# Tips

# Grenser og kontinuitet # Derivasjon Den deriverte av en funksjon beskriver hastigheten en funksjon endrer seg med. Geometrisk kan det også beskrives som stigningen til tangenten til en kurve. Den deriverte $f'(x)$ er definert som $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)−f(x)}{h} $$ Den viser endringen til $f$ mellom $x$ og $x+h$, og er lik stigningen til linjen mellom de to punktene på grafen. En god tilnærming for endringsraten til $f$ i punktet $x$ finner man ved å ta grenseverdien av denne brøken når h→0. ## Regler for derivasjon Regler for hvordan å derivere sammensatte funksjoner. ### Produktregelen $$ (g \cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h' $$ ### Kvotientregelen $$ \left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2} $$ ### Kjerneregelen $$ (g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$ ## Deriverte av ulike typer funksjoner ### Potensfunksjoner $$ \frac{d}{dx} x^r = rx^{x-1} $$ ### Eksponensialfunksjoner $$ \frac{d}{dx} e^x = e^x $$ $$ \frac{d}{dx} a^x = \ln(a)a^x \quad (a>0) $$ ### Logaritmefunksjoner $$ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \quad (x>0) $$ ### Trigonometriske funksjoner $$ \sin'(x) = \cos(x) $$ $$ \cos'(x) = - \sin(x) $$ $$ \tan'(x) = \frac{1}{ \cos^2(x) } $$ $$ \arcsin'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } $$ $$ \arccos'(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } $$ $$ \arctan'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } $$ ## Middelverditeoremet # Transcendentale funksjoner ## Inversfunksjoner ### Definisjon 1 - En-til-en funksjoner En funksjon $ f $ er __en-til-en__ hvis $ f(x_{1}) \neq f(x_{2})\ \textrm{når}\ x_{1} \text{og } x_{2} $ er i definisjonsmengden til $ f $ og $ x_{1} \neq x_{2} $. Eller, ekvivalent med forrige utsagn, er også en funksjon __en-til-en__ hvis $$ f(x_{1}) = f(x_{2}) \implies x_{1} = x_{2} $$ ### Definisjon 2 - Inversfunksjon Hvis $ f $ er __en-til-en__ har den en __inversfunksjon__. $$ x = f^{-1}(y) \iff y = f(x) $$ ### Definisjon 3 - Selvinvers En funksjon $ f $ er selvinvers hvis $$ f^{-1} = f\ \ \text{som er, hvis}\ \ f(f(x)) = x $$ for alle $ x $ i defininsjonsmengden til $ f $. ### Egenskaper til inversfunksjoner 1. $ y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) $ 2. Definisjonsmengden til $ f^{-1} $ er verdimengden til $ f $. 3. Verdimengden til $ f^{-1} $ er definisjonsmengden til $ f $. 4. $ f^{-1}(f(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengden til }f. $ 5. $ f(f^{-1}(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengedn til }f^{-1}. $ 6. $ (f^{-1})^{-1}(x) = f(x) \text{ for alle x i definisjonsmengden til } f. $ 7. $ \text{Grafen til } f^{-1} \text{ er speilvendt av grafen til } f \text{ i linjen x = y} $ 8. Den deriverte av en inversfunksjon er som følger: $$ \frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$ ## Eksponential og logaritmefunksjoner ### Lover for eksponenter Hvis $ a > 0 \text{ og } b > 0 $, og $ x $ og $ y $ er vilkårlige reelle tall, så er 1. $ a^0 = 1 $ 2. $ a^{x+y} = a^x a^y $ 3. $ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $ 4. $ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} $ 5. $ (a^{x})^{y} = a^{xy} $ 6. $ (ab)^{x} = a^{x}b^{x} $ 7. $ a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x} $ ### Logaritmer #### Definisjon Hvis $ a > 1 $ og $ a \neq 1 $, så er funksjonen $ \log _a x $, kalt __logaritmen av x med grunntall a__, som er inversfunksjonen av $ a^x $ $$ y = \log _a x \iff x = a^y, (a > 0, a \neq 1) $$ #### Regler Hvis $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ a \neq 1 $, og $ b \neq 1 $, så 1. $ \log _a 1 = 0 $ 2. $ \log _a (xy) = \log _a x + \log _a y $ 3. $ \log _a (\frac{1}{x}) = -\log _a x $ 4. $ \log _a (\frac{x}{y}) = \log _a x - \log _a y $ 5. $ \log _a (x^y) = y \log _a x $ 6. $ \log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a} $ # Anvendelser av derivasjon # Integrering # Teknikker i integrering # Anvendelser av integrering # Differensiallikninger # Følger, rekker og potensrekker