Eksempel: Skriv det komplekse tallet på polarform

Tallet $z=3+3i$ gir oss

$r=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$

$\theta=arctan(3/3)=\frac{\pi}{4}$

$ z=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

Eksempel: Komplekse tall som mangler realdel eller imaginærdel.

Et komplekst tall trenger ikke å inneholde en realdel eller en imaginærdel.

$z=5i$

$z=-5$

$z=2$

$z=-2i$

Likevel kan disse skrives om på polarform.

Koordinatene til $z=5i$ er (0,5) og $z=5$ er (-5,0)

Slike tall er mye letter å skrive på polarform. Tall med bare imaginærdel ligger på y-aksen, mens bare realdel ligger på x-aksen. r blir bare tallverdien til henholdsvis realdel eller imaginærdel.

$z=5i$ har $r=5$ og $\theta=\frac{\pi}{2}$ (90 grader), $z=5e^{\frac{\pi}{2}i}$

$z=-5$ har $r=5$ og $\theta=\pi$ (180 grader), $z=5e^{\pi i}$

$z=2i$ har $r=2$ og $\theta=2\pi$ (360 grader), $z=5e^{2\pi i}$

$z=-2i$ har $r=2$ og $\theta=\frac{3}{2}\pi$ (270 grader), $z=5e^{\frac{3}{2}\pi i}$

Eksempel: Løs ligningen / finn alle tall som tilfredstiller og skisser dem i planet.

Oppgave 1, eksamen V17:

Finn alle komplekse tall $z$ slik at $z^3 = −8$ og tegn dem i det komplekse planet.

Det kan friste i bare ta tredjerota av begge sider, men så lett er det desverre ikke. På lik linje med vanlige ligninger, vil vi få like mange svar som antall ganger opphøyd. I denne oppgaven skal vi altså finne 3 komplekse tall som tilfredstiller ligningen. Ligninger med komplekse tall og eksponenter løses alltid ved å skrive om høyreside til polarform.

-8 skrives som $8e^{i(\pi+2\pi k)}$ på polarform. Vi får derfor:

$z^3=8e^{i(\pi+2\pi k)}$

Vi er nå klare for å ta tredjerota som er det samme som å opphøye med $\frac{1}{3}$

$z=(8e^{i(\pi+2\pi k)})^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}}e^{i(\pi+2\pi k)\frac{1}{3}} = 2e^{i(\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\pi k)}$

For å finne løsningene seter vi inn $k=0,1,2$

Vinklene blir da henholdsvis: $\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5 \pi}{3}$ som er $60^{\circ},180^{\circ},300^{\circ}$

Vi får da de komplekse tallene:

$z_1=2e^{i \frac{\pi}{3}}$

$z_2=2e^{i \pi}$

$z_3=2e^{i \frac{5}{3}\pi}$

Disse skisseres lett siden vi vet vinklene. Alle tallene ligger på sirkelen med radius $r=2$. Vinklene regnes mot klokka.

Hvis en annen oppgave spør om å skrive disse tallene på standardform, kan vi enkelt bruke eulers formel:

$re^{i \theta} = r(cos(\theta)+isin(\theta))$

$z_1=2(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} ) = 1+\sqrt{3} i$

$z_2=2(cos(\pi)+isin(\pi) = 2(-1+0)=-2$

$z_3=2(cos(\frac{5}{3} \pi)+isin(\frac{5}{3} \pi)) = 2(\frac{1}{2}+i (-\frac{\sqrt{3}}{2}) ) = 1-\sqrt{3} i$