Wikipendium

Share on Twitter Create compendium Add Language
Edit History
Tools
  • Edit
  • History
  • Share on Twitter

  • Add language

  • Create new compendium
Log in
Table of Contents
  1. Grenser og kontinuitet
  2. Derivasjon
    1. Regler for derivasjon
      1. Produktregelen
      2. Kvotientregelen
      3. Kjerneregelen
    2. Deriverte av ulike typer funksjoner
      1. Potensfunksjoner
      2. Eksponensialfunksjoner
      3. Logaritmefunksjoner
      4. Trigonometriske funksjoner
    3. Middelverditeoremet
  3. Transcendentale funksjoner
    1. Inversfunksjoner
      1. Definisjon 1 - En-til-en funksjoner
      2. Definisjon 2 - Inversfunksjon
      3. Definisjon 3 - Selvinvers
      4. Egenskaper til inversfunksjoner
    2. Eksponential og logaritmefunksjoner
      1. Regler for eksponenter
      2. Logaritmer
        1. Definisjon
        2. Regler
  4. Anvendelser av derivasjon
  5. Integrering
  6. Teknikker i integrering
  7. Anvendelser av integrering
  8. Differensiallikninger
  9. Følger, rekker og potensrekker
‹

TMA4100: Matematikk 1

Tags:
  • matematikk
  • maths
  • matte1
  • matte
+

Grenser og kontinuitet

Derivasjon

Den deriverte av en funksjon beskriver hastigheten en funksjon endrer seg med. Geometrisk kan det også beskrives som stigningen til tangenten til en kurve.

Den deriverte $f'(x)$ er definert som

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)−f(x)}{h} $$

Den viser endringen til $f$ mellom $x$ og $x+h$, og er lik stigningen til linjen mellom de to punktene på grafen. En god tilnærming for endringsraten til $f$ i punktet $x$ finner man ved å ta grenseverdien av denne brøken når h→0.

Regler for derivasjon

Regler for hvordan å derivere sammensatte funksjoner.

Produktregelen

$$ (g \cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h' $$

Kvotientregelen

$$ \left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2} $$

Kjerneregelen

$$ (g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Deriverte av ulike typer funksjoner

Potensfunksjoner

$$ \frac{d}{dx} x^r = rx^{x-1} $$

Eksponensialfunksjoner

$$ \frac{d}{dx} e^x = e^x $$

$$ \frac{d}{dx} a^x = \ln(a)a^x \quad (a>0) $$

Logaritmefunksjoner

$$ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \quad (x>0) $$

Trigonometriske funksjoner

$$ \sin'(x) = \cos(x) $$

$$ \cos'(x) = - \sin(x) $$

$$ \tan'(x) = \frac{1}{ \cos^2(x) } $$

$$ \arcsin'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } $$

$$ \arccos'(x) = \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } $$

$$ \arctan'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } $$

Middelverditeoremet

For en funskjon som er kontinuerlig på intervallet $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$, fins det minst en verdi $ c $ i $(a,b)$ som er slik at tangenten i $ c $ er parallell med den rette linjen gjennom $(a,f(a))$ og $(b,f(b))$. Dette uttrykkes som:

$$ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Er $f(a) = f(b)$ fins det minst en verdi $c$ slik at tangenten i $c$ er parallell med x-aksen, som vil si at $ f'(c) = 0$

Transcendentale funksjoner

Inversfunksjoner

Definisjon 1 - En-til-en funksjoner

En funksjon $ f $ er en-til-en hvis $ f(x_{1}) \neq f(x_{2})\ \textrm{når}\ x_{1} \text{og } x_{2} $ er i definisjonsmengden til $ f $ og $ x_{1} \neq x_{2} $.

Eller, ekvivalent med forrige utsagn, er også en funksjon en-til-en hvis $$ f(x_{1}) = f(x_{2}) \implies x_{1} = x_{2} $$

Definisjon 2 - Inversfunksjon

Hvis $ f $ er en-til-en har den en inversfunksjon. $$ x = f^{-1}(y) \iff y = f(x) $$

Definisjon 3 - Selvinvers

En funksjon $ f $ er selvinvers hvis $$ f^{-1} = f\ \ \text{som er, hvis}\ \ f(f(x)) = x $$ for alle $ x $ i defininsjonsmengden til $ f $.

Egenskaper til inversfunksjoner

  1. $ y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) $
  2. Definisjonsmengden til $ f^{-1} $ er verdimengden til $ f $.
  3. Verdimengden til $ f^{-1} $ er definisjonsmengden til $ f $.
  4. $ f^{-1}(f(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengden til }f. $
  5. $ f(f^{-1}(x)) = x \text{ for alle x i definisjonsmengedn til }f^{-1}. $
  6. $ (f^{-1})^{-1}(x) = f(x) \text{ for alle x i definisjonsmengden til } f. $
  7. $ \text{Grafen til } f^{-1} \text{ er speilvendt av grafen til } f \text{ i linjen x = y} $

  8. Den deriverte av en inversfunksjon er som følger: $$ \frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$

Eksponential og logaritmefunksjoner

Regler for eksponenter

Hvis $ a > 0 \text{ og } b > 0 $, og $ x $ og $ y $ er vilkårlige reelle tall, så er

  1. $ a^0 = 1 $
  2. $ a^{x+y} = a^x a^y $
  3. $ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $
  4. $ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} $
  5. $ (a^{x})^{y} = a^{xy} $
  6. $ (ab)^{x} = a^{x}b^{x} $
  7. $ a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x} $

Logaritmer

Definisjon

Hvis $ a > 1 $ og $ a \neq 1 $, så er funksjonen $ \log _a x $, kalt logaritmen av x med grunntall a, som er inversfunksjonen av $ a^x $ $$ y = \log _a x \iff x = a^y, (a > 0, a \neq 1) $$

Regler

Hvis $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ a \neq 1 $, og $ b \neq 1 $, så

  1. $ \log _a 1 = 0 $
  2. $ \log _a (xy) = \log _a x + \log _a y $
  3. $ \log _a (\frac{1}{x}) = -\log _a x $
  4. $ \log _a (\frac{x}{y}) = \log _a x - \log _a y $
  5. $ \log _a (x^y) = y \log _a x $
  6. $ \log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a} $

Anvendelser av derivasjon

Integrering

Teknikker i integrering

Anvendelser av integrering

Differensiallikninger

Likninger på formelen $ y' + p(x)y = g(x) $ løses på følgende måte:

  1. Ganger alle ledd med integrerende faktor $ e^{\int p(x)} $.

  2. Venstre side kan skrives om ved bruk av produktregelen for derivasjon baklengs. $ (e^{\int p(x)}y)' = g(x) e^{\int p(x)} $

  3. Integrer så begge sider og du får $ e^{\int p(x)} y = \int g(x) e^{\int p(x)} $ Ikke glem $ + C $ på høyresiden når du integrerer uttrykket.

  4. Del så på den integrerende faktor og du har fått funksjonsuttrykket $ y = \frac {\int g(x) e^{\int p(x)}}{e^{\int p(x)}} $ For å finne $ C $ må du ha en initialbetingelse. For eksempel $ y(0) = 2 $

Likninger på formelen $ y' = g(x)y $ (separable likninger) løses på følgende måte:

  1. Skriver om venstreside med leibniznotasjon: $ \frac{dy}{dx} = g(x)y $

  2. Ganger så med $ dx $ og får $ dy = g(x)y dx $

  3. Deler på y og får: $ \frac{dy}{y} = g(x) dx $

  4. Integrer så hver side med hensyn på hver sin: $ dy $ og $ dx $

  5. Du får da funksjonsuttrykket: $ ln(y) = \int g(x) $

  6. Opphøy begge sider i $ e $ og funksjonuttrykket blir: $ y = e^{\int g(x)} $ Ikke glem $ + C $ etter at du har integrert høyre side.

Følger, rekker og potensrekker

Written by

hoanghn aslakvengbo aaaeide sigveseb Stian Jensen trygvector Alpherino andervat eirikvaa Jonasroy tajoon
Last updated: Sun, 23 Oct 2022 11:49:53 +0200 .
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!