# Innledning ## Hva er et fluid? Fluid er en fellesbetegnelse på væsker og gass; stoff som deformeres under skjærsspenning. Mer presist, ifra [1]: >_"A solid can resist shear stress by a static deflection, a fluid cannot. Any shear stress applied to a fluid, no matter how small, will result in motion of that fluid."_ Fluider består som alt stoff av molekyler. I fluider er ikke molekylene absolutt bundet til hverandre, men kan bevege seg fritt. Tettheten $\rho$ av molekyler i et fluid(masse per volumenhet), er dermed ikke konstant, men forandres kontinuerlig. Så lenge enhetsvolumet valgt er større enn en viss grense, vil antallet molekyler i dette volumet være såpass stort at alle atomære fluktueringer er neglisjerbare. For alle væsker og gasser ved $1 \mathrm{atm}$ er denne grensen på $10^{-9} \mathrm{mm}^3$[1]. I et slikt fluid blir massetetthet til en punktfunksjon, og fluidet kalles for et _kontinuum_. Kalkulus kan brukes til å analysere slike fluider. ## Fysikk Fluidmekanikk bygger på faget [Mekanisk Fysikk](http://www.ntnu.no/studier/emner/TFY4145/). Hvis du ikke har stålkontroll på dette faget, repeter. ## Matematikk Fluidmekanikk bygger i stor grad på forståelse av fagene [Matematikk 1](http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4100/), [Matematikk 2](http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4105/) og til dels [Matematikk 4K](http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4120). Sitter pensum i disse fagene godt kan du hoppe til [Viskositet](#Viskositet). Disse begrepene burde du ha kjennskap til: + Integrasjon og derivasjon + Vektorer + Vektorfunksjoner + Derivasjon og integrasjon av vektorer + Vektorfelt + Flateintegraler og lukkede integraler + Komplekse tall + Residyeteoremet og residualintegrasjon Nedenfor vil det bli gitt en kort utledning/definisjon av alle disse begrepene, med unntak av det første. ### Vektorer, Gradient, Curl og Divergens En tredimensjonal vektor __v__ kan beskrives(i kartesiske koordinater) ved dens komponenter $\textbf{v} = \textbf{i}u + \textbf{j}v + \hat{\textbf{k}w}$, hvor $\textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$ er enhetsvektorene i x, y og z-retning respektivt. I et vektorfelt $\textbf{F}(x,y,z)$, er $u, v, w$ funksjoner av $x, y, $ og $z$. En viktig vektoroperator er Nabla-operatoren, definert ved $$\nabla = \frac{\delta}{\delta x}\textbf{i} + \frac{\delta}{\delta y}\textbf{j} + \frac{\delta}{\delta z}\textbf{k}$$ altså en vektor med de partiellderiverte i sin respektive retning.

__Curl__ til et vektorfelt $\textbf{f}(x,y,z) = u(x,y,z)\textbf{i} + v(x,y,z)\textbf{j} + w(x,y,z)\textbf{k}$ er en vektor definert som $$\mathrm{curl} \textbf{f} = \nabla \times \textbf{f}$$ og kan beskrives ved pseudo-determinanten $$ \mathrm{curl} \textbf{f} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ u & v & w \end{array} \right|. $$ __Divergensen__ til et vektorfelt $f(x,y,z)$, som ovenfor, er gitt ved skalarproduktet $$\mathrm{div}\textbf{f} = \nabla \cdot \textbf{f}$$ ### Hastighet og Akselerasjon Et hastighetsfelt bestående av fluidelementer med volum $\delta V = \delta x \delta y \delta z$ er definert ved $$\textbf{V}(x,y,z,t) = \textbf{i}u(x,y,z,t) + \textbf{j}v(x,y,z,t) + \textbf{k}w(x,y,z,t).$$ Akselerasjonsfeltet kan dermed utledes til

Å finne hastighetsfeltet til et fluidproblem er ofte synonymt med å løse problemet. Store deler av fluidanalyse går ut på å finne bevegelsene til et fluid. ### Gauss' integrasjonsteorem (Divergensteoremet) Det anbefales sterkt å se over en utledning av dette teoremet, sammen med Greens og Stokes teoremer. Gitt et vektorfelt $\textbf{F}$ med normalfelt $\textbf{n}$, et legeme med volum $\textbf{V}$ og flate $\textbf{S}$, har vi følgende relasjon: $$\iiint\limits_V \mathrm{div} \textbf{F} = \oint\limits_S \textbf{F}\cdot\textbf{n} \mathrm{d}S$$ (Det lukkede integralet over skal være et dobbeltintegral, når det lar seg gjøre). ### Kompleks analyse ## Viskositet En fluids _viskositet_ er dens evne til å mostå skjærsspenning, og dermed dens evne til å motstå flyt. Jo høyere viskositet, jo vanskeligere er det å deformere – og dermed bevege noe igjennom – fluidet. Luft, som vi på et daglig basis beveger oss i, har lav viskositet, og luftmotstanden blir ikke betydelig før ved "store" hastigheter (for å få luft til å utgjøre like stor motstand som gravitasjonen $\textbf{F} = m\textbf{g}$ kreves en hastighet på rundt $60 \mathrm{m/s}$, dette er også kjent som et fritt fall, eller terminal velocity på engelsk). Vann har rundt 50 ganger større viskositet enn luft, og er merkbart mye vanskeligere å bevege seg i. I den andre enden av skalaen har glyserin rundt 1 500 ganger større viskositet enn vann. ### Newtonianske fluider _Newtonianske_ fluider har en lineær sammenheng mellom påtrykt skjærsspenning og motstandskraft gitt ved (i èn dimensjon på et fluidelement) $$\tau = \mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$$ hvor $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ er hastighetsgradienten til fluiddelen utsatt for skjærsspenningen, og $\mu$ er viskositetskoeffesienten. ### Reynolds nummer Den primære variablen som omfatter viskøs bevegelse er _Reynolds Nummer_, definert ved $$Re = \frac{VL}{\upsilon}$$ hvor $V$ og $L$ er hastighets og lengde-karakteristikker til strømningen, og $\upsilon$ er en variabel kalt for kinematisk viskositet gitt ved $$\upsilon = \frac{\mu}{\rho}$$ Lav $Re$ indikerer veldig sakteflytende, eller krypende strømning. Moderat $Re$ indikerer laminær strømning(strøm som følger konstante strømlinjer). Mens høy $Re$ indikerer turbulent strømning. ### Heftbetingelsen(No-slip condition) Ved en fast overflate må en fluids hastighet i forhold til overflaten være 0, og dermed må skjærsspenning også være 0: $$ \left.\tau\right\vert_{Overflate} = \left.\mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\right\vert_{Overflate} = 0 $$ Mer om dette under [Navier-Stokes likning](#Navier-Stokes likning). ## Overflatespenning (Ikke eksamensrelevant) Enhver væske, som i motsetning til gass ikke kan ekspandere fritt, vil danne en overgang til en sekundær væske eller gas(i vakum blir ting fort morsomt). Siden halvparten av molekylene i overflaten mangler, vil overflaten være under spenning. Denne spenningen vil ved et snitt $\mathrm{d}A$ av fluiden være $\Upsilon$ både oppover og nedover (gitt at fluiden ved snittet er i balanse). $\Upsilon$ er overflatespenningskoeffesienten til fluiden, og blir ofte i fysikken denotert $\sigma$ eller $\gamma$. Hvis overgangen er kurvet, vil det være en trykkforskjell $\Delta p$ over overgangen, gitt på den konkave siden ved: $$\Delta p = \Upsilon \left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_y}\right)$$ hvor $R_x$ og $R_y$ er kurvaturens radier. (For et sirkulært tverrsnitt vil f.eks. $R_x = R$ og $R_y = \infty$. ## Egenskaper og termodynamikk ### Egenskaper Visse termodynamiske egenskaper er viktige å etablere for videre bruk i faget. Noen av dem har allerede blitt nevnt. __Trykk__($p$) er kraft per areal($\mathrm{Newton/Meter^2}$). Det kan enklest beskrives som hvor mye kraft som blir utgjort per infinitesimale punkt av en kraft. Trykk er en av de viktigste pådriverene til fluiders bevegelse. Trykkforskjeller i atmosfæren er bl.a. det som i stor grad driver luftstrømmer (og deretter vind). Vi opererer med tre forskjellige trykktyper: _gage, vakum og absolutt_. Absolutt trykk er den absolutte verdien til trykket. Gage er trykkforskjellen mellom et trykk $p$ og det lokale atmosfæretrykket $p_a$, $p - p_a$. Vakumtrykk er $-p_{gage}$. __Massetetthet__($\rho$) er masse per volum($\mathrm{Kilograms/Metre^3}$). Massetetthet er i væsker stort sett konstant, og væsker er dermed inkompressible (se [Andre viktige utrykk](#andre-viktige-utrykk)). Gassers massetetthet er hovedsakelig variabel. På et generelt basis har væsker rundt tre ganger høyere massetetthet enn gasser ved standard atmosfæretrykk. __Spesifikk vekt__($\gamma$) er vekt per volum(__obs!__ vekt er avhengig av gravitasjonen og er __ikke__ det samme som massetetthet). Det er definert ved $$\gamma = \rho g$$ ### Ideelle gasslov Ifra kjemien har vi den ideelle gasslov gitt ved $$p = \rho RT\qquad R = c_p - c_v $$ hvor $R$ er gasskonstanten (denne varierer fra gass til gass). ## De elemntære bevegelseslikningene til et fluid Bevegelsen til en strømning er gitt av (surprise!) Newtons 2. Lov, $$\textbf{F} = m\textbf{a}$$ Vi er interessert i bevegelsen til ett enkelt fluidelement, og ser dermed på krafttettheten $\textbf{f}$ som er gitt ved $$\textbf{f} = \rho \textbf{a},$$ siden massen går mot massetettheten for et infinitesimalt fluidelement. Nå vil det være hensiktsmessig å enumerere alle kreftene som virker på krafttettheten. Vi tar hensyn til bidragene ifra 1. Trykkkraft 2. Tyngdekraft 3. Viskøskraft Vi får dermed $$ \rho \textbf{a} = \textbf{f}_p + \textbf{f}_g + \textbf{f}_v.$$ Videre diskusjon finnes i [Hydrodynamikk](#hydrodynamikk). ## Dimensjonsteori En dimensjon er en måleenhet vi utrykker en variabel i. En enhet er en spesifikk måte å dimensjonere en variabel på, eksempelvis via meter eller millimeter. Dimensjonen til en variabel, beskrives ved klammeparenteser, for eksempel $\{g\} = \{LT^{-2}\}$, hvor L representer dimensjonen lengde, og T dimensjonen tid. Disse to og dimensjonene masse($\{M\}$) og temperatur($\{\Theta\}$) er dimensjonene vi hovedsakelig skal bruke. ### Dimensjonell homogenitet Enhver fysisk likning må være dimensjonelt homogen. Det vil si at ethvert ledd som blir addert, subtrahert, eller sammenlignet på tvers av et likhetstegn, må ha like dimensjoner. Ta for eksempel bevegelseslikningen $$S = S_0 + V_0t + \frac{1}{2}at^2$$ Hvert eneste ledd i denne (verifiser dette selv), har samme enhet $\{L\}$. ### Liste over enheter Primære dimensjoner || __Dimensjon__ || __Tegn__ || __SI enhet__ || || Lengde || {$L$} || Meter || || Masse || {$M$} || Kilogram || || Tid || {$T$} || Sekund || || Temperatur || {$\Theta$} || Kelvin || Noen sekundære dimensjoner || __Dimensjon__ || __Tegn__ || __SI enhet__ || || Areal || {$L^2$} || $\mathrm{m}^2$ || || Hastighet || {$LT^{-1}$} || $\mathrm{m/s}$ || || Akselerasjon || {$LT^{-2}$} || $\mathrm{m/s^2}$ || || Kraft || {$MLT^{-2}$} || $\mathrm{N}$ || || Massetetthet || {$ML^{-3}$} || $\mathrm{kg/m^3}$ || || Trykk || {$ML^{-1}T^{-2}$} || $\mathrm{Pa}$ || || Viskositet || {$ML^{-1}T^{-1}$} || $\mathrm{kg/(m\cdot s)}$ || || Energi || {$ML^2T^{-2}$} || $\mathrm{N \cdot m}$ || ## Andre viktige utrykk # Hydrostatikk Hydrostatikk omhandler væsker som er fullstendig i ro, og dermed har $\textbf{V} \equiv 0$. ## Trykkfordeling Et fluidelement med tykkelse $\mathrm{d}z$ og overflateareal $A$ blir utsatt for en trykkkraft $f_t = A(p - (p + dp))$ og en gravitasjonskraft $f_g = \rho gA\mathrm{d}z$. Siden elementet er i ro (hydrostatikk), er $\sum F = 0$ og $$ -\mathrm{d}p = \rho g\mathrm{d}z \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g = -\gamma$$ Altså, mellom to punkter i fluiden $$ p_2 - p_1 = -\int_1^2 \gamma \mathrm{d}z $$ ### Inkompressible fluider For inkompressible fluider, kan $\gamma$ puttes utenfor integralet: $$ p_2 - p_1 = -\gamma \left(z_2 - z_1\right)$$ ### Kompressible fluider Hvis fluidet er kompressibelt, og har variabel massetetthet, blir differensiallikningen via den idelle gasslov $$\frac{\mathrm{d}p}{dz} = -\rho g = -\frac{p}{RT}g$$ Seperasjon av variablene gir $$\int_1^2 \frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{g}{RT}\int_1^2 \mathrm{d}z$$ Her er det antatt _isotermisk temperatur_, altså at temperaturen er uavhengig av $z$. Likningen har løsning $$ p_2 = p_1\>\mathrm{exp}\left[-\frac{g(z_2-z_1)}{RT_0}\right]$$ ### Atmosfæren I atmosfæren er temperaturen $T$ avtagende med høyden $z$. I troposfæren(det nederste laget til atmosfæren) er temperaturen gitt ved $$T \approx T_0 - Bz$$ hvor både $T_0$ og $B$ er variabler som varierer fra dag til dag. Dette gir ved innsetning i differensiallikningen overnfor $$p = p_a\left(1 - \frac{Bz}{T_0}\right)^{\frac{g}{RB}}$$ For luft er $\frac{g}{RB} = 5.26$. ## Flere lag med fluider Trykkforskjell i distinkte lag med fluider kan regnes ut å regne trykkforskjellen i hvert lag, og deretter summere alle sammen. For eksempel for 3 fluider, $1$, $2$ og $3$ med forskjellig tetthet oppå hverandre $$p_3 - p_1 = -\gamma_1(z_1 - z_0) -\gamma_2(z_2 - z_1) -\gamma_3(z_3 - z_1)$$ alternativt $$p_3 - p_1 = \gamma_1\left|z_0 - z_1\right| + \gamma_2\left|z_1 - z_2\right| + \gamma_3\left|z_2 - z_3\right|$$ ## Hydrostatiske krefter Et legeme i et fluid vil erfare en nettokraft nedover av trykket til fluiden over legemet. For et legeme som ligger ortogonalt på $z$-retning vil kraften på legemet være gitt ved $$ \textbf{F} = pA $$ Trykket kan bestemmes av den hydrostatiske trykklikningen. Setter vi overflaten av fluidet til $z = 0$, får vi $$\textbf{F} = \gamma zA$$ Dette gitt et koordinatsystem hvor positiv $z$ nedover. (noe som er forventet siden koordinatsystemet vårt har $z$ oppover). Merk at denne kraften __ikke__ er summen av kreftene(er legemet fullt innlemmet i fluiden vil en større kraft oppover finne sted, samt gravitasjonskraften). Formelen ovenfor antar et uniformt atmosfærisk trykk som kan strykes, kan det ikke det, har vi $$\textbf{F} = (p_a + \gamma z)A For et plant legeme med arbitrær form og rotasjon kan det vises at kraften på legemet er $$\textbf{F} = (p_a + \gamma z_{cg})A = p_{cg}A $$ hvor $p_{cg}$ er trykket ved legemets gravitasjonssenter, og $z_{cg}$ er høyden der. Kraften utøves igjennom et punkt "under" (nærmere høytrykksområdet til legemet) gravitasjonssenteret, kalt trykksenteret $CP$. $CP$ kan finnes ved $$ y_{cp} = -\gamma \sin\theta\frac{I_{xx}}{p_{cg}A} \qquad x_{cp} = -\gamma \sin\theta\frac{I_{xy}}{p_{cg}A}$$ Her er $I_{xx}$ treghetsmoment til legememet igjennom senteroiden vinkelrett på overflaten til legemet, og $I_{xy} $ treghetsmomentet parallellt med overflaten. Har vi kurvede legemer, vil det være hensiktsmessig å dekomponere kraften i en horisontal og vertikal del, og bruke de horisontale og vertikale projeksjonene av legemet til å regne ut disse. En utledning av alle formelene ovenfor finnes i [1]. ### Flerlags fluider Har vi flere lag med fluider, og vil gjøre en hydrostatisk analyse som ovenfor, gjelder ikke formelene våre lenger. Men vi kan anvende(som gjort i [Flere lag med fluider](#flere-lag-med-fluider)) formelene på hvert lag hver for seg, og deretter summere de: $$F = \sum F_i = \sum p_{cg_i}A_i$$ $$ y_{cp} = -\rho_i g\sin\theta_i\frac{I_{xx}}{p_{cg_i}A_i} \qquad x_{cp} = -\rho_i g\sin\theta_i\frac{I_{xy}}{p_{cg_i}A_i}$$ Ved å summere dreiemoment kan man deretter finne $CP$. ## Stive-legemer Stivt-legeme bevegelse intreffer når alle partikler i et fluid er i harmonisk translasjon eller rotasjon. For eksempel under uniform rotasjon eller akselerasjon. Ifra bevegelsesliknigen for et fluid, vil viskositets-delen falle vekk (ingen relativt bevegelse mellom punktene), og vi får $$\rho \textbf{a} = \textbf{f}_t + \textbf{f}_g$$ $$\rho \textbf{a} = -\nabla p + \rho \textbf{g}$$ $$ \nabla p = \rho (\textbf{g} - \textbf{a})$$ Trykkgradienten følger altså retningen $\textbf{g} - \textbf{a}$, som igjen betyr at linjer med konstant trykk er vinkelrett på $\textbf{g} - \textbf{a}$(hvis $\textbf{a} = 0$ blir linjene med konstant trykk vinkelrette på $\textbf{g}$, som forventet). Overflaten på et slikt fluid må dermed også følge en slik linje(konstant trykk). ### Lineær akselerasjon For et fluid under lineær akselerasjon kan vinkelen til overflaten bestemmes ved å finne retningen til $\textbf{g} - \textbf{a}$, som er gitt ved: $$ \theta = arctan\left(\frac{a_x}{g + a_z}\right)$$ Hvis $\textbf{a}$ har en komponent i $z$-retning må denne tas hensyn til, siden den motvirker $\textbf{g}$, derav $a_z$ i nevneren. Bevegelseslikningen kan integreres. Antar vi akselerasjon i èn dimensjon(mot x), kan vi skrive $$ \nabla p = \rho(\textbf{g} - \textbf{a}) \implies \nabla p = \nabla(\rho(-gz - ax)) $$ $$ \nabla \left(\frac{p}{\rho} + gz + ax \right) = 0 \implies \frac{p}{\rho} + gz + ax = C$$ $C$ vil være en konstant avhengig av systemet. Legger vi origo i $x = z = 0$ slik at $p = p_0$ i dette punktet, blir $C = \frac{p_0}{\rho}$. Hvis $p$ er konstant, reduseres utrykket til $$gz + ax = C_0$$ ### Uniform rotasjon For et fluid under uniform rotasjon, er akselerasjonsvektoren gitt ved $$\textbf{a} = -r\Omega^2\hat{e_r}$$ Bevegelslikningen blir dermed $$ \nabla p = \rho\left(\textbf{g} + r\Omega^2\hat{e_r}\right)$$ Med litt matematisk triksing og integrasjon som ovenfor (se [2] for flere detaljer), ender vi opp med $$ p = p_0 - \gamma z + \frac{1}{2}\rho r^2 \Omega^2 $$ # Hydrodynamikk Siden hydrostatikk omhandler fluider i ro, er det logisk at hydrodynamikk omhandler fluider i bevegelse. Alle formlene utledet i dette kapitellet kan utledes vi Reynolds transport teorem, som til slutt vil bli nevnt, men disse utledningene regnes som litt for vanskelige for 2. års studenten. Den seriøse student anbefales å se over disse utledningene i [1]. ## Eulers likning Vi begynner igjen med vår infinitesimale form av Newtons 2. lov $$ \rho \textbf{a} = \textbf{f}_t + \textbf{f}_g + \textbf{f}_v $$ som tidligere antar vi at viskositeten er neglisjerbar, og får $$\rho \textbf{a} = \nabla p - \rho \textbf{g}$$ Med konstant akselerasjon ender vi opp med samme likninger som i [Stive-legemer](#stive-legemer). Dette ville vært heller kjedelig. Utrykker vi akselerasjon som $\textbf{a} = \frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t}$ får vi Euler's likning $$ \frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t} = \rho \textbf{g} - \nabla p$$ ## Bernoullis likning ## Navier-Stokes likning ## Reynolds transport teorem # Konservasjon av masse, moment og energi ## Masse ## Moment ## Energi # Strømfunksjonen og Hastighetspotensialfunksjonen # Det komplekse potensial # Bølgeteori # Referanser Kompendiet er i stor grad basert på utledningene funnet i [1]: "Frank M. White, Fluid Mechanics" [2]: http://www.ivt.ntnu.no/ept/fag/tep4105/pensum/pensum/kompendium_i_fluidmekanikk.pdf # Eksterne lenker [Kompendium i vektormatematikk](http://www.ivt.ntnu.no/ept/fag/tep4105/pensum/pensum/VectorAnalysis.pdf) [Formelliste](http://www.ivt.ntnu.no/ept/fag/tep4105/pensum/formel.pdf)