# Introduksjon ## Forord Kompendiet vil bli strukturert nesten regelrett etter oppbygningen til [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra] Under vil en kjapp repitisjon av sett og relasjoner bli gitt. ## Mengde `Det er umulig å definere alle konsepter` "En ku er et pattedyr". Men hva er et pattedyr? "Et pattedyr er en delgruppe av virveldyrene". Men hva er et virveldyr? "Virveldyr er dyr med et indre skjelett" Men hva er dyr?... ... Og slik kan du holde på til du ikke har flere ord igjen i ordboken, og må definere dine tidligere definisjoner med ord du allerede har brukt, og ender opp med sirkulære definisjoner. Dette gjelder også i matematikken. Dermed må vi ha et _udefinert, primitivt_ konsept som et startsted for videre definisjoner. I matematikken er dette konseptet en __mengde__. En mengde er en veldefinert samling av unike __elementer__, også kalt __objekter__. Hvis et element $a$ er i en mengde $S$, skriver vi dette $a \in S$. Det er en og bare en mengde uten elementer, kalt den __tomme mengden__. Det er flere måter å beskrive en mengde. En vanlig notasjon er klammeparenteser, for eksempel: $$ \{1, 2, 3, 4\} $$ Hvis vi vil ha et sett med elementer som tilfredstiller et vilkårlig kriterie, $ P(x) $, skriver vi $$ \{x \>|\> P(x)\} $$ lest "mengden av alle x slik at P(x) er tilfredstilt". Vi kan også beskrive en mengde direkte, som "Mengden av alle røde biler i Oppdal", eller "Alle primtall". Beskrivelsene $$ \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ $$ \{x \>|\> x \in \mathbb{Z^+} \>\text{and}\> x < 6\} $$ $$ \text{Alle positive heltall mindre enn 6} $$ beskriver samme mengde. En mengde må være __veldefinert__. Det vil si at beskrivelser som "Mengden av noen tall over 10" ikke kan brukes om en mengder. På en annen side må vi ikke kjenne til alle elementer i en mengden for å beskrive mengden. Selv om vi ikke kjenner til alle primtall, kan vi uten problemer definere mengden "Alle primtall". ### Undermengde Vi sier at en mengde $B$ er en __delmengde__ av en mengde $A$, hvis alle elementer i B også er i A. Dette skrives $$ B \subseteq A $$ Hvis A inneholder elementer ikke i B, er B en __ekte delmengde__ av A, og skrives $$ B \subset A $$ B er en ekte delmengde av A hvis og bare hvis $B \subseteq A$ og $B \neq A $. For en hver mengde $A$ er $A$ den __uekte delmengden__ til A. En hver annen delmengde til $A$ er en ekte delmengde __Eksempel__ Finn alle delmengdene til $S = \{5, 4, 3\}$. Settet har åtte delmengder: $$ \emptyset, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}, \{3, 4, 5\} $$ Merk at rekkefølgen på elementene er uten betydning. ## Kartesisk produkt For to mengder $A$ og $B$ er det kartesiske produktet definert ved $$ A \times B = \{(a, b) | a \in A\> \text{and}\> b \in B\} $$ Altså alle mulige tupler dannet ved et element fra $A$ og ett fra $B$. __Eksempel__ La $A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}$. Finn $ A \times B$. $$ A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} $$ ## Viktige tallmengder || $\mathbb{Z}$ || Mengden av alle heltall|| || $\mathbb{Q}$ || Mengden av alle rasjonale tall|| || $\mathbb{R}$ || Mengden av alle reelle tall|| || $\mathbb{C}$ || Mengden av alle komplekse tall|| Mengden $\mathbb{Z}^+$ er mengden av alle positive heltall. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $\mathbb{Z}^*$ er mengden av alle heltall utenom $0$. Tilsvarende gjelder for de andre tallmengdene. Mengden $R \times R$ er det to-dimensjonale euklidiske plan. ## Relasjoner En relasjon mellom to mengder er en delmengde $\mathscr{R}$ av $A \times B$. Vi sier for hvert element $(a, b)$ i denne delmengden, så er $a$ relatert til $b$, og skriver $a \>\mathscr{R}\> b$. Enhver relasjon mellom en mengde $A$ og seg selv er en __relasjon på__ $A$. Et eksempel på en relasjon er funksjonen $f(x) = x$, som kan skrives som delmengden $\{(x,x) | x \in \mathbb{R}\}$ av $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. En __funksjon__ $\phi$ som transformerer et element i $X$ til et element i $Y$ sies å være en __mapping__ mellom $X$ og $Y$. Dette skrives $\phi: \> X \; \rightarrow \; Y$. En slik funksjon er en relasjon mellom $X$ og $Y$. Vi skriver (som kjent) en relasjon mellom to elementer, $(x,y) \in \phi$, som $\phi(x) = y$. For en slik funksjon er $X$ __definisjonsmengden__, $Y$ __verdiområet__, og $phi[X]$ __verdimengden__ til $\phi$. ## Kardinalitet Kardinaliteten til en mengde $A$ er antall elementer i $A$. Kardinaliteten til en mengde $S = \{1,2,3\}$ er altså $3$. (TODO: Skrive om kardinaliteten til mengder som f.eks. $\mathbb{Z}?) ## Surjektivitet En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __surjektiv__, eller __på__, hvis og bare hvis $\phi[X] = Y$. Altså hvis verdiene til $X$ etter å ha bli transformert av $\phi$, utgjør hele $Y$. Vi sier at $\phi$ er en surjeksjon fra $X$ på $Y$. (TODO: Eksempler) ## Injektivitet En funksjon $\phi\>:\>X\>\rightarrow\>Y$ er __injektiv__, eller __en-til-en__, hvis og bare hvis for hver $y \in Y$, så finnes det bare en $x \in X$, s.a. $\phi(x) = y$. (TODO: Eksempler) ## Bijektivitet En funksjon er __bijektiv__ hvis den er både injektiv og surjektiv. (TODO: Eksempler) ## Ekvivalensrelasjoner

# Grupper ## Delgrupper ## Sykliske grupper ## Permutasjonsgrupper ## Orbitaler ## Restklasser ## Lagranges Teorem ## Endelig-genererte abelske grupper ## Homomorphismer ## Faktorgrupper ## Gruppevirkninger # Ringer ## Endelige kropper ## Integritetsdomene ## Fermats Teoremer ## Eulers Teoremer ## Tallteorei ## Polynomfaktorisering # Sylowteori # Eulers phi-funksjon & RSA # Nyttige lenker [Relasjoner, matematikk.net](http://matematikk.net/side/Relasjoner) [Grupper, wolframalpha](http://mathworld.wolfram.com/Group.html) # Referanser [John B. Fraleigh, A First Course in Abstrct Algebra]