Hva er et fluid?

Fluid er en fellesbetegnelse på væsker og gass; stoff som deformeres under skjærsspenning. Mer presist, ifra [1]:

"A solid can resist shear stress by a static deflection, a fluid cannot. Any shear stress applied to a fluid, no matter how small, will result in motion of that fluid."

Fluider består som alt stoff av molekyler. I fluider er ikke molekylene absolutt bundet til hverandre, men kan bevege seg fritt. Tettheten $\rho$ av molekyler i et fluid(masse per volumenhet), er dermed ikke konstant, men forandres kontinuerlig. Så lenge enhetsvolumet valgt er større enn en viss grense, vil antallet molekyler i dette volumet være såpass stort at alle atomære fluktueringer er neglisjerbare. For alle væsker og gasser ved $1 \mathrm{atm}$ er denne grensen på $10^{-9} \mathrm{mm}^3$[1]. I et slikt fluid blir massetetthet til en punktfunksjon, og fluidet kalles for et kontinuum. Kalkulus kan brukes til å analysere slike fluider.

Fysikk

Fluidmekanikk bygger på faget Mekanisk Fysikk(evt. andre tilsvarende fag). Hvis du ikke har stålkontroll på dette faget, repeter.

Matematikk

Fluidmekanikk bygger i stor grad på forståelse av fagene Matematikk 1, Matematikk 2 og til dels Matematikk 4K. Sitter pensum i disse fagene godt kan du hoppe til Viskositet.

Disse begrepene burde du ha kjennskap til:

• Integrasjon og derivasjon
• Vektorer
• Vektorfunksjoner
• Derivasjon og integrasjon av vektorer
• Vektorfelt
• Flateintegraler og lukkede integraler
• Komplekse tall
• Residyeteoremet og residualintegrasjon

Nedenfor vil det bli gitt en kort utledning/definisjon av alle disse begrepene, med unntak av det første.

Viskositet

En fluids viskositet er dens evne til å mostå skjærsspenning, og dermed dens evne til å motstå flyt. Jo høyere viskositet, jo vanskeligere er det å deformere – og dermed bevege noe igjennom – fluidet.

Luft, som vi på et daglig basis beveger oss i, har lav viskositet, og luftmotstanden blir ikke betydelig før ved "store" hastigheter (for å få luft til å utgjøre like stor motstand som gravitasjonen $\textbf{F} = m\textbf{g}$ kreves en hastighet på rundt $60 \mathrm{m/s}$, dette er også kjent som et fritt fall, eller terminal velocity på engelsk). Vann har rundt 50 ganger større viskositet enn luft, og er merkbart mye vanskeligere å bevege seg i. I den andre enden av skalaen har glyserin rundt $1 500$ ganger større viskositet enn vann.

Overflatespenning

(Ikke eksamensrelevant)

Enhver væske, som i motsetning til gass ikke kan ekspandere fritt, vil danne en overgang til en sekundær væske eller gass(i vakum blir ting fort morsomt). Siden halvparten av molekylene i overflaten mangler, vil overflaten være under spenning. Denne spenningen vil ved et snitt $\mathrm{d}A$ av fluiden være $\Upsilon$ både oppover og nedover (gitt at fluiden ved snittet er i balanse). $\Upsilon$ er overflatespenningskoeffesienten til fluiden, og blir ofte i fysikken denotert $\sigma$ eller $\gamma$.

Hvis overgangen er kurvet, vil det være en trykkforskjell $\Delta p$ over overgangen, gitt på den konkave siden ved:

$$\Delta p = \Upsilon \left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_y}\right),$$

hvor $R_x$ og $R_y$ er kurvaturens radier. (For et sirkulært tverrsnitt vil f.eks. $R_x = R$ og $R_y = \infty$.

Egenskaper og termodynamikk

De elementære bevegelseslikningene til et fluid

Bevegelsen til en strømning er gitt av (surprise!) Newtons 2. Lov,

$$\textbf{F} = m\textbf{a}.$$

Vi er interessert i bevegelsen til ett enkelt fluidelement, og ser dermed på krafttettheten $\textbf{f}$ som er gitt ved

$$\textbf{f} = \rho \textbf{a},$$

siden massen går mot massetettheten for et infinitesimalt fluidelement. Nå vil det være hensiktsmessig å enumerere alle kreftene som virker på krafttettheten. Vi tar hensyn til bidragene ifra

1. Trykkkraft
2. Tyngdekraft
3. Viskøskraft

Vi får dermed $$\rho \textbf{a} = \textbf{f}_p + \textbf{f}_g + \textbf{f}_v.$$

Videre diskusjon finnes i Hydrodynamikk.

Dimensjonsteori

En dimensjon er en måleenhet vi utrykker en variabel i. En enhet er en spesifikk måte å dimensjonere en variabel på, eksempelvis via meter eller millimeter.

Dimensjonen til en variabel, beskrives ved klammeparenteser, for eksempel $\{g\} = \{LT^{-2}\}$, hvor L representer dimensjonen lengde, og T dimensjonen tid. Disse to og dimensjonene masse($\{M\}$) og temperatur($\{\Theta\}$) er dimensjonene vi hovedsakelig skal bruke.

Andre viktige utrykk

Trykkfordeling

Et fluidelement med tykkelse $\mathrm{d}z$ og overflateareal $A$ blir utsatt for en trykkkraft $f_t = A(p - (p + dp))$ og en gravitasjonskraft $f_g = \rho gA\mathrm\,{d}z$. Siden elementet er i ro (hydrostatikk), er $\sum F = 0$ og $$-\mathrm{d}p = \rho g\,\mathrm{d}z \Longleftrightarrow \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g = -\gamma$$

Altså, mellom to punkter i fluiden

$$p_2 - p_1 = -\int_1^2 \gamma \mathrm{d}z.$$

Flere lag med fluider

Trykkforskjell i distinkte lag med fluider kan regnes ut å regne trykkforskjellen i hvert lag, og deretter summere alle sammen. For eksempel for $3$ fluider, $1$, $2$ og $3$ med forskjellig tetthet oppå hverandre

$$p_3 - p_1 = -\gamma_1(z_1 - z_0) -\gamma_2(z_2 - z_1) -\gamma_3(z_3 - z_1),$$

alternativt,

$$p_3 - p_1 = \gamma_1\left|z_0 - z_1\right| + \gamma_2\left|z_1 - z_2\right| + \gamma_3\left|z_2 - z_3\right|.$$

Hydrostatiske krefter

Et legeme i et fluid vil erfare en nettokraft nedover av trykket til fluiden over legemet. For et legeme som ligger ortogonalt på $z$-retning vil kraften på legemet være gitt ved

$$\textbf{F} = pA.$$

Trykket kan bestemmes av den hydrostatiske trykklikningen. Setter vi overflaten av fluidet til $z = 0$, får vi

$$\textbf{F} = \gamma zA.$$

Dette gitt et koordinatsystem hvor positiv $z$ nedover. (noe som er forventet siden koordinatsystemet vårt har $z$ oppover). Merk at denne kraften ikke er summen av kreftene(er legemet fullt innlemmet i fluiden vil en større kraft oppover finne sted, samt gravitasjonskraften). Formelen ovenfor antar et uniformt atmosfærisk trykk som kan strykes, kan det ikke det, har vi

$$\textbf{F} = (p_a + \gamma z)A.$$

Merk at dette er det samme som volumet av væsken over legemet, pluss det atmosfæriske trykket.

For et plant legeme med arbitrær form og rotasjon kan det vises at kraften på legemet er

$$\textbf{F} = (p_a + \gamma z_{cg})A = p_{cg}A,$$

hvor $p_{cg}$ er trykket ved legemets gravitasjonssenter, og $z_{cg}$ er høyden der. Kraften utøves igjennom et punkt "under" (nærmere høytrykksområdet til legemet) gravitasjonssenteret, kalt trykksenteret $CP$. $CP$ kan finnes ved

$$y_{cp} = -\gamma \sin\theta\frac{I_{xx}}{p_{cg}A} \qquad x_{cp} = -\gamma \sin\theta\frac{I_{xy}}{p_{cg}A}$$

Her er $I_{xx}$ treghetsmoment til legememet igjennom senteroiden vinkelrett på overflaten til legemet, og $I_{xy}$ treghetsmomentet parallellt med overflaten. Har vi kurvede legemer, vil det være hensiktsmessig å dekomponere kraften i en horisontal og vertikal del, og bruke de horisontale og vertikale projeksjonene av legemet til å regne ut disse.

En utledning av alle formelene ovenfor finnes i [1].

Oppdrift og stabilitet

Stive-legemer

Stivt-legeme bevegelse intreffer når alle partikler i et fluid er i harmonisk translasjon eller rotasjon. For eksempel under uniform rotasjon eller akselerasjon. Ifra bevegelsesliknigen for et fluid, vil viskositets-delen falle vekk (ingen relativ bevegelse mellom punktene), og vi får

$$\rho \textbf{a} = \textbf{f}_t + \textbf{f}_g$$ $$\Longleftrightarrow \rho \textbf{a} = -\nabla p + \rho \textbf{g}$$ $$\Longleftrightarrow \nabla p = \rho (\textbf{g} - \textbf{a}).$$

Trykkgradienten følger altså retningen $\textbf{g} - \textbf{a}$, som igjen betyr at linjer med konstant trykk er vinkelrett på $\textbf{g} - \textbf{a}$(hvis $\textbf{a} = 0$ blir linjene med konstant trykk vinkelrette på $\textbf{g}$, som forventet). Overflaten på et slikt fluid må dermed også følge en slik linje(konstant trykk).

Eulers likning

Tar man igjen utgangspunktet i den infinitesimale form av Newtons 2. lov

$$\rho \textbf{a} = \textbf{f}_t + \textbf{f}_g + \textbf{f}_v,$$

og antar som tidligere at viskositeten er neglisjerbar, får man

$$\rho \textbf{a} = \nabla p - \rho \textbf{g}.$$

Med konstant akselerasjon ender man opp med samme likninger som i Stive-legemer. Dette ville vært heller kjedelig. Utrykker en akselerasjon som $\textbf{a} = \frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t}$ får man Eulers likning:

$$\rho\frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t} = \rho \textbf{g} - \nabla p.$$

$\frac{\mathrm{d}\textbf{V}}{\mathrm{d}t}$ kan skrives om som i Hastighet og Akselerasjon:

$$\rho\left(\frac{\partial \textbf{V}}{\mathrm{dt}} + \left(V \cdot \nabla\right)V\right) = \rho \textbf{g} - \nabla p.$$

Det er igjen verdt å nevne at Eulers likning forutsetter neglisjerbar viskositet.

Bernoullis likning

Bernoullis likning er en av de mest nyttige verktøy innenfor fluidanalyse, og det burde legges særdeles mye tid i å forstå denne. Bernoullis likning krever forståelse av strømlinjer.

Det er flere måter å utlede bernoullis likning på. Utledelsen ifra Reynolds transport teorem er gitt i [1].

Ser man på et infinitesimalt strømningselement med lengde $\mathrm{d}l$, hastighet $V$ og tverrsnitt $A$, er nettotrykkkraft $-dpA$ på elementet, som av Newtons 2. lov må være lik $ma = \rho A \mathrm{d}l \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}t}$. Dette gir

$$-dpA = \rho A \mathrm{d}l \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}t},$$ $$-\frac{dp}{\rho} = \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}V = V \mathrm{d}V.$$

Integreres denne langs strømlinjen, med $\rho$ konstant:

$$\frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}V^2 = \mathrm{konstant}.$$

Hvis tyngdekrefter inkluderes, får en

$$\frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}V^2 + gz = \mathrm{konstant}.$$

Dette er Bernoullis likning. Bernoulli brukes som oftest mellom to kjente punkter på en strømlinje:

$$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}V_1^2 + gz_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}V_2^2 + gz_2 = \mathrm{konstant}.$$

Likningen er utledet under en del restriksjoner og kan bare brukes på strømninger som er

• Stasjonære
• Inkompressible
• Uten friksjon (neglisjerbar viskositet)
• Langs en strømlinje

Bernoulli kan tolkes som en idealisert likning for energibevarelse. Leddet $\frac{p_1}{\rho}$ er arbeid gjort av trykket, $\frac{1}{2}V^2$ kinetisk energi, og $gz$ potensiell energi.

Navier-Stokes likninger

Eulers likning tok for seg bevegelseslikningen for fluider gitt at en kunne neglisjere viskositeten og dermed $f_v$. Det kan vises at en kan utrykke visoksitetskraften som $$f_v = \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{dy}}.$$

Utrykket for $\tau$ i Viskositet kan brukes her, og en får

$$f_v = \mu \frac{d^2 u}{\mathrm{dy^2}}.$$

Vi kan utvide dette til tre dimensjoner:

$$f_v = \mu \nabla^2 \textbf{V}.$$

Deretter får vi, på differensialform

$$\rho\left(\frac{\partial \textbf{V}}{\partial \mathrm{t}} + (\textbf{V}\cdot\nabla)\textbf{V}\right) = -\nabla p + \rho \textbf{g} + \mu \nabla^2 \textbf{V}.$$

Dette kan skrives per dimensjon med tre forskjellige differensiallikninger:

$$\rho \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{dt}} = \rho g_x - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right),$$

$$\rho \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{dt}} = \rho g_y - \frac{\partial p}{\partial y} + \mu\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right),$$

$$\rho \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{dt}} = \rho g_z - \frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right).$$

Dette er Navier-Stokes' likninger, og er de generelle likningene for inkompressibel strømning. Likningene er ganske omfattende og burde brukes sammen med kontinuitetsliknigen og heftsbetingelsen.

Likningene antar også en newtonsk fluid.

Reynolds transport teorem

Som tidligere nevnt kan Eulers, Bernoullis, og Navier-Stokes likninger utledes av Reynolds Transport Teorem. For et arbitrært kontrollvolum $CV$ med overflate $CS$, som inneholder en fluid med en tilfeldig egenskap $B$, gir teoremet følgende sammenheng:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}B_{syst} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\int_{CV} \beta \rho \delta V\right) + \int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{out} - \int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{in},$$

hvor $\beta = \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}m}$.

Denne ganske heftige likningen sier at endringen til egenskapen $B$ i kontrollvolumet, er gitt ved den interne forandringen $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\int_{CV} \beta \rho \delta V\right),$$ pluss ut-fluks, $$\int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{out},$$ minus inn-fluks, $$\int_{CS} \beta \rho V \cos \theta \mathrm{d}A_{in}.$$

Fluksforandringen kan skrives som $$\int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A,$$

og en kompakt form av teoremet blir dermed

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}B_{syst} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\int_{CV} \beta \rho \delta V\right) + \int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A.$$

Hvis in-fluks og ut-fluks kan beskrives ved en-dimensjonelle inn- og utstrømninger, vil fluksintegralet(integralene) reduseres til to summer. Mer om dette i konservasjon.

Masse

For konservering av masse, får man av reynolds transport teorem:

$B = m$ og $\beta = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}m} = 1$, som gir

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = 0 = \int_{CV} \frac{\partial \rho}{\partial t}\delta V + \int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A$$

Som nevnt tidligere, hvis in-fluks og ut-fluks kan beskrives ved en-dimensjonelle inn- og utstrømninger, vil fluksintegralet reduseres til to summer, og en får

$$\int_{CS}\beta \rho (\textbf{V} \cdot \textbf{n})\mathrm{d}A + \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{out} - \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{in}.$$

Det første integralet i disse likningene kan strykes hvis en antar stasjonær strømning, som gjør at en står igjen med

$$\sum_i (\rho_i A_i V_i)_{in} = \sum_i (\rho_i A_i V_i)_{out}.$$

Dette er et veldig kraftig resultat som brukes mye i fluidanalyse.

Eksempel

En væske med konstant tetthet renner igjennom et rør. Ved punkt $1$ har fluidet gjennomsnittelig hastighet $5 \mathrm{m/s}$ og røret diameter $d_1$. Ved punkt $2$, utløpet til røret, har røret diameter $d_2$. Finn et utrykk for hastigheten til fluidet ved punkt $2$. Regn ut tallverdien hvis $d_1 = 2 \> \mathrm{m}$ og $d_2 = 1 \> \mathrm{m}$. Anta stasjonær strømning.

Løsning:

Ifra bevaring av masse har vi at

$$\rho_1 V_1 A_1 = \rho_2 V_2 A_2.$$

Siden tettheten er konstant, reduseres dette til

$$V_1 A_1 = V_2 A_2 \implies V_2 = V_1 \frac{A_1}{A_2},$$ $$V_2 = 5\frac{d_1^2}{d_2^2} \mathrm{m/s}.$$

Tallverdi:

$$V_2 = 5\frac{2^2}{1} = 20 \mathrm{m/s}.$$

Impuls

Ser en på impulsen til et fluid, får en av reynolds transport-teorem, med $B = m\textbf{V}$ og $\beta = \textbf{V}$(dette burde ikke gi noen store overraskelser):

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m\textbf{V})_{syst} = \int_{CV} \textbf{V}\rho \delta V + \int_{CS} \textbf{V}\rho \left(\textbf{V} \cdot \textbf{n}\right)\mathrm{d}A = \sum \textbf{F}.$$

Med en-dimensjonal inn-fluks og ut-fluks, kan vi som før skrive dette om:

$$\sum \textbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m\textbf{V})_{syst} = \int_{CV} \textbf{V}\rho \delta V + \sum_i (\dot{m}_i\textbf{V}_i)_{out} - \sum_i (\dot{m}_i\textbf{V}_i)_{in}.$$

Dette er som bevaring av masse et veldig kraftig verktøy.

Energi

Bevaring av energi er litt merkt komplekst enn impuls og masse, og her vil bare resultatene ifra [1] bli gjengitt.

Vi setter $B = E$ og $\beta = e$, hvor $e$ er energi per masseenhet. $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{dt}}$ består av to deler: endring i temperatur, og arbeid. Dette kan skrives $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}$, og en får

$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int_{CV} e\rho \delta V\right) + \int_{CS} e\rho \left(\textbf{V}\cdot \textbf{n}\right)\,\mathrm{d}A.$$

$Q$ og $W$ kan bestå av flere typer varme og arbeid. $Q$ las stå, men det er hensiktsmessig å bryte $W$ ned i $W_s$ og $W_v$, hvor $W_s$ er nettoarbeidet gjort av pumper/turbiner og $W_v$ er arbeidet gjort av viskositet.

For stasjonær strømning med èn inn-strømning og èn ut-strømning, kan det vises at

$$\dot{Q} - \dot{W}_s - \dot{W}_v = -\dot{m}_1\left(\hat{h}_1 + \frac{1}{2}V_1^2 + gz_1\right) + \dot{m}_2\left(\hat{h}_2 + \frac{1}{2}V_2^2 + gz_2\right).$$

$\hat{h}$ er her entalpi. Ifra kontinuitet har vi $\dot{m} = \dot{m}_1 = \dot{m}_2$ som gir

$$\hat{h}_1 + \frac{1}{2}V_1^2 + gz_1 = \hat{h}_2 + \frac{1}{2}V_2^2 + gz_2 + q + w_s + w_v.$$

Dette kan ved antagelsen om at arbeidet til viskositeten er $0$, skrives om til

$$\left(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1\right) = \left(\frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2\right) + h_{friksjon} - h_{pumpe} + h_{turbin}.$$

Denne likningen ligner veldig på Bernoullis likning, som tidligere nevnt er en idealisert likning for energibevarelse. De tre $h_i$ leddene i denne likningen kan sees på som mekanisk arbeid gjort på/av strømmen.

Strømfunksjonen

Strømfunksjonen er en funksjon som kan hjelpe med å løse Eulers eller Navier-Stokes likninger. Den er (i xy-planet) definert ved

$$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$

Altså er

$$\textbf{V} = \textbf{i}\frac{\partial \psi}{\partial y} - \textbf{j}\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$

En interessant attributt til strømfunksjonen er at den definerer strømlinjene til en strømning, siden $\psi$ er konstant langs en strømlinje.

Vortisiteten til en strøm, definert som $2\omega$ hvor $\omega$ er rotasjonshastigheten til strømningen, er gitt ved $$\mathrm{curl}\>\textbf{V} = -\textbf{k}\nabla^2\psi$$

Volumstrømmen mellom to strømlinjer er gitt ved:

$$Q_{12} = \int_1^2 \left(\textbf{V} \cdot \textbf{n}\right)\mathrm{d}A = \psi_2 - \psi_1$$

Hastighetspotensialet

Hvis $\nabla \times V \equiv 0$ så er $\textbf{V} = \nabla \phi$. Altså

$$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \qquad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \qquad w = \frac{\partial \phi}{\partial z}$$

Merk at potensialet $\phi$ er vinkelrett på strømfunksjonen $\psi$.

Laplaces likning

Hvis vi har et inkompressibelt fluid som er rotasjonsfritt

$$\nabla \cdot \textbf{V} = 0, \qquad \nabla \times \textbf{V} = 0$$

så tilfredstiller $\phi$ og $\psi$ Laplaces likning:

$$\nabla^2\phi = 0, \qquad \nabla^2\psi = 0.$$

Singulariteter

En kan få singulariteter i en strøm ved kilder og sluk. Radiell hastighet rundt en singularitet, kan skrives $$V_r = \frac{m}{r}.$$

Når $\lim_{r \to 0}$ får vi en singularitet. $m > 0$ betyr kilde, $m < 0$ betyr sluk. Rundt en singularitet er

$$\psi = m \cdot \theta, \qquad \phi = m \cdot \ln r.$$