\alpha}$ kalles for __evalueringen av__ $\alpha$. Det er nå klart at en "løsning" av et polynom, er enhver evalueringshomomorfi $\phi_{\alpha}$ slik at polynomet er i $\text{Ker}(\phi_{\alpha})$. (TODO legge link til kjerne-kapitellet når det kommer på plass). En $\alpha$ slik at $f(\alpha) = 0$ er __en rot__ av polynomet. Grunnen til at ordet løsning var i hermetegn over, var at vi ikke lenger snakker om å _løse_ et polynom, men heller om å _finne røttene_ til polynomet. __Eksempel__ La $\phi_{2}$ være evalueringshomomorfien $\phi_{2}\>:\>\mathbb{Q}[x]\>\Rightarrow\>\mathbb{R}$. Beskriv $N = \text{Ker}(\phi_2)$. Er $x^3 - x^2 - 2$ i $N$? $\text{Ker}(\phi_2)$ er alle polynomer $f(x)$ slik at $\phi_2(f(x)) = 0$. $$ \phi_2(x^3 - x^2 - 2) = 2^3 - 2^2 - 2 = 8 - 4 - 2 = 2 \neq 0 $$ Altså er $x^3 - x^2 - 2$ ikke i $\text{Ker}(\phi_2)$. ## Faktorisering av polynomer __Teorem__ La $F[x]$ være en kropp av polynomer, og la $f(x), g(x) \in F[x]$ være to polynomer i $F[x]$. Da kan $f(x) skrives$ $$ f(x) = g(x)q(x) + r(x) $$ hvor $q(x), r(x) \in F[x]$. Dette kalles for __divisjonsalgoritmen for__ $F[x]$. Merk likhetstrekkene til divisjonsalgoritmen for $\mathbb{Z}$. (TODO: link til denne når den kommer på plass) __Teorem__ Et element $a \in F$ er en rot i $f(x) \in F[x]$ hvis og bare hvis $x - a$ er en faktor av $f(x)$ i $F[x]$. __Teorem__

## Irredusible polynomer Et polynom $f(x) \in F[x]$ er __irredusibel__ i $F$ hvis polynomet ikke kan skrives som et produkt $f(x) = g(x)h(x)$ hvor $g(x), h(x) \in F[x]$ er polynomere av lavere grad enn $f(x)$.

# Sylowteori # Eulers phi-funksjon & RSA # Nyttige lenker [Relasjoner, matematikk.net](http://matematikk.net/side/Relasjoner) [Grupper, wolframalpha](http://mathworld.wolfram.com/Group.html) [Restklasser, UiO](http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT2200/v13/restklasser.pdf) # Referanser [John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra]