#Komplekse tall Komplekse tall inneholder den imaginære enheten $i=\sqrt{-1}$ og benevnes nesten alltid med bokstavene $z$ eller $w$. Det er to måter å skrive komplekse tall på. 1. Standardform: $ z = a+bi$ 2. Polarform: $z = re^{i(\theta+2\pi k)} $ Når vi ser på standardform kalles a for realdelen $Re(z) = a$, mens b er imaginærdelen $Im(z) = b$ Komplekse tall kan skisseres i planet og det kommer stort sett alltid en oppgave på eksamen der du blir bedt om å gjøre det. Realdelen er x-koordinaten, men imaginærdelen er y-koordinaten. Koordinatene til det komplekse tallet $ z = 3 + 4i$ blir $(3,4) $ Ut i fra disse betrakningene kan det komplekse tallet skriv om på polarform. $r$ er avsanden fra origo til koordinatene i planet.

Det går selvfølgelig an å gå motsatt vei fra polarform til standardform. $e^{i \theta} = cos(\theta)+isin(\theta)$

###Eksempel: Skriv det komplekse tallet på polarform Tallet $z=3+3i$ gir oss $r=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ $\theta=arctan(3/3)=\frac{\pi}{4}$ $ z=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ ###Eksempel: Komplekse tall som mangler realdel eller imaginærdel. Et komplekst tall trenger ikke å inneholde en realdel eller en imaginærdel. $z=5i$ $z=-5$ $z=2$ $z=-2i$ Likevel kan disse skrives om på polarform. Koordinatene til $z=5i$ er (0,5) og $z=5$ er (-5,0) Slike tall er mye letter å skrive på polarform. Tall med bare imaginærdel ligger på y-aksen, mens bare realdel ligger på x-aksen. r blir bare tallverdien til henholdsvis realdel eller imaginærdel. $z=5i$ har $r=5$ og $\theta=\frac{\pi}{2}$ (90 grader), $z=5e^{\frac{\pi}{2}i}$ $z=-5$ har $r=5$ og $\theta=\pi$ (180 grader), $z=5e^{\pi i}$ $z=2i$ har $r=2$ og $\theta=2\pi$ (360 grader), $z=5e^{2\pi i}$ $z=-2i$ har $r=2$ og $\theta=\frac{3}{2}\pi$ (270 grader), $z=5e^{\frac{3}{2}\pi i}$ ###Eksempel: Løs ligningen / finn alle tall som tilfredstiller og skisser dem i planet. Oppgave 1, eksamen V17: Finn alle komplekse tall $z$ slik at $z^3 = −8$ og tegn dem i det komplekse planet. Det kan friste i bare ta tredjerota av begge sider, men så lett er det desverre ikke. På lik linje med vanlige ligninger, vil vi få like mange svar som antall ganger opphøyd. I denne oppgaven skal vi altså finne 3 komplekse tall som tilfredstiller ligningen. Ligninger med komplekse tall og eksponenter løses alltid ved å skrive om høyreside til polarform. -8 skrives som $8e^{i(\pi+2\pi k)}$ på polarform. Vi får derfor: $z^3=8e^{i(\pi+2\pi k)}$ Vi er nå klare for å ta tredjerota som er det samme som å opphøye med $\frac{1}{3}$ $z=(8e^{i(\pi+2\pi k)})^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}}e^{i(\pi+2\pi k)\frac{1}{3}} = 2e^{i(\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\pi k)}$ For å finne løsningene seter vi inn $k=0,1,2$ Vinklene blir da henholdsvis: $\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5 \pi}{3}$ som er $60^{\circ},180^{\circ},300^{\circ}$ Vi får da de komplekse tallene: $z_1=2e^{i \frac{\pi}{3}}$ $z_2=2e^{i \pi}$ $z_3=2e^{i \frac{5}{3}\pi}$ Disse skisseres lett siden vi vet vinklene. Alle tallene ligger på sirkelen med radius $r=2$. Vinklene regnes mot klokka. Hvis en annen oppgave spør om å skrive disse tallene på standardform, kan vi enkelt bruke eulers formel: $re^{i \theta} = r(cos(\theta)+isin(\theta))$ $z_1=2(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} ) = 1+\sqrt{3} i$ $z_2=2(cos(\pi)+isin(\pi) = 2(-1+0)=-2$ $z_3=2(cos(\frac{5}{3} \pi)+isin(\frac{5}{3} \pi)) = 2(\frac{1}{2}+i (-\frac{\sqrt{3}}{2}) ) = 1-\sqrt{3} i$ #Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon #Vektorligninger #Matriser #Lineær uavhengighet #Determinanter #Vektorrom #Lineærtransformasjoner #Projeksjon #Egenverdier og egenvektorer #Diagonalisering #Interpolasjon #System av differensialligninger #Andre ordens differensialligninger