# Introduksjon ## Forord Kompendiet vil bli strukturert nesten regelrett etter oppbygningen til [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra] Under vil en kjapp repitisjon av mengder og relasjoner bli gitt. ## Mengde `Det er umulig å definere alle konsepter` "En ku er et pattedyr". Men hva er et pattedyr? "Et pattedyr er en delgruppe av virveldyrene". Men hva er et virveldyr? "Virveldyr er dyr med et indre skjelett" Men hva er dyr?... ... Og slik kan du holde på til du ikke har flere ord igjen i ordboken, og må definere dine tidligere definisjoner med ord du allerede har brukt, og ender opp med sirkulære definisjoner. Dette gjelder også i matematikken. Dermed må vi ha et _udefinert, primitivt_ konsept som et startsted for videre definisjoner. I matematikken er dette konseptet en __mengde__. En mengde er en veldefinert samling av unike __elementer__, også kalt __objekter__. Hvis et element $a$ er i en mengde $S$, skriver vi dette $a \in S$. Det er en og bare en mengde uten elementer, kalt den __tomme mengden__, $\emptyset$. Det er flere måter å beskrive en mengde. En vanlig notasjon er klammeparenteser, for eksempel: $$ \{1, 2, 3, 4\} $$ Hvis vi vil ha en mengde med elementer som tilfredstiller et vilkårlig kriterie, $ P(x) $, skriver vi $$ \{x \>|\> P(x)\} $$ lest "mengden av alle x slik at P(x) er tilfredstilt". Vi kan også beskrive en mengde direkte, som "Mengden av alle røde biler i Oppdal", eller "Alle primtall". Beskrivelsene $$ \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ $$ \{x \>|\> x \in \mathbb{Z^+} \>\text{and}\> x < 6\} $$ $$ \text{Alle positive heltall mindre enn 6} $$ beskriver samme mengde. En mengde må være __veldefinert__. Det vil si at beskrivelser som "Mengden av noen tall over 10" ikke kan brukes om en mengder. På en annen side må vi ikke kjenne til alle elementer i en mengden for å beskrive mengden. Selv om vi ikke kjenner til alle primtall, kan vi uten problemer definere mengden "Alle primtall". En mengde som ikke er av uendelig størrelse, kalles en __endelig mengde__. ### Undermengde Vi sier at en mengde $B$ er en __delmengde__ av en mengde $A$, hvis alle elementer i B også er i A. Dette skrives $$ B \subseteq A $$ Hvis A inneholder elementer ikke i B, er B en __ekte delmengde__ av A, og skrives $$ B \subset A $$ B er en ekte delmengde av A hvis og bare hvis $B \subseteq A$ og $B \neq A $. For en hver mengde $A$ er $A$ den __uekte delmengden__ til A. En hver annen delmengde til $A$ er en ekte delmengde __Eksempel__ Finn alle delmengdene til $S = \{5, 4, 3\}$. Settet har åtte delmengder: $$ \emptyset, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}, \{3, 4, 5\} $$ Merk at rekkefølgen på elementene er uten betydning. ## Kartesisk produkt For to mengder $A$ og $B$ er det kartesiske produktet definert ved $$ A \times B = \{(a, b) | a \in A\> \text{and}\> b \in B\} $$ Altså alle mulige tupler dannet ved et element fra $A$ og ett fra $B$. __Eksempel__ La $A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}$. Finn $ A \times B$. $$ A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} $$ ## Viktige tallmengder || $\mathbb{Z}$ || Mengden av alle heltall|| || $\mathbb{Q}$ || Mengden av alle rasjonale tall|| || $\mathbb{R}$ || Mengden av alle reelle tall|| || $\mathbb{C}$ || Mengden av alle komplekse tall|| Mengden $\mathbb{Z}^+$ er mengden av alle positive heltall. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $\mathbb{Z}^*$ er mengden av alle heltall utenom $0$. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $R \times R$ er det to-dimensjonale euklidiske plan. ## Relasjoner En relasjon mellom to mengder er en delmengde $\mathscr{R}$ av $A \times B$. Vi sier for hvert element $(a, b)$ i denne delmengden, så er $a$ relatert til $b$, og skriver $a \>\mathscr{R}\> b$. Enhver relasjon mellom en mengde $A$ og seg selv er en __relasjon på__ $A$. Et eksempel på en relasjon er funksjonen $f(x) = x$, som kan skrives som delmengden $\{(x,x) | x \in \mathbb{R}\}$ av $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. En __funksjon__ $\phi$ som transformerer et element i $X$ til et element i $Y$ sies å være en __mapping__ mellom $X$ og $Y$. Dette skrives $\phi: \> X \; \rightarrow \; Y$. En slik funksjon er en relasjon mellom $X$ og $Y$. Vi skriver (som kjent) en relasjon mellom to elementer, $(x,y) \in \phi$, som $\phi(x) = y$. For en slik funksjon er $X$ __definisjonsmengden__, $Y$ __verdiområet__, og $phi[X]$ __verdimengden__ til $\phi$. ## Kardinalitet Kardinaliteten til en mengde $A$ er antall elementer i $A$. Kardinaliteten til en mengde $S = \{1,2,3\}$ er altså $3$. (TODO: Skrive om kardinaliteten til mengder som f.eks. $\mathbb{Z}?) ## Surjektivitet En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __surjektiv__, eller __på__, hvis og bare hvis $\phi[X] = Y$. Altså hvis verdiene til $X$ etter å ha bli transformert av $\phi$, utgjør hele $Y$. Vi sier at $\phi$ er en surjeksjon fra $X$ på $Y$. (TODO: Eksempler) ## Injektivitet En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __injektiv__, eller __en-til-en__, hvis og bare hvis for hver $y \in Y$, så finnes det bare en $x \in X$, s.a. $\phi(x) = y$. (TODO: Eksempler) ## Bijektivitet En funksjon er __bijektiv__ hvis den er både injektiv og surjektiv. (TODO: Eksempler) ## Ekvivalensrelasjoner En relasjon er en __ekvivalensrelasjon__ på en mengde $S$ hvis den er __refleksiv, symmetrisk__ og __transitiv__. ### Refleksiv En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er refleksiv hvis for hver $x \in S$, så er $x\>\mathscr{R}\>x$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (2,2), (1,3), (3,3)\}$$ ### Symmetrisk En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er symmetrisk hvis for hver $x,y \in S$, og $x\>\mathscr{R}\>y$ så er $y\>\mathscr{R}\>x$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (2,3), (3,2)\} $$ ### Transitiv En relasjon $\mathscr{R}$ på $S$ er transitiv hvis for hver $x,y,z \in S$, og $x\>\mathscr{R}\>y$, $y\>\mathscr{R}\>z$, så er $x\>\mathscr{R}\>z$. __Eksempel__ $$ \{(1,1), (1,2), (2,3), (1,3) \} $$ ## Binære operasjoner En __binær operasjon__ $*$ på en mengde $S$, er en funksjon som mapper $S \times S$ til S. Vi skriver $*(a,b)$ som $a*b$. Operasjonen tilegner $(a,b)$ en annen verdi i $S$. Eksempelvis er $+$(addisjon) $\cdot$(multiplikasjon) binære operasjoner på $\mathbb{Z}$. La $*$ være en binær operasjon på $S$, og la $H$ være en delmengde av $S$. $H$ er __lukket under__ $*$ hvis for alle $a, b \in H$, så er $a$*$b \in H$. I dette tilfellet hvor den binære operasjonen er begrenset til $H$, kaller vi operasjonen den __induserte operasjonen__ av $*$ på $H$. __Eksempel (2.6 i boka)__ La $+$ og $\cdot$ være de binære operasjonene addisjon og multiplikasjon på $\mathbb{Z}$, og la $H = \{x^2 \>|\>x \>\in\> \mathbb{Z^+}\}$. Er $H$ lukket under 1. Addisjon? 2. Multiplikasjon? Det kan først være greit å gjøre seg kjent med delmengden vår, $H$. Den er i kortfattethet mengden av alle kvadrater for positive heltall: $$\{1, 4, 9, \ldots\} $$ For addisjon ser vi at siden $1$ og $4$ begge er i $H$, men $1+4 = 5$ ikke er i $H$: $5 \notin H$. Så H er __ikke__ lukket under addisjon. For multiplikasjon går vi litt mer generelt til verks: La $x \in H$ og $y \in H$. Utifra definisjonen til $H$ (alle kvadrater), må det finnes $a, b \in S$ slik at $a^2 = x, b^2 = y$. Multiplikasjon mellom $x$ og $y$ kan dermed skrives $$ x\cdot y = a^2\cdot b^2 = (a\cdot b)^2 \in H $$ siden $(ab)^2$ også er et kvadrat. $H$ er dermed lukket under multiplikasjon. ### Kommutativitet En binær operasjon $*$ er __kommutativ__ på en mengde $S$ hvis og bare hvis $$ a*b = b*a $$ for alle $a,b \in S$. ### Assosiativitet En binær operasjon $*$ er __assosiativ__ på en mengde $S$ hvis og bare hvis $$(a*b)*c = a*(b*c)$$ for alle $a,b,c \in S$. ## Tabell-notasjon (TODO)

# Grupper En __gruppe__ $\left<G, *\right>$ er en mengde $G$, lukket under en binær operasjon $*$, slik at de tre følgende aksiomene holder: $\mathscr{G}_1$: $*$ er assossativ: For alle $a, b, c_\in G$ er $$ (a * b) * c = a * (b * c) $$ $\mathscr{G}_2$: Det finnes et element $e \in G$, kalt __identitetselement__, slik at for alle $x \in G$ er $$ e * x = x * e = x $$ $\mathscr{G}_3$: For hver $a \in G$, finnes det en __invers__ $a' \in G$, slik at $$ a * a' = e $$ Heretter kommer en gruppe $G$ med binær operasjon $*$ til å bli refert til som $G$ _under_ $*$. __Teorem__ For en gruppe $G$ under den binære operasjonen $*$, gjelder __høyre og venstre kanselleringslov__, dvs $$ a * b = a * c \Longleftrightarrow b = c $$ $$ b * a = c * a \Longleftrightarrow b = c $$ __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}$ en gruppe under (a) addisjon, (b) multiplikasjon? (a): Vi sjekker hvert aksiom: 1. (a+b)+c = a+(b+c). $+$ er assossiativ 2. Identitetselementet er $0$ siden $a + 0 = 0 + a = a$ 3. For en hver $x \in Z$ finnes det en invers $-x \in Z$. $\mathbb{Z}$ er dermed en gruppe under addisjon. (b): Vi sjekker hvert aksiom: 1. $(a\cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 2. $1\cdot a = a\cdot 1 = a$ 3. Her rakner det. I $\mathbb{Z}$ har vi ingen invers. Ta for eksempel tallet $4$. Tallet $b$ som gjør $b\cdot4 = 1$ er $b = \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ er dermed _ikke_ en gruppe under multiplikasjon. Vi går heretter igjennom eksempelene litt kjappere. __Eksempel__ Er $\mathbb{Z}^*$ en gruppe under (a) addisjon, (b) multiplikasjon? (a): Fra det forige eksemplet vet vi at $\mathbb{Z}$ er en gruppe under addisjon. Men dette var avhengig av identitetselementet $0$, som vi ikke har i $\mathbb{Z}^*$. $\mathbb{Z}^*$ er dermed ikke en gruppe under addisjon. (b): $\mathbb{Z}^*$ er ikke en gruppe under multiplikasjon av samme argument som for eksemplet ovenfor: vi har ingen invers. __Eksempel__ Er $\mathbb{Q}^+$ en gruppe under (a) addisjon og (b) multiplikasjon? (a): $\mathbb{Q}^+$ er ikke en gruppe under addisjon siden for et element $q \in Q^+$ må en invers være $-q$, som ikke er i $\mathbb{Q}^+$. (b): 1. Multiplikasjon er assossiativt. 2. Identitet $e = 1$ 3. For enhver $q \in \mathbb{Q}^+$, har vi en $q' \in \mathbb{Q}^+$ definert ved $q' = 1/q$ som gjør $q \cdot q' = q \cdot \frac{1}{q} = 1$ $\mathbb{Q}^+$ er dermed en gruppe under multiplikasjon. __Eksempel__ La $G = \{1, 2, 3, 4\}$ og definer $*$ ved $ a * b =$ __min__$(a,b)$ hvor min er funksjonen som velger den minste av $a$ og $b$. eller $a$ hvis de er like. Er $G$ under $*$ en gruppe? Det holder å finne et moteksempel. Vi ser at $G$ har identitetselement $4$, siden $4$ er det største elementet. Samtidig har vi ingen invers, siden for enhver $a \in G$ og $a < 4$, vil $a * b < 4$ for hver $b \in G$. $G$ er dermed ikke en gruppe under $*$. _Utfordring:_ Er $*$ assossiativ? ## Abelske grupper En gruppe $G$ er abelsk hvis dens binære operasjon er kommutativ, altså $$ a * b = b * a $$ for hver $a,b \in G$. $\mathbb{Z}, \mathbb{N}, \mathbb{R} og \mathbb{C}$ under addisjon er alle abelske grupper. En binær operasjon på en abelsk gruppe benevnes ofte $+$. Generelt skrives binære operasjoner ofte bare ved sidestilling av elementer, i.e. $a * b = ab$. ## Endelige grupper Hittil, med unntak av det siste eksemplet under [Grupper](#grupper), har vi bare håndtert uendelige grupper. En __endelig gruppe__ er en mengde $G$ med et endelig antall elementer under en binær operasjon $*$. (TODO: Tabeller) # Delgrupper # Sykliske grupper # Permutasjonsgrupper # Orbitaler # Restklasser # Lagranges Teorem # Endelig-genererte abelske grupper # Homomorphismer # Faktorgrupper # Gruppevirkninger # Ringer Hittil har vi bare diskutert _grupper_, som er en mengde $G$ med en tilhørende binær operasjon $*$. Det er av interesse for oss å diskutere mengder med _to_ tilhørende binære operasjoner, kalt ringer. En __ring__ $\left<R, +, \cdot\right>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt _addisjon_ og _multiplikasjon_. For en slik ring $R$, er følgende aksiomer tilfredstilt: $\mathscr{R}_1$: $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe. $\mathscr{R}_2$: Multiplikasjonen er assosiativ $\mathscr{R}_3$: For alle $a,b,c \in R$, gjelder den __venstre distributive lov__; $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$, og den __høyre distributive lov__; $(a+b)\cdot c = a\cdot c + a\cdot b$. Eksempler på ringer er $\left<\mathbb{Z}, +, \cdot\right>$, $\left<\mathbb{Q}, +, \cdot\right>$, og $\left<\mathbb{C}, +, \cdot\right>$. $M_n(\mathbb{R})$, mengden av $n \times n$-dimensjonale matriser, under addisjon og matrise-multiplikasjon, er også et eksempel på en ring. Det kan også vises at $\mathbb{Z}_n$ er en ring under addisjon og multiplikasjon, hvis multiplikasjon defineres til å være _resten_ av vanlig heltalsmultiplikasjon, modulo $n$ (denne operasjonen kalles for __multiplikasjon__ modulo $\mathbb{Z}_n$). ## Direkte produkt For ringer $R_1, R_2, \dots, R_n$ er det __direkte produktet__ av ringene en n-tuppel $R_1 \times R_2 \times R_3 \dots R_n$. Det direkte produktet er selv en ring, med addisjon og multiplikasjon definert elementvis.

1. $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$ 2. $\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot \phi(b)$

# Fermats Teoremer # Eulers Teoremer # Tallteori # Polynomfaktorisering # Sylowteori # Eulers phi-funksjon & RSA # Nyttige lenker [Relasjoner, matematikk.net](http://matematikk.net/side/Relasjoner) [Grupper, wolframalpha](http://mathworld.wolfram.com/Group.html) [Restklasser, UiO](http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT2200/v13/restklasser.pdf) # Referanser