TMA4110: Matematikk 3
Komplekse tall
Komplekse tall inneholder den imaginære enheten
- Standardform:
$ z = a+bi$ - Polarform:
$z = re^{i(\theta+2\pi k)} $
Når vi ser på standardform kalles a for realdelen
Komplekse tall kan skisseres i planet og det kommer stort sett alltid en oppgave på eksamen der du blir bedt om å gjøre det.
Realdelen er x-koordinaten, men imaginærdelen er y-koordinaten. Koordinatene til det komplekse tallet
Ut i fra disse betrakningene kan det komplekse tallet skriv om på polarform.
Vinkelen regnes alltid mot klokka.
Trigonometri gjør at full rotasjon,
Det går selvfølgelig an å gå motsatt vei fra polarform til standardform.
Eksempel: Skriv det komplekse tallet på polarform
Tallet
Eksempel: Komplekse tall som mangler realdel eller imaginærdel.
Et komplekst tall trenger ikke å inneholde en realdel eller en imaginærdel.
Likevel kan disse skrives om på polarform.
Koordinatene til
Slike tall er mye letter å skrive på polarform. Tall med bare imaginærdel ligger på y-aksen, mens bare realdel ligger på x-aksen. r blir bare tallverdien til henholdsvis realdel eller imaginærdel.
Eksempel: Løs ligningen / finn alle tall som tilfredstiller og skisser dem i planet.
Oppgave 1, eksamen V17:
Finn alle komplekse tall
Det kan friste i bare ta tredjerota av begge sider, men så lett er det desverre ikke. På lik linje med vanlige ligninger, vil vi få like mange svar som antall ganger opphøyd. I denne oppgaven skal vi altså finne 3 komplekse tall som tilfredstiller ligningen. Ligninger med komplekse tall og eksponenter løses alltid ved å skrive om høyreside til polarform.
-8 skrives som
Vi er nå klare for å ta tredjerota som er det samme som å opphøye med
For å finne løsningene seter vi inn
Vinklene blir da henholdsvis:
Vi får da de komplekse tallene:
Disse skisseres lett siden vi vet vinklene. Alle tallene ligger på sirkelen med radius
Hvis en annen oppgave spør om å skrive disse tallene på standardform, kan vi enkelt bruke eulers formel: