Wikipendium

Share on Twitter Create compendium Add Language
Edit History
Tools
  • Edit
  • History
  • Share on Twitter

  • Add language

  • Create new compendium
Log in
Table of Contents
  1. Innledning
    1. Hva er et fluid?
    2. Fysikk
    3. Matematikk
      1. Vektorer, Gradient, Curl og Divergens
      2. Hastighet og Akselerasjon
      3. Gauss' integrasjonsteorem (Divergensteoremet)
      4. Kompleks analyse
    4. Viskositet
      1. Newtonske fluider
      2. Reynolds nummer
      3. Heftbetingelsen(No-slip condition)
    5. Overflatespenning
    6. Egenskaper og termodynamikk
      1. Egenskaper
      2. Ideelle gasslov
    7. De elementære bevegelseslikningene til et fluid
    8. Dimensjonsteori
      1. Dimensjonell homogenitet
      2. Liste over enheter
    9. Andre viktige utrykk
      1. Strømlinjer
      2. Stasjonær strømning
      3. Inkompressible fluider
      4. Laminær og turbulent strømninger
  2. Hydrostatikk
    1. Trykkfordeling
      1. Inkompressible fluider
      2. Kompressible fluider
      3. Atmosfæren
    2. Flere lag med fluider
    3. Hydrostatiske krefter
      1. Flerlags fluider
    4. Oppdrift og stabilitet
      1. Arkimedes' prinsipper
      2. Stabilitet
    5. Stive-legemer
      1. Lineær akselerasjon
      2. Uniform rotasjon
  3. Hydrodynamikk
    1. Eulers likning
    2. Bernoullis likning
    3. Navier-Stokes likninger
    4. Reynolds transport teorem
  4. Konservasjon og Kontrollvolum-analyse
    1. Masse
      1. Kontinuitetsrelasjonen
    2. Impuls
    3. Energi
  5. Dimensjonell analyse
  6. Strømfunksjonen og hastighetspotensialet
    1. Strømfunksjonen
    2. Hastighetspotensialet
    3. Laplaces likning
    4. Singulariteter
      1. Dipol (dublett)
  7. Det komplekse potensial
  8. Bølgeteori
  9. Referanser
  10. Eksterne lenker
‹

TEP4105: Fluidmekanikk

Tags:
  • tep4100
+

Innledning

Hva er et fluid?

Fluid er en fellesbetegnelse på væsker og gass; stoff som deformeres under skjærsspenning. Mer presist, ifra [1]:

"A solid can resist shear stress by a static deflection, a fluid cannot. Any shear stress applied to a fluid, no matter how small, will result in motion of that fluid."

Fluider består som alt stoff av molekyler. I fluider er ikke molekylene absolutt bundet til hverandre, men kan bevege seg fritt. Tettheten $\rho$ av molekyler i et fluid(masse per volumenhet), er dermed ikke konstant, men forandres kontinuerlig. Så lenge enhetsvolumet valgt er større enn en viss grense, vil antallet molekyler i dette volumet være såpass stort at alle atomære fluktueringer er neglisjerbare. For alle væsker og gasser ved $1 \mathrm{atm}$ er denne grensen på $10^{-9} \mathrm{mm}^3$[1]. I et slikt fluid blir massetetthet til en punktfunksjon, og fluidet kalles for et kontinuum. Kalkulus kan brukes til å analysere slike fluider.

Fysikk

Fluidmekanikk bygger på faget Mekanisk Fysikk(evt. andre tilsvarende fag). Hvis du ikke har stålkontroll på dette faget, repeter.

Matematikk

Fluidmekanikk bygger i stor grad på forståelse av fagene Matematikk 1, Matematikk 2 og til dels Matematikk 4K. Sitter pensum i disse fagene godt kan du hoppe til Viskositet.

Disse begrepene burde du ha kjennskap til:

  • Integrasjon og derivasjon
  • Vektorer
  • Vektorfunksjoner
  • Derivasjon og integrasjon av vektorer
  • Vektorfelt
  • Flateintegraler og lukkede integraler
  • Komplekse tall
  • Residyeteoremet og residualintegrasjon

Nedenfor vil det bli gitt en kort utledning/definisjon av alle disse begrepene, med unntak av det første.

Vektorer, Gradient, Curl og Divergens

En tredimensjonal vektor v kan beskrives(i kartesiske koordinater) ved dens komponenter $\textbf{v} = \textbf{i}u + \textbf{j}v + \textbf{k}w$, hvor $\textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$ er enhetsvektorene i x, y og z-retning respektivt.

I et vektorfelt $\textbf{F}(x,y,z)$, er $u, v, w$ funksjoner av $x, y, $ og $z$.

En viktig vektoroperator er Nabla-operatoren, definert ved $$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\textbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\textbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\textbf{k},$$ altså en vektor med de partiellderiverte i sin respektive retning.

Gradienten til en funksjon $f$ er en vektor definert ved $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\textbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\textbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\textbf{k}.$$

Curl til et vektorfelt $\textbf{f}\ (x,y,z) = u(x,y,z)\textbf{i} + v(x,y,z)\textbf{j} + w(x,y,z)\textbf{k}$ er en vektor definert ved $$\mathrm{curl}\, \textbf{f} = \nabla \times \textbf{f},$$ og kan beskrives ved pseudo-determinanten $$ \mathrm{curl}\, \textbf{f} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u & v & w \end{array} \right|. $$

Divergensen til et vektorfelt $f(x,y,z)$, som ovenfor, er gitt ved skalarproduktet $$\mathrm{div}\,\textbf{f} = \nabla \cdot \textbf{f}.$$

Hastighet og Akselerasjon

Et hastighetsfelt bestående av fluidelementer med volum $\delta V = \partial x \partial y \partial z$ er definert ved $$\textbf{V}(x,y,z,t) = \textbf{i}u(x,y,z,t) + \textbf{j}v(x,y,z,t) + \textbf{k}w(x,y,z,t).$$

Akselerasjonsfeltet kan deretter utledes til

$$\textbf{a} = \frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{dt}} = \frac{\partial \textbf{V}}{\partial \mathrm{t}} + u\frac{\partial \textbf{V}}{\partial \mathrm{x}} + v\frac{\partial \textbf{V}}{\partial \mathrm{y}} + w\frac{\partial \textbf{V}}{\partial \mathrm{z}} = \frac{\partial \textbf{V}}{\mathrm{dt}} + \left(V \cdot \nabla\right)V.$$

Å finne hastighetsfeltet til et fluidproblem er ofte synonymt med å løse problemet. Store deler av fluidanalyse går ut på å finne bevegelsene til et fluid.

Gauss' integrasjonsteorem (Divergensteoremet)

Det anbefales sterkt å se over en utledning av dette teoremet, sammen med Greens og Stokes teoremer.

Gitt et vektorfelt $\textbf{F}$ med normalfelt $\textbf{n}$, et legeme med volum $\textbf{V}$ og flate $\textbf{S}$, har vi følgende relasjon:

$$\iiint\limits_V \mathrm{div}\,\textbf{F} = \oint\limits_S \textbf{F}\cdot\textbf{n}\,\mathrm{d}S.$$

(TODO: Det lukkede integralet over skal være et dobbeltintegral, når det lar seg gjøre).

Kompleks analyse

Viskositet

En fluids viskositet er dens evne til å mostå skjærsspenning, og dermed dens evne til å motstå flyt. Jo høyere viskositet, jo vanskeligere er det å deformere – og dermed bevege noe igjennom – fluidet.

Luft, som vi på et daglig basis beveger oss i, har lav viskositet, og luftmotstanden blir ikke betydelig før ved "store" hastigheter (for å få luft til å utgjøre like stor motstand som gravitasjonen $\textbf{F} = m\textbf{g}$ kreves en hastighet på rundt $60 \mathrm{m/s}$, dette er også kjent som et fritt fall, eller terminal velocity på engelsk). Vann har rundt 50 ganger større viskositet enn luft, og er merkbart mye vanskeligere å bevege seg i. I den andre enden av skalaen har glyserin rundt $1 500$ ganger større viskositet enn vann.

Newtonske fluider

Newtonske fluider har en lineær sammenheng mellom påtrykt skjærsspenning og motstandskraft gitt ved (i èn dimensjon på et fluidelement)

$$\tau = \mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y},$$

hvor $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ er hastighetsgradienten til fluiddelen utsatt for skjærsspenningen, og $\mu$ er viskositetskoeffesienten.

Reynolds nummer

Den primære variablen som omfatter viskøs bevegelse er Reynolds Nummer, definert ved

$$Re = \frac{VL}{\upsilon}.$$

hvor $V$ og $L$ er hastighets og lengde-karakteristikker til strømningen, og $\upsilon$ er en variabel kalt for kinematisk viskositet gitt ved

$$\upsilon = \frac{\mu}{\rho}.$$

Lav $Re$ indikerer veldig sakteflytende, eller krypende strømning. Moderat $Re$ indikerer laminær strømning. Høy $Re$ indikerer turbulent strømning. Mer om disse i Andre vikige utrykk.

Heftbetingelsen(No-slip condition)

Ved en fast overflate må en fluids hastighet i forhold til overflaten være 0, og dermed må skjærsspenning også være $0$:

$$ \left.\tau\right\vert_{Overflate} = \left.\mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\right\vert_{Overflate} = 0. $$

Overflatespenning

(Ikke eksamensrelevant)

Enhver væske, som i motsetning til gass ikke kan ekspandere fritt, vil danne en overgang til en sekundær væske eller gass(i vakum blir ting fort morsomt). Siden halvparten av molekylene i overflaten mangler, vil overflaten være under spenning. Denne spenningen vil ved et snitt $\mathrm{d}A$ av fluiden være $\Upsilon$ både oppover og nedover (gitt at fluiden ved snittet er i balanse). $\Upsilon$ er overflatespenningskoeffesienten til fluiden, og blir ofte i fysikken denotert $\sigma$ eller $\gamma$.

Hvis overgangen er kurvet, vil det være en trykkforskjell $\Delta p$ over overgangen, gitt på den konkave siden ved:

$$\Delta p = \Upsilon \left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_y}\right),$$

hvor $R_x$ og $R_y$ er kurvaturens radier. (For et sirkulært tverrsnitt vil f.eks. $R_x = R$ og $R_y = \infty$.

Egenskaper og termodynamikk

Egenskaper

Visse termodynamiske egenskaper er viktige å etablere for videre bruk i faget. Noen av dem har allerede blitt nevnt.

Trykk($p$) er kraft per areal($\mathrm{Newton/Meter^2}$). Det kan enklest beskrives som hvor mye kraft som blir utgjort per infinitesimale punkt av en kraft. Trykk er en av de viktigste pådriverene til fluiders bevegelse. Trykkforskjeller i atmosfæren er bl.a. det som i stor grad driver luftstrømmer (og deretter vind).

Vi opererer med tre forskjellige trykktyper: gage, vakum og absolutt. Absolutt trykk er den absolutte verdien til trykket. Gage er trykkforskjellen mellom et trykk $p$ og det lokale atmosfæretrykket $p_a$, $p - p_a$. Vakumtrykk er $-p_{gage}$.

Massetetthet($\rho$) er masse per volum($\mathrm{Kilograms/Metre^3}$). Massetetthet er i væsker stort sett konstant, og væsker er dermed inkompressible (se Andre viktige utrykk). Gassers massetetthet er hovedsakelig variabel. På et generelt basis har væsker rundt tre ganger høyere massetetthet enn gasser ved standard atmosfæretrykk.

Spesifikk vekt($\gamma$) er vekt per volum(obs! vekt er avhengig av gravitasjonen og er ikke det samme som massetetthet). Det er definert ved $$\gamma = \rho g$$

Ideelle gasslov

Ifra kjemien har vi den ideelle gasslov gitt ved

$$p = \rho RT\qquad R = c_p - c_v. $$

hvor $R$ er gasskonstanten (denne varierer fra gass til gass).

De elementære bevegelseslikningene til et fluid

Bevegelsen til en strømning er gitt av (surprise!) Newtons 2. Lov,

$$\textbf{F} = m\textbf{a}.$$

Vi er interessert i bevegelsen til ett enkelt fluidelement, og ser dermed på krafttettheten $\textbf{f}$ som er gitt ved

$$\textbf{f} = \rho \textbf{a},$$

siden massen går mot massetettheten for et infinitesimalt fluidelement. Nå vil det være hensiktsmessig å enumerere alle kreftene som virker på krafttettheten. Vi tar hensyn til bidragene ifra

  1. Trykkkraft
  2. Tyngdekraft
  3. Viskøskraft

Vi får dermed $$ \rho \textbf{a} = \textbf{f}_p + \textbf{f}_g + \textbf{f}_v.$$

Videre diskusjon finnes i Hydrodynamikk.

Dimensjonsteori

En dimensjon er en måleenhet vi utrykker en variabel i. En enhet er en spesifikk måte å dimensjonere en variabel på, eksempelvis via meter eller millimeter.

Dimensjonen til en variabel, beskrives ved klammeparenteser, for eksempel $\{g\} = \{LT^{-2}\}$, hvor L representer dimensjonen lengde, og T dimensjonen tid. Disse to og dimensjonene masse($\{M\}$) og temperatur($\{\Theta\}$) er dimensjonene vi hovedsakelig skal bruke.

Dimensjonell homogenitet

Enhver fysisk likning må være dimensjonelt homogen. Det vil si at ethvert ledd som blir addert, subtrahert, eller sammenlignet på tvers av et likhetstegn, må ha like dimensjoner.

Ta for eksempel bevegelseslikningen $$S = S_0 + V_0t + \frac{1}{2}at^2$$ Hvert eneste ledd i denne (verifiser dette selv), har samme enhet $\{L\}$.

Liste over enheter

Primære dimensjoner

Dimensjon Tegn SI enhet
Lengde {$L$} Meter
Masse {$M$} Kilogram
Tid {$T$} Sekund
Temperatur {$\Theta$} Kelvin

Noen sekundære dimensjoner

Dimensjon Tegn SI enhet
Areal {$L^2$} $\mathrm{m}^2$
Hastighet {$LT^{-1}$} $\mathrm{m/s}$
Akselerasjon {$LT^{-2}$} $\mathrm{m/s^2}$
Kraft {$MLT^{-2}$} $\mathrm{N}$
Massetetthet {$ML^{-3}$} $\mathrm{kg/m^3}$
Trykk {$ML^{-1}T^{-2}$} $\mathrm{Pa}$
Viskositet {$ML^{-1}T^{-1}$} $\mathrm{kg/(m\cdot s)}$
Energi {$ML^2T^{-2}$} $\mathrm{N \cdot m}$

Andre viktige utrykk

Strømlinjer

Stasjonær strømning

Inkompressible fluider

Laminær og turbulent strømninger

Hydrostatikk

Hydrostatikk omhandler væsker som er fullstendig i ro, og dermed har $\textbf{V} \equiv 0$.

Trykkfordeling

Et fluidelement med tykkelse $\mathrm{d}z$ og overflateareal $A$ blir utsatt for en trykkkraft $f_t = A(p - (p + dp))$ og en gravitasjonskraft $f_g = \rho gA\mathrm\,{d}z$. Siden elementet er i ro (hydrostatikk), er $\sum F = 0$ og $$ -\mathrm{d}p = \rho g\,\mathrm{d}z \Longleftrightarrow \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g = -\gamma$$

Altså, mellom to punkter i fluiden

$$ p_2 - p_1 = -\int_1^2 \gamma \mathrm{d}z. $$

Inkompressible fluider

For inkompressible fluider, kan $\gamma$ puttes utenfor integralet:

$$ p_2 - p_1 = -\gamma \left(z_2 - z_1\right).$$

Kompressible fluider

Hvis fluidet er kompressibelt, og har variabel massetetthet, blir differensiallikningen via den idelle gasslov

$$\frac{\mathrm{d}p}{dz} = -\rho g = -\frac{p}{RT}g.$$

Seperasjon av variablene gir

$$\int_1^2 \frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{g}{RT}\int_1^2\mathrm{d}z.$$

Her er det antatt isotermisk temperatur, altså at temperaturen er uavhengig av $z$. Likningen har løsning

$$ p_2 = p_1\>\mathrm{exp}\left[-\frac{g(z_2-z_1)}{RT_0}\right].$$

Atmosfæren

I atmosfæren er temperaturen $T$ avtagende med høyden $z$. I troposfæren(det nederste laget til atmosfæren) er temperaturen gitt ved $$T \approx T_0 - Bz,$$ hvor både $T_0$ og $B$ er variabler som varierer fra dag til dag.

Dette gir ved innsetning i differensiallikningen ovenfor

$$p = p_a\left(1 - \frac{Bz}{T_0}\right)^{\frac{g}{RB}}.$$

For luft er $\frac{g}{RB} = 5.26$.

Flere lag med fluider

Trykkforskjell i distinkte lag med fluider kan regnes ut å regne trykkforskjellen i hvert lag, og deretter summere alle sammen. For eksempel for $3$ fluider, $1$, $2$ og $3$ med forskjellig tetthet oppå hverandre

$$p_3 - p_1 = -\gamma_1(z_1 - z_0) -\gamma_2(z_2 - z_1) -\gamma_3(z_3 - z_1),$$

alternativt,

$$p_3 - p_1 = \gamma_1\left|z_0 - z_1\right| + \gamma_2\left|z_1 - z_2\right| + \gamma_3\left|z_2 - z_3\right|.$$

Hydrostatiske krefter

Et legeme i et fluid vil erfare en nettokraft nedover av trykket til fluiden over legemet. For et legeme som ligger ortogonalt på $z$-retning vil kraften på legemet være gitt ved

$$ \textbf{F} = pA. $$

Trykket kan bestemmes av den hydrostatiske trykklikningen. Setter vi overflaten av fluidet til $z = 0$, får vi

$$\textbf{F} = \gamma zA.$$

Dette gitt et koordinatsystem hvor positiv $z$ nedover. (noe som er forventet siden koordinatsystemet vårt har $z$ oppover). Merk at denne kraften ikke er summen av kreftene(er legemet fullt innlemmet i fluiden vil en større kraft oppover finne sted, samt gravitasjonskraften). Formelen ovenfor antar et uniformt atmosfærisk trykk som kan strykes, kan det ikke det, har vi

$$\textbf{F} = (p_a + \gamma z)A.$$

Merk at dette er det samme som volumet av væsken over legemet, pluss det atmosfæriske trykket.

For et plant legeme med arbitrær form og rotasjon kan det vises at kraften på legemet er

$$\textbf{F} = (p_a + \gamma z_{cg})A = p_{cg}A, $$

hvor $p_{cg}$ er trykket ved legemets gravitasjonssenter, og $z_{cg}$ er høyden der. Kraften utøves igjennom et punkt "under" (nærmere høytrykksområdet til legemet) gravitasjonssenteret, kalt trykksenteret $CP$. $CP$ kan finnes ved

$$ y_{cp} = -\gamma \sin\theta\frac{I_{xx}}{p_{cg}A} \qquad x_{cp} = -\gamma \sin\theta\frac{I_{xy}}{p_{cg}A}$$

Her er $I_{xx}$ treghetsmoment til legememet igjennom senteroiden vinkelrett på overflaten til legemet, og $I_{xy} $ treghetsmomentet parallellt med overflaten. Har vi kurvede legemer, vil det være hensiktsmessig å dekomponere kraften i en horisontal og vertikal del, og bruke de horisontale og vertikale projeksjonene av legemet til å regne ut disse.

En utledning av alle formelene ovenfor finnes i [1].

Flerlags fluider

Har vi flere lag med fluider, og vil gjøre en hydrostatisk analyse som ovenfor, gjelder ikke formelene våre lenger. Men vi kan anvende(som gjort i Flere lag med fluider) formelene på hvert lag hver for seg, og deretter summere de:

$$F = \sum F_i = \sum p_{cg_i}A_i$$ $$ y_{cp} = -\rho_i g\sin\theta_i\frac{I_{xx}}{p_{cg_i}A_i} \qquad x_{cp} = -\rho_i g\sin\theta_i\frac{I_{xy}}{p_{cg_i}A_i}.$$

Ved å summere dreiemoment kan man deretter finne $CP$.

Oppdrift og stabilitet

Arkimedes' prinsipper

Stabilitet

Stive-legemer

Stivt-legeme bevegelse intreffer når alle partikler i et fluid er i harmonisk translasjon eller rotasjon. For eksempel under uniform rotasjon eller akselerasjon. Ifra bevegelsesliknigen for et fluid, vil viskositets-delen falle vekk (ingen relativ bevegelse mellom punktene), og vi får

$$\rho \textbf{a} = \textbf{f}_t + \textbf{f}_g$$ $$\Longleftrightarrow \rho \textbf{a} = -\nabla p + \rho \textbf{g}$$ $$\Longleftrightarrow \nabla p = \rho (\textbf{g} - \textbf{a}).$$

Trykkgradienten følger altså retningen $\textbf{g} - \textbf{a}$, som igjen betyr at linjer med konstant trykk er vinkelrett på $\textbf{g} - \textbf{a}$(hvis $\textbf{a} = 0$ blir linjene med konstant trykk vinkelrette på $\textbf{g}$, som forventet). Overflaten på et slikt fluid må dermed også følge en slik linje(konstant trykk).

Lineær akselerasjon

For et fluid under lineær akselerasjon kan vinkelen til overflaten bestemmes ved å finne retningen til $\textbf{g} - \textbf{a}$, som er gitt ved:

$$ \theta = arctan\left(\frac{a_x}{g + a_z}\right)$$

Hvis $\textbf{a}$ har en komponent i $z$-retning må denne tas hensyn til, siden den motvirker $\textbf{g}$, derav $a_z$ i nevneren.

Bevegelseslikningen kan integreres. Antar vi akselerasjon i èn dimensjon(mot x), kan vi skrive

$$ \nabla p = \rho(\textbf{g} - \textbf{a}) \implies \nabla p = \nabla(\rho(-gz - ax)) $$ $$ \nabla \left(\frac{p}{\rho} + gz + ax \right) = 0 \implies \frac{p}{\rho} + gz + ax = C$$

$C$ vil være en konstant avhengig av systemet. Legger vi origo i $x = z = 0$ slik at $p = p_0$ i dette punktet, blir $C = \frac{p_0}{\rho}$. Hvis $p$ er konstant, reduseres utrykket til $$gz + ax = C_0.$$

Uniform rotasjon

For et fluid under uniform rotasjon, er akselerasjonsvektoren gitt ved

$$\textbf{a} = -r\Omega^2\hat{e_r}$$

Bevegelslikningen blir dermed

$$ \nabla p = \rho\left(\textbf{g} + r\Omega^2\hat{e_r}\right).$$

Med litt matematisk triksing og integrasjon som ovenfor (se 2 for flere detaljer), ender vi opp med

$$ p = p_0 - \gamma z + \frac{1}{2}\rho r^2 \Omega^2.$$

Hydrodynamikk

Siden hydrostatikk omhandler fluider i ro, er det logisk at hydrodynamikk omhandler fluider i bevegelse. Alle formlene utledet i dette kapitellet kan utledes via Reynolds transport teorem, som til slutt vil bli nevnt, men disse utledningene regnes som litt for vanskelige for studenten i det andre årstrinn2. Den seriøse student anbefales alikevel å se over disse utledningene i [1].

Eulers likning

Tar man igjen utgangspunktet i den infinitesimale form av Newtons 2. lov

$$ \rho \textbf{a} = \textbf{f}_t + \textbf{f}_g + \textbf{f}_v, $$

og antar som tidligere at viskositeten er neglisjerbar, får man

$$\rho \textbf{a} = \nabla p - \rho \textbf{g}.$$

Med konstant akselerasjon ender man opp med samme likninger som i Stive-legemer. Dette ville vært heller kjedelig. Utrykker en akselerasjon som $\textbf{a} = \frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t}$ får man Eulers likning:

$$ \rho\frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t} = \rho \textbf{g} - \nabla p.$$

$\frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t}$ kan skrives om som i Hastighet og Akselerasjon:

$$ \rho\left(\frac{\partial \textbf{V}}{\mathrm{dt}} + \left(V \cdot \nabla\right)V\right) = \rho \textbf{g} - \nabla p.$$

Det er igjen verdt å nevne at Eulers likning forutsetter neglisjerbar viskositet.

Bernoullis likning

Bernoullis likning er en av de mest nyttige verktøy innenfor fluidanalyse, og det burde legges særdeles mye tid i å forstå denne. Bernoullis likning krever forståelse av strømlinjer.

Det er flere måter å utlede bernoullis likning på. Utledelsen ifra Reynolds transport teorem er gitt i [1].

Ser man på et infinitesimalt strømningselement med lengde $\mathrm{d}l$, hastighet $V$ og tverrsnitt $A$, er nettotrykkkraft $-dpA$ på elementet, som av Newtons 2. lov må være lik $ma = \rho A \mathrm{d}l \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}t}$. Dette gir

$$ -dpA = \rho A \mathrm{d}l \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}t},$$ $$ -\frac{dp}{\rho} = \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}V = V \mathrm{d}V.$$

Integreres denne langs strømlinjen, med $\rho$ konstant:

$$ \frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}V^2 = \mathrm{konstant}. $$

Hvis tyngdekrefter inkluderes, får en

$$ \frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}V^2 + gz = \mathrm{konstant}.$$

Dette er Bernoullis likning. Bernoulli brukes som oftest mellom to kjente punkter på en strømlinje:

$$ \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}V_1^2 + gz_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}V_2^2 + gz_2 = \mathrm{konstant}.$$

Likningen er utledet under en del restriksjoner og kan bare brukes på strømninger som er

  • Stasjonære
  • Inkompressible
  • Uten friksjon (neglisjerbar viskositet)
  • Langs en strømlinje

Bernoulli kan tolkes som en idealisert likning for energibevarelse. Leddet $\frac{p_1}{\rho}$ er arbeid gjort av trykket, $\frac{1}{2}V^2$ kinetisk energi, og $gz$ potensiell energi.

Navier-Stokes likninger

Eulers likning tok for seg bevegelseslikningen for fluider gitt at en kunne neglisjere viskositeten og dermed $f_v$. Det kan vises at en kan utrykke visoksitetskraften som $$ f_v = \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{dy}}.$$

Utrykket for $\tau$ i Viskositet kan brukes her, og en får

$$ f_v = \mu \frac{d^2 u}{\mathrm{dy^2}}.$$

Vi kan utvide dette til tre dimensjoner:

$$ f_v = \mu \nabla^2 \textbf{V}. $$

Deretter får vi, på differensialform

$$\rho\left(\frac{\partial \textbf{V}}{\partial \mathrm{t}} + (\textbf{V}\cdot\nabla)\textbf{V}\right) = -\nabla p + \rho \textbf{g} + \mu \nabla^2 \textbf{V}.$$

Dette kan skrives per dimensjon med tre forskjellige differensiallikninger:

$$ \rho \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{dt}} = \rho g_x - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right),$$

$$ \rho \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{dt}} = \rho g_y - \frac{\partial p}{\partial y} + \mu\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right),$$

$$ \rho \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{dt}} = \rho g_z - \frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right).$$

Dette er Navier-Stokes' likninger, og er de generelle likningene for inkompressibel strømning. Likningene er ganske omfattende og burde brukes sammen med kontinuitetsliknigen og heftsbetingelsen.

Likningene antar også en newtonsk fluid.

Reynolds transport teorem

Som tidligere nevnt kan Eulers, Bernoullis, og Navier-Stokes likninger utledes av Reynolds Transport Teorem. For et arbitrært kontrollvolum $CV$ med overflate $CS$, som inneholder en fluid med en tilfeldig egenskap $B$, gir teoremet følgende sammenheng:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}B_{syst} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\int_{CV} \beta \rho \delta V\right) + \int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{out} - \int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{in}, $$

hvor $\beta = \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}m}$.

Denne ganske heftige likningen sier at endringen til egenskapen $B$ i kontrollvolumet, er gitt ved den interne forandringen $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\int_{CV} \beta \rho \delta V\right),$$ pluss ut-fluks, $$\int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{out},$$ minus inn-fluks, $$\int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{in}.$$

Fluksforandringen kan skrives som $$\int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A,$$

og en kompakt form av teoremet blir dermed

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}B_{syst} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\int_{CV} \beta \rho \delta V\right) + \int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A. $$

Hvis in-fluks og ut-fluks kan beskrives ved en-dimensjonelle inn- og utstrømninger, vil fluksintegralet(integralene) reduseres til to summer. Mer om dette i konservasjon.

Konservasjon og Kontrollvolum-analyse

På dette tidspunkt burde alle fluidmekanikkens elementære likninger være kjent. Men det blir fort vanskelig om ikke umulig å løse likningene (som er første eller andre ordens diff. likninger) hvis en ikke kan gjøre èn eller flere antagelser.

En antagelse som ofte brukes er bevaring, eller konservasjon av en eller flere egenskaper til en strømning.

Masse

For konservering av masse, får man av reynolds transport teorem:

$B = m$ og $\beta = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}m} = 1$, som gir

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = 0 = \int_{CV} \frac{\partial \rho}{\partial t}\delta V + \int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A$$

Som nevnt tidligere, hvis in-fluks og ut-fluks kan beskrives ved en-dimensjonelle inn- og utstrømninger, vil fluksintegralet reduseres til to summer, og en får

$$ \int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A + \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{out} - \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{in}. $$

Det første integralet i disse likningene kan strykes hvis en antar stasjonær strømning, som gjør at en står igjen med

$$ \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{in} = \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{out}. $$

Dette er et veldig kraftig resultat som brukes mye i fluidanalyse.

Eksempel

En væske med konstant tetthet renner igjennom et rør. Ved punkt $1$ har fluidet gjennomsnittelig hastighet $5 \mathrm{m/s}$ og røret diameter $d_1$. Ved punkt $2$, utløpet til røret, har røret diameter $d_2$. Finn et utrykk for hastigheten til fluidet ved punkt $2$. Regn ut tallverdien hvis $d_1 = 2 \> \mathrm{m}$ og $d_2 = 1 \> \mathrm{m}$. Anta stasjonær strømning.

Løsning:

Ifra bevaring av masse har vi at

$$\rho_1 V_1 A_1 = \rho_2 V_2 A_2. $$

Siden tettheten er konstant, reduseres dette til

$$V_1 A_1 = V_2 A_2 \implies V_2 = V_1 \frac{A_1}{A_2},$$ $$V_2 = 5\frac{d_1^2}{d_2^2} \mathrm{m/s}.$$

Tallverdi:

$$V_2 = 5\frac{2^2}{1} = 20 \mathrm{m/s}.$$

Kontinuitetsrelasjonen

En differensialversjon som kalles for kontinuitetsrelasjonen, er gitt ved

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t}(\rho u) + \frac{\partial}{\partial t}(\rho v) + \frac{\partial}{\partial t}(\rho w) = 0,$$

Som kan skrives på kompakt form (som du sikkert allerede ser)

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla (\rho \cdot \textbf{V}) = 0.$$

Hvis en kan anta inkompressebilitet er $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ og kontinuasjonsrelasjonen blir

$$\frac{\partial}{\partial t}u + \frac{\partial}{\partial t}v + \frac{\partial}{\partial t}w = \nabla \cdot \textbf{V} = 0.$$

Kontinuitetsrelasjonen kan være veldig nyttig å bruke sammen med f.eks. Navier-Stokes.

Impuls

Ser en på impulsen til et fluid, får en av reynolds transport-teorem, med $B = m\textbf{V}$ og $\beta = \textbf{V}$(dette burde ikke gi noen store overraskelser):

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m\textbf{V})_{syst} = \int_{CV} \textbf{V}\rho \delta V + \int_{CS} \textbf{V}\rho \left(\textbf{V} \cdot \textbf{n}\right)\mathrm{d}A = \sum \textbf{F}.$$

Med en-dimensjonal inn-fluks og ut-fluks, kan vi som før skrive dette om:

$$ \sum \textbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m\textbf{V})_{syst} = \int_{CV} \textbf{V}\rho \delta V + \sum_i (\dot{m}_i\textbf{V}_i)_{out} - \sum_i (\dot{m}_i\textbf{V}_i)_{in}. $$

Dette er som bevaring av masse et veldig kraftig verktøy.

Energi

Bevaring av energi er litt merkt komplekst enn impuls og masse, og her vil bare resultatene ifra [1] bli gjengitt.

Vi setter $B = E$ og $\beta = e$, hvor $e$ er energi per masseenhet. $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{dt}}$ består av to deler: endring i temperatur, og arbeid. Dette kan skrives $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}$, og en får

$$ \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int_{CV} e\rho \delta V\right) + \int_{CS} e\rho \left(\textbf{V}\cdot \textbf{n}\right)\,\mathrm{d}A.$$

$Q$ og $W$ kan bestå av flere typer varme og arbeid. $Q$ las stå, men det er hensiktsmessig å bryte $W$ ned i $W_s$ og $W_v$, hvor $W_s$ er nettoarbeidet gjort av pumper/turbiner og $W_v$ er arbeidet gjort av viskositet.

For stasjonær strømning med èn inn-strømning og èn ut-strømning, kan det vises at

$$ \dot{Q} - \dot{W}_s - \dot{W}_v = -\dot{m}_1\left(\hat{h}_1 + \frac{1}{2}V_1^2 + gz_1\right) + \dot{m}_2\left(\hat{h}_2 + \frac{1}{2}V_2^2 + gz_2\right).$$

$\hat{h}$ er her entalpi. Ifra kontinuitet har vi $\dot{m} = \dot{m}_1 = \dot{m}_2$ som gir

$$ \hat{h}_1 + \frac{1}{2}V_1^2 + gz_1 = \hat{h}_2 + \frac{1}{2}V_2^2 + gz_2 + q + w_s + w_v.$$

Dette kan ved antagelsen om at arbeidet til viskositeten er $0$, skrives om til

$$\left(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1\right) = \left(\frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2\right) + h_{friksjon} - h_{pumpe} + h_{turbin}.$$

Denne likningen ligner veldig på Bernoullis likning, som tidligere nevnt er en idealisert likning for energibevarelse. De tre $h_i$ leddene i denne likningen kan sees på som mekanisk arbeid gjort på/av strømmen.

Dimensjonell analyse

Strømfunksjonen og hastighetspotensialet

Strømfunksjonen

Strømfunksjonen er en funksjon som kan hjelpe med å løse Eulers eller Navier-Stokes likninger. Den er (i xy-planet) definert ved

$$ u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$

Altså er

$$ \textbf{V} = \textbf{i}\frac{\partial \psi}{\partial y} - \textbf{j}\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$

En interessant attributt til strømfunksjonen er at den definerer strømlinjene til en strømning, siden $\psi$ er konstant langs en strømlinje.

Vortisiteten til en strøm, definert som $2\omega$ hvor $\omega$ er rotasjonshastigheten til strømningen, er gitt ved $$\mathrm{curl}\>\textbf{V} = -\textbf{k}\nabla^2\psi$$

Volumstrømmen mellom to strømlinjer er gitt ved:

$$Q_{12} = \int_1^2 \left(\textbf{V} \cdot \textbf{n}\right)\mathrm{d}A = \psi_2 - \psi_1$$

Hastighetspotensialet

Hvis $\nabla \times V \equiv 0$ så er $\textbf{V} = \nabla \phi$. Altså

$$ u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \qquad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \qquad w = \frac{\partial \phi}{\partial z}$$

Merk at potensialet $\phi$ er vinkelrett på strømfunksjonen $\psi$.

Laplaces likning

Hvis vi har et inkompressibelt fluid som er rotasjonsfritt

$$ \nabla \cdot \textbf{V} = 0, \qquad \nabla \times \textbf{V} = 0$$

så tilfredstiller $\phi$ og $\psi$ Laplaces likning:

$$ \nabla^2\phi = 0, \qquad \nabla^2\psi = 0.$$

Singulariteter

En kan få singulariteter i en strøm ved kilder og sluk. Radiell hastighet rundt en singularitet, kan skrives $$V_r = \frac{m}{r}.$$

Når $\lim_{r \to 0}$ får vi en singularitet. $m > 0$ betyr kilde, $m < 0$ betyr sluk. Rundt en singularitet er

$$\psi = m \cdot \theta, \qquad \phi = m \cdot \ln r.$$

Dipol (dublett)

Rundt en dipol med styrke $+m$ i $(-a,0$ og styrke $-m$ i $(a,0)$ har vi

$$ \phi = \frac{\lambda}{r} \cos\theta, \qquad \psi = -\frac{\lambda}{r}\sin\theta. $$

hvor $\lambda \equiv 2am$.

Utledning av alle likningene ovenfor finnes i 2.

Det komplekse potensial

Bølgeteori

Referanser

Kompendiet er i stor grad basert på utledningene funnet i

[1]: Frank M. White, Fluid Mechanics

Eksterne lenker

Kompendium i vektormatematikk

Formelliste

Written by

trmd cristea iverjb
Last updated: Fri, 25 May 2018 13:53:42 +0200 .
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!