Wikipendium

Share on Twitter Create compendium Add Language
Edit History
Tools
  • Edit
  • History
  • Share on Twitter

  • Add language

  • Create new compendium
Log in
Table of Contents
  1. Komplekse tall
    1. Eksempel: Skriv det komplekse tallet på polarform
    2. Eksempel: Komplekse tall som mangler realdel eller imaginærdel.
    3. Eksempel: Løs ligningen / finn alle tall som tilfredstiller og skisser dem i planet.
  2. Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon
  3. Vektorligninger
  4. Matriser
  5. Lineær uavhengighet
  6. Determinanter
  7. Vektorrom
  8. Lineærtransformasjoner
  9. Projeksjon
  10. Egenverdier og egenvektorer
  11. Diagonalisering
  12. Interpolasjon
  13. System av differensialligninger
  14. Andre ordens differensialligninger
‹

TMA4110: Matematikk 3

Tags:
+

Komplekse tall

Komplekse tall inneholder den imaginære enheten $i=\sqrt{-1}$ og benevnes nesten alltid med bokstavene $z$ eller $w$. Det er to måter å skrive komplekse tall på.

  1. Standardform: $ z = a+bi$
  2. Polarform: $z = re^{i(\theta+2\pi k)} $

Når vi ser på standardform kalles a for realdelen $Re(z) = a$, mens b er imaginærdelen $Im(z) = b$

Komplekse tall kan skisseres i planet og det kommer stort sett alltid en oppgave på eksamen der du blir bedt om å gjøre det. Realdelen er x-koordinaten, men imaginærdelen er y-koordinaten. Koordinatene til det komplekse tallet $ z = 3 + 4i$ blir $(3,4) $

Ut i fra disse betrakningene kan det komplekse tallet skriv om på polarform. $r$ er avsanden fra origo til koordinatene i planet. Pytagoras gir oss:

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta=\arctan(b/a)$, $a > 0$

$\theta=\arctan(b/a)+\pi$, $a<0$

$\theta=\frac{\pi}{2}$, $a=0, b>0$

$\theta=\frac{3}{2} \pi$, $a > 0$

Vinkelen regnes alltid mot klokka. Trigonometri gjør at full rotasjon, $2\pi$, ikke endrer tallet. Derfor brukes leddet $+2\pi k $ som er nyttig i løsning av ligninger.

Det går selvfølgelig an å gå motsatt vei fra polarform til standardform.

$e^{i \theta} = cos(\theta)+isin(\theta)$

$re^{i \theta} = r(cos(\theta)+isin(\theta))$

Eksempel: Skriv det komplekse tallet på polarform

Tallet $z=3+3i$ gir oss

$r=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$

$\theta=arctan(3/3)=\frac{\pi}{4}$

$ z=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

Eksempel: Komplekse tall som mangler realdel eller imaginærdel.

Et komplekst tall trenger ikke å inneholde en realdel eller en imaginærdel.

$z=5i$

$z=-5$

$z=2$

$z=-2i$

Likevel kan disse skrives om på polarform.

Koordinatene til $z=5i$ er (0,5) og $z=5$ er (-5,0)

Slike tall er mye letter å skrive på polarform. Tall med bare imaginærdel ligger på y-aksen, mens bare realdel ligger på x-aksen. r blir bare tallverdien til henholdsvis realdel eller imaginærdel.

$z=5i$ har $r=5$ og $\theta=\frac{\pi}{2}$ (90 grader), $z=5e^{\frac{\pi}{2}i}$

$z=-5$ har $r=5$ og $\theta=\pi$ (180 grader), $z=5e^{\pi i}$

$z=2i$ har $r=2$ og $\theta=2\pi$ (360 grader), $z=5e^{2\pi i}$

$z=-2i$ har $r=2$ og $\theta=\frac{3}{2}\pi$ (270 grader), $z=5e^{\frac{3}{2}\pi i}$

Eksempel: Løs ligningen / finn alle tall som tilfredstiller og skisser dem i planet.

Oppgave 1, eksamen V17:

Finn alle komplekse tall $z$ slik at $z^3 = −8$ og tegn dem i det komplekse planet.

Det kan friste i bare ta tredjerota av begge sider, men så lett er det desverre ikke. På lik linje med vanlige ligninger, vil vi få like mange svar som antall ganger opphøyd. I denne oppgaven skal vi altså finne 3 komplekse tall som tilfredstiller ligningen. Ligninger med komplekse tall og eksponenter løses alltid ved å skrive om høyreside til polarform.

-8 skrives som $8e^{i(\pi+2\pi k)}$ på polarform. Vi får derfor:

$z^3=8e^{i(\pi+2\pi k)}$

Vi er nå klare for å ta tredjerota som er det samme som å opphøye med $\frac{1}{3}$

$z=(8e^{i(\pi+2\pi k)})^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}}e^{i(\pi+2\pi k)\frac{1}{3}} = 2e^{i(\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\pi k)}$

For å finne løsningene seter vi inn $k=0,1,2$

Vinklene blir da henholdsvis: $\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5 \pi}{3}$ som er $60^{\circ},180^{\circ},300^{\circ}$

Vi får da de komplekse tallene:

$z_1=2e^{i \frac{\pi}{3}}$

$z_2=2e^{i \pi}$

$z_3=2e^{i \frac{5}{3}\pi}$

Disse skisseres lett siden vi vet vinklene. Alle tallene ligger på sirkelen med radius $r=2$. Vinklene regnes mot klokka.

Hvis en annen oppgave spør om å skrive disse tallene på standardform, kan vi enkelt bruke eulers formel:

$re^{i \theta} = r(cos(\theta)+isin(\theta))$

$z_1=2(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} ) = 1+\sqrt{3} i$

$z_2=2(cos(\pi)+isin(\pi) = 2(-1+0)=-2$

$z_3=2(cos(\frac{5}{3} \pi)+isin(\frac{5}{3} \pi)) = 2(\frac{1}{2}+i (-\frac{\sqrt{3}}{2}) ) = 1-\sqrt{3} i$

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Vektorligninger

Matriser

Lineær uavhengighet

Determinanter

Vektorrom

Lineærtransformasjoner

Projeksjon

Egenverdier og egenvektorer

Diagonalisering

Interpolasjon

System av differensialligninger

Andre ordens differensialligninger

Written by

trygvector
Last updated: Sat, 4 Dec 2021 07:22:40 +0100 .
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!