‹

TMA4100: Matematikk 1

Tags:

Grenser og kontinuitet

Derivasjon

Den deriverte av en funksjon beskriver hastigheten en funksjon endrer seg med. Geometrisk kan det også beskrives som stigningen til tangenten til en kurve.

Den deriverte $f'(x)$ er definert som

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)−f(x)}{h} $$

Den viser endringen til $f$ mellom $x$ og $x+h$, og er lik stigningen til linjen mellom de to punktene på grafen. En god tilnærming for endringsraten til $f$ i punktet $x$ finner man ved å ta grenseverdien av denne brøken når h→0.

Regler for derivasjon

Regler for hvordan å derivere sammensatte funksjoner.

Produktregelen

$$ (g \cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h' $$

Kvotientregelen

$$ \left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2} $$

Kjerneregelen

$$ (g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Deriverte av ulike typer funksjoner

Potensfunksjoner

$$ \frac{d}{dx} x^r = rx^{x-1} $$

Eksponensialfunksjoner

$$ \frac{d}{dx} e^x = e^x $$

$$ \frac{d}{dx} a^x = \ln(a)a^x \quad (a>0) $$

Logaritmefunksjoner

$$ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \quad (x>0) $$

Trigonometriske funksjoner

$$ \sin'(x) = \cos(x) $$

$$ \cos'(x) = - \sin(x) $$

$$ \tan'(x) = \frac{1}{ \cos^2(x) } $$

$$ \arcsin'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } $$

$$ \arccos'(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } $$

$$ \arctan'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } $$

Middelverditeoremet

For en funskjon som er kontinuerlig på intervallet $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$, fins det minst en verdi $ c $ i $(a,b)$ som er slik at tangenten i $ c $ er parallell med den rette linjen gjennom $(a,f(a))$ og $(b,f(b))$. Dette uttrykkes som:

$$ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Er $f(a) = f(b)$ fins det minst en verdi $c$ slik at tangenten i $c$ er parallell med x-aksen, som vil si at $ f'(c) = 0$

Transcendentale funksjoner

Inversfunksjoner

Definisjon 1 - En-til-en funksjoner

En funksjon $ f $ er en-til-en hvis $ f(x_{1}) \neq f(x_{2})\ \textrm{når}\ x_{1} \text{og } x_{2} $ er i definisjonsmengden til $ f $ og $ x_{1} \neq x_{2} $.

Eller, ekvivalent med forrige utsagn, er også en funksjon en-til-en hvis $$ f(x_{1}) = f(x_{2}) \implies x_{1} = x_{2} $$

Definisjon 2 - Inversfunksjon

Hvis $ f $ er en-til-en har den en inversfunksjon. $$ x = f^{-1}(y) \iff y = f(x) $$

Definisjon 3 - Selvinvers

En funksjon $ f $ er selvinvers hvis $$ f^{-1} = f\ \ \text{som er, hvis}\ \ f(f(x)) = x $$ for alle $ x $ i defininsjonsmengden til $ f $.

Egenskaper til inversfunksjoner

$ y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) $
Definisjonsmengden til $ f^{-1} $ er verdimengden til $ f $.
Verdimengden til $ f^{-1} $ er definisjonsmengden til $ f $.
$ f^{-1}(f(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengden til }f. $
$ f(f^{-1}(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengedn til }f^{-1}. $
$ (f^{-1})^{-1}(x) = f(x) \text{ for alle x i definisjonsmengden til } f. $
$ \text{Grafen til } f^{-1} \text{ er speilvendt av grafen til } f \text{ i linjen x = y} $
Den deriverte av en inversfunksjon er som følger: $$ \frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$

Eksponential og logaritmefunksjoner

Regler for eksponenter

Hvis $ a > 0 \text{ og } b > 0 $, og $ x $ og $ y $ er vilkårlige reelle tall, så er

$ a^0 = 1 $
$ a^{x+y} = a^x a^y $
$ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $
$ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} $
$ (a^{x})^{y} = a^{xy} $
$ (ab)^{x} = a^{x}b^{x} $
$ a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x} $

Logaritmer

Definisjon

Hvis $ a > 1 $ og $ a \neq 1 $, så er funksjonen $ \log _a x $, kalt logaritmen av x med grunntall a, som er inversfunksjonen av $ a^x $ $$ y = \log _a x \iff x = a^y, (a > 0, a \neq 1) $$

Regler

Hvis $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ a \neq 1 $, og $ b \neq 1 $, så

$ \log _a 1 = 0 $
$ \log _a (xy) = \log _a x + \log _a y $
$ \log _a (\frac{1}{x}) = -\log _a x $
$ \log _a (\frac{x}{y}) = \log _a x - \log _a y $
$ \log _a (x^y) = y \log _a x $
$ \log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a} $

Anvendelser av derivasjon

Integrering

Teknikker i integrering

Anvendelser av integrering

Differensiallikninger

Likninger på formelen $ y' + p(x)y = g(x) $ løses på følgende måte:

Ganger alle ledd med integrerende faktor $ e^{\int p(x)} $.
Venstre side kan skrives om ved bruk av produktregelen for derivasjon baklengs. $ (e^{\int p(x)}y)' = g(x) e^{\int p(x)} $
Integrer så begge sider og du får $ e^{\int p(x)} y = \int g(x) e^{\int p(x)} $ Ikke glem $ + C $ på høyresiden når du integrerer uttrykket.
Del så på den integrerende faktor og du har fått funksjonsuttrykket $ y = \frac {\int g(x) e^{\int p(x)}}{e^{\int p(x)}} $ For å finne $ C $ må du ha en initialbetingelse. For eksempel $ y(0) = 2 $

Likninger på formelen $ y' = g(x)y $ (separable likninger) løses på følgende måte:

Skriver om venstreside med leibniznotasjon: $ \frac{dy}{dx} = g(x)y $
Ganger så med $ dx $ og får $ dy = g(x)y dx $
Deler på y og får: $ \frac{dy}{y} = g(x) dx $
Integrer så hver side med hensyn på hver sin: $ dy $ og $ dx $
Du får da funksjonsuttrykket: $ ln(y) = \int g(x) $
Opphøy begge sider i $ e $ og funksjonuttrykket blir: $ y = e^{\int g(x)} $ Ikke glem $ + C $ etter at du har integrert høyre side.

Følger, rekker og potensrekker

Written by

hoanghn aslakvengbo aaaeide sigveseb Stian Jensen trygvector Alpherino andervat eirikvaa Jonasroy tajoon

Last updated: Sun, 23 Oct 2022 11:49:53 +0200 .