$$ \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} $$ # Introduksjon: Ringer Faget, og dermed dette kompendiet, bygger på faget [MA2201/TMA4150](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/). Om du føler deg litt rusten på gruppeteori, anbefales det at du leser [den seksjonen](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#grupper) i MA2201-kompendiet. Merk at denne seksjonen går over mye av det samme som seksjonen [Ringer](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#ringer) i MA2201-kompendiet, men i noe mindre detalj. Om du føler du trenger en mer grundig introduksjon til temaet anbefales det at du leser der først.

## Innledende definisjoner ### Bakgrunn > **Definisjon.** En **semigruppe** er en mengde $G$ med en tilhørende assosiativ binær operasjon $*$. > **Definisjon.** En **monoide** er en semigruppe med et identitetselement $e$. En semigruppe stiller svakere krav til mengden og den tilhørende binære operatoren enn en vanlig gruppe. En semigruppe trenger ikke å ha identitetselement eller inverser. ### Ring > **Definisjon.** En ring $<R, +, \cdot>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt addisjon og multiplikasjon, slik at: > $\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe > $\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe. > $\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle $a,b,c \in R$: > $$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$ Med mindre det skaper forvirring, kommer vi ofte til å refere til ringen bare ved navnet til mengden, for eksempel *ringen $R$*. ### Kommutative ringer En **kommutativ ring** er en ring hvor *multiplikasjon* er kommutativ. ### Divisjonsringer En **ring med enhet** er en ring hvor den multiplikative semigruppen $\left<R, \cdot\right>$ er en monoide; dvs. har et identitetselement $e$. Identitetselementet beskrives ofte som $1$. > ** Definisjon.** La $R$ være en ring. Ringen er en **divisjonsring** om $\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe. Vi må fjerne elementet $0$ fra mengden vår, gitt at $\forall a \in R$, $a0 = 0 \neq 1$. $0$ kan dermed ikke ha en invers i $R$ under multiplikasjon. > ** Definisjon.** En **kropp** er en kommutativ divisjonsring. Mange av divisjonsringene vi jobber med er kropper. Et eksempel på en divisjonsring som ikke er en kropp, er ringen av *2x2-dimensjonale matriser over $\mathbb{R}$*, siden matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ. ### Integritetsdomene > ** Definisjon.** $a,b \in R$ er **nulldivisorer** i ringen $R$ om $ab = 0$ men $a \neq 0,\> b \neq 0$. Om $ab = 0$ (men ikke nødvendigvis $ba$), er $a$ en **høyre nulldivisor**, og $b$ en **venstre nulldivisor**. > ** Definisjon.** Et **integritetsdomene** er en ring uten nulldivisorer. Et eksempel på et integritetsdomene er $\mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}_n, n \in \mathbb{Z^+}$ er ikke generelt et integritetsdomene. Ta f.eks. $Z_4$, her er $2\cdot2 \equiv 4 \equiv 0\>(\text{mod} 4)$. > ** Teorem:** En kropp er et integritetsdomene. *Bevis:* La $F$ være en kropp. La $x,y \in F$ hvor $x \neq 0$. Siden $F$ er en kropp, har $x$ en multiplikativ invers $x^{-1} \neq 0$. $xy = 0 \implies x^{-1}(xy) = 0 \implies 1\cdot y = 0 \implies y = 0$, siden $x, x^{-1} \neq 0$. Et integritetsdomene trenger ikke nødvendigvis være en kropp. ### Underring > **Definisjon.** La $\left<R, +, \cdot\right>$ være en ring, og la $\emptyset \subset S \subseteq R$ ($S$ er en ikketom delmengde av $R$). Da er $S$ en **underring** av $R$, om $\left<S, +, \cdot \right>$ er en ring. Analogt bruker vi ordene **underkropp** av en kropp, og en **underdivisjonsring** av en **divisjonsring**. Merk at det ikke er nødvendig å kreve eksplisitt at $S$ (definert som tidligere) er *lukket under $+$, og $\cdot$*, siden dette er implisert via $\mathscr{R}_1, \mathscr{R}_2, \mathscr{R}_3$ for $S$. > **Teorem.** En ikketom delmengde $S$ av en ring $R$ er en underring hvis og bare hvis for alle $a,b \in S$, så er $a-b \in S$, $ab \in S$. *Bevis*: Vi viser først at $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe, og at $\left<S, \cdot \right>$ er en semigruppe. $a-b \in S \implies a + (-b) \in S$. Dette gir oss med en gang flere ting: 1. $a + c$ er lukket under $+$ (la $-b = c$). 2. $\forall a$, $a^{-1} \in S$ La til slutt $b = a$, dermed er $a-a = e \in S$, og $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe. Vi bemerker oss til slutt at $ab$ åpenlyst er assosiativ, og lukket i $S$, siden $\cdot$ er assosiativ i $R$, og $ab \in S$. $\left<S, \cdot \right>$ er dermed en semigruppe. Videre holder de distributive lovene i $S$ siden de holder i $R$. Vi har nå vist at hvis $a-b \in S, ab \in S$, så er $S$ en underring. La oss så vise det motsatte, nemlig at hvis $S$ er en underring, så holder $a-b \in S, ab \in S$. Dette faller ut ifra definisjonen til en ring. ## Flere definisjoner > **Definisjon.** **Senteret** til en ring $R$, er gitt ved $Z(R) = \{a \in R | xa = ax,\> \forall x \in R\}$. > **Teorem.** Senteret til en ring $R$ er en underring av $R$. *Bevis*: Utelatt til leseren. Vis at $(a-b)x = x(a-b)$ og $(ab)x = x(ab)$. > ** Definisjon.** Om det finnes et positivt heltall $n$ slik at $nx = 0,\>\forall x \in R$ hvor $R$ er en ring, kalles den minste av disse **karakteristikken til R**, og skrives $\text{char}\>R$. Om det ikke finnes en slik $n$ sier vi at $R$ har *karakteristikk 0*. > **Teorem.** La $F$ være en kropp. Da er karakteristikken til $F$ enten $0$ eller et primtall. *Bevis (Uformelt)*: La $n \neq 0$ være karakteristikken til $F$, og anta et $n$ ikke er primsk. Da er $n = n_1\cdot n_2$. Men da er $ne = (n_1n_2)e = (n_1e)(n_2e) = 0$. Dette betyr at enten $n_1e$ eller $n_2e$ er $0$, siden $F$ er en kropp (og dermed et *integritetsdomene*). Dermed er karakteristikken mindre enn $n$, en kontradiksjon. Dermed må $n$ være primsk. > **Definisjon.** Et element $a$ in en ring $R$ kalles **nilpotent**, hvis det finnes et positivt heltall $n$ slik at $a^n = 0$. 0 er åpenlyst et nilpotent element. > **Definisjon.** Et element $a$ er **idempotent** i en ring $R$ hvis $a = a^2$ > **Definisjon.** La $A$ være en ring, og la $F$ være en kropp. Vi sier at $A$ er en **algebra** over $F$, hvis det finnes en mapping $(x, \alpha) \to x\alpha$ fra $F \times A \to A$, slik at følgende identiteter holder for $\alpha, \beta \in F$, $x \in A$: > $$ > \begin{align} > (i)&\> (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \\ > (ii)&\> \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \\ > (iii)&\> (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x) \\ > (iv) &\> \alpha(xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y) > (v) &\> 1x = x \\ > \end{align} > $$ ## Direkte produkt og direkte sum Vi definerer til slutt konseptene *direkte sum* og *direkte produkt* av ringer. > **Definisjon.** La $R_1$ og $R_2$ være ringer. La så $R$ være mengden $\{(a_1, a_2)| \forall a_1, a_2; a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 \}$. Vi definerer to binære operasjoner $+$ og $\cdot$ på $R$ ved: > $$ (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ > $$ (a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) $$ > $R$ kalles for det **direkte produktet** av $R_1$ og $R_2$, og skrives ofte $R_1 \times R_2$. (Om vi har et behov for å forveksle det direkte produktet med det *kartesiske produktet* av mengdene $R_1$ og $R_2$ kan det være fornuftig å unngå denne notasjonen). Via induksjon kan vi utvide definisjonen vår fra to ringer til en familie med $n$ ringer på den naturlige måten. > **Definisjon.** Den **direkte summen** av to ringer $R_1$ og $R_2$ er delmengden $S$ av $R = R_1 \times R_2$ bestående av alle $(a_i) \in R$ som maksimalt har et *endelig antall* elementer lik $0$. Den direkte summen skrives $R_1 \bigoplus R_2$. På samme måte som for direkte produkt kan vi utvide definisjonen vår til $n$ ringer. Merk at om familien av ringer $R_i$ er *endelig* er den direkte summen og det direkte produktet ekvivalent. ## Polynomringer > **Definisjon.** La $R$ være en ring. $R[x]$ betegner **ringen av polynomer over $R$** og består av alle utrykk > $$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ > Addisjon og multiplikasjon over $R[x]$ er definert på den naturlige måten: > $$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$ > $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$ > hvor $c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$ Vi sier at den største $i$ slik at $a_i \neq 0$ og $a_{i+k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}$ er **graden** til polynomet. Det er også naturlig å definere ringen av polynomer over $R$ som alle uendelige sekvenser av elementer fra $R$: $$ (a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n, 0, 0, 0)$$ med addisjon og multiplikasjon definert som over. Vi kaller $x$ i et polynom en **ubestemt**. Om vi lar $f(x)$ være et polynom, kaller vi $f(a),\> a \in R$ for **evalueringen av $f$ i $a$**. **Eksempel** *La $f(x) = x^2 + 4$ og $g(x) = x^3 + x + 2$ være polynomer over $\mathbb{Z}_5$. Regn ut $h(x) = f(x)\cdot g(x)$. Evaluer så $h$ i $a=2$* $$(x^2 + 4)(x^3 + x + 2) = (x^5 + 4x^3 + x^3 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 2x^2 + 4x + 3\>(\text{mod}\> 5)$$ $$ f(2) = 2^5 + 2^3 + 2^3 + 3 = 32 + 8 + 8 + 3 \equiv 2 + 3 + 3 + 3 = 11 \equiv 1\> (\text{mod}\> 5)$$ # Idealer ## Definisjon Et **ideal** til en ring $R$ er det samme som en *normal undergruppe* er til en gruppe. Vi definerer det her på 3 forskjellige, men ekvivalente måter. > ** Definisjon.** La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et **ideal** av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ > $$ a - b \in S \\ > ar \in S\> \text{og}\> ra \in S$$ Dette er definisjonen oppgitt [1]. Videre har vi også følgende ekvivalente definisjoner: > ** Definisjon.** En underring $S$ av $R$ er et **ideal** hvis den er invariant under konjugasjon i $R$, dvs: > $$ \forall r,s;\> s \in S,\> r \in R; srs^{-1} \in S $$ En annen måte å skrive denne definisjonen på er: >> ** Definisjon.** En underring $S$ av $R$ er et **ideal** hvis dens høyre og venstre restklasser sammenfaller: >> $$ \forall r \in R;\> Sr = rS $$ Vi definerer så *venstre* og *høyre* idealer på den naturlige måten: > ** Definisjon.** La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et **høyre ideal** av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ > $$ a - b \in S $$ > $$ ar \in S $$ Et **venstre ideal** defineres helt analogt. Vi kan gi en fjerde definisjon av idealer ved å si at et ideal er en underring som er *både* et høyre og venstre ideal. > ** Teorem.** La $D$ være en divisjonsring. Alle idealer (også høyre og venstre) av $D$ er det trivielle idealet $I = D$. *Bevis:* La $d \in I$, da er $d^{-1} \in I \implies 1 \in I$ (en hver underdivisjonsring har enhet), dermed har vi $r1 = r \in I$ for alle $r \in R$. Altså er $R = I$. > ** Teorem.** La $(A_i)$ være en familie med høyre (venstre) idealer i $R$, da er $\bigcap_{i} A_i$ også et ideal. *Bevis:* Utelatt til leseren. Tips, la $a,b \in \bigcap_{i} A_i$ og vis at elementene tilfredstiller kravene i definisjonen vår til et ideal. > **Definisjon.** Det minste høyre (venstre) idealet som inneholder en delmengde $S$ av en ring $R$ denoteres $(S)_r$(for et venstre ideal $(S)_l$), og kalles **høyre (venstre) idealet generert av S**. En annen notasjon for en enedelig mengde $S = \{a_1,\dots,a_n\}$ er $(a_1,\dots,a_m)_r$. > **Definisjon.** Et høyre ideal $I$ av en ring $R$ er kalt et **prinsipielt høyre ideal** hvis det finnes en $a \in R$ slik at $I = (a)_r$. Tilsvarende definerer vi et **prinsipielt venstre ideal** og et **prinsipielt ideal**. En ring som bare har prinsipielle idealer er kalt en **prinsipiell ideal ring**. ## Faktorringer Vi definerer *faktorringer* på to forskjellige måter. Den første mer formell enn den andre. > ** Definisjon.** La $I$ være et ideal til en ring $R$. De additive restklassene $R/I$ danner en ring, kalt **faktorringen** av $I$ i $R$, under operasjonene: > $$ (a+I) + (b+I) = (a+b)+I $$ > $$ (a+I)(b+I) = (ab)+I $$ > Det er enkelt å verifisere at $\left<R/I, +, \cdot\right>$ er en ring. Denne definisjonen kan være noe tung å tygge med mindre du har en god intuisjon for *restklasser*. Gitt viktigheten til idealer og faktorringer gir vi et par konkrete eksempler: **Eksempel.** La $R = \mathbb{Z}$ og la $I = 3\mathbb{Z} = \{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$. Husk at restklassene til $I$ i $R$ er alle $rI$ og $Ir$, som i dette tilfellet er like, definert ved: $rI = \{ri | \forall i \in I\}$. For vårt eksempel er det dermed klart at restklassene er mengdene $\{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$, $\{\dots, -2, 1, 4, 7, \dots\}$, og $\{\dots, -1, 2, 5, 8, \dots\}$. Disse kan også skrives som $0 + I$, $1 + I$ og $2 + I$. Det er videre klart at disse danner en ring under addisjon og multiplikasjon. Ta for eksempel $2 + I + 1 + I = 3 + I = I$ ($2 +I$ har invers $1 + I$), og $I + 2 + I = 2 + I$ (identitet er $I$). Vi bemerker oss til slutt at faktorringen $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}_3$. Vi kan uformelt forsvare dette ved å se at $1 + I$ er alle elementer som er lik $1\>\text{mod}\>3$, $2 + I$ alle elementer som er lik $2\>\text{mod}\>3$ osv. Dette motiverer oss til følgende definisjon av faktorringer: > ** Definisjon.** La $I$ være et ideal til en ring $R$. La $\equiv$ være en relasjon definert på $R$ slik at for $a,b \in R$ så er $a \equiv b\>(\text{mod}\>I)$ hvis og bare hvis $a-b \in I$. La **faktorringen** $R/I$ være mengden av alle ekvivalensklasser av $\equiv$. Ekvivalensklassen som inneholder et element $a$ skrives $\overline{a}$. Uformelt sier definisjonen at $a \equiv b\>(\text{mod}\>I)$ hvis og bare hvis $a$ og $b$ er i samme restklasse til $I$, og at $R/I$ er mengden av alle slike restklasser. Det er tydelig at denne definisjonen er helt analog med den første, men vi har nå litt mer kjøtt på beina til å danne en intuisjon av hva en faktorring faktisk er. Det er verdt å merke seg at kravet $a-b \in I$ gir oss at $a$ og $b$ er i samme restklasse fordi *en restklasse er en underring*, og er dermed lukket under addisjon. > ** Korollar.** La $R/I$ være en faktorring. Da er $I$ mengden av alle elementene som er i $\overline{0}$ i $R/I$. Dette følger umiddelbart av definisjonene våre. **Eksempel.** La $R$ være en ring med enhet og la $R[x]$ være ringen av polynomer over $R$. La oss se på $R[x]/(x^2 + 1)$. Vi begynner med å se på $(x^2 + 1)$. Dette er ringen av alle multipler av $f(x) = x^2 + 1$: $$\{\dots,\> 0,\> x^2 + 1,\> 2x^2 + 2,\> 3x^2 + 3, \dots\}$$. Å beskrive alle restklassene til $(x^2 + 1)$ i $R$ er nå målet vårt. La oss først bemerke oss at $x^2 + 1 = 0$ i faktorringen vår. Dette betyr at $\overline{x^2} = \overline{-1}$, altså er $x^2$ i samme restklasse som $1$. Dette er tydelig siden $$-1 + (x^2+1) = \{\dots,\>-1,\> x^2,\> 2x^2 + 1,\> 3x^2 + 2,\> \dots\}$$ Dette gir oss videre at enhver $\overline{x^n} = \overline{a}\overline{x} + \overline{b}$, siden vi kan redusere polynomer av grad $> 2$ ved å bruke $\overline{x}^2 = \overline{-1}$. For eksempel er $\overline{x^3} = \overline{x}\overline{x^2} = -x$. La oss så se på et generelt polynom $g(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1x + a_0$, og restklassen til dette polynomet $\overline{g(x)}$. Siden et hvert ledd av $x$ større eller lik $2$ kan reduseres til et polynom av grad $1$ i faktorringen, får vi: $$\overline{g(x)} = \overline{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1x + a_0} = \overline{\alpha}\overline{x} + \overline{\beta}$$. Faktorringen $R[x]/(x^2 + 1)$ er dermed $$ R[x]/(x^2 + 1) = \{\overline{\alpha}\overline{x} + \overline{\beta} \>|\> \alpha, \beta \in R\}\quad \text{hvor}\>x^2 = -1 $$ Overbevis deg selv over at denne faktorringen er kroppen til alle *komplekse tall*. #Homomorfier Vi går kjapt igjennom hva en homomorfi er, før vi slipper løs hele kavalriet. ## Definisjon > **Definisjon.** La $\phi$ være en avbildning mellom to ringer $R$ og $R'$. $\phi$ er en **homormorfi** hvis følgende holder for $a,b \in R$: > $$ > \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \\ > \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) > $$ ** To eksempler.** La $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ være gitt ved $\phi(x) = x \>(\text{mod}\>2)$. Da er $\phi$ åpenlyst en homomorfi. La $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ være gitt ved $\phi(x) = \frac{1}{x}$. $\phi$ ikke en homomorfi siden $\phi(a+b) = \frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \phi(a) + \phi(b)$. ## Isomorfi > **Definisjon.** En homomorfi som er *injektiv* og *surjektiv* kalles for en **isomorfi**, eller en **monomorfi**. Isomorfisme er en ekvivalensrelasjon. ## Faktorringer og homomorfier ### Den kanoniske homomorfien La $R$ være en ring og $I$ et ideal i $R$. La $R/I$ være faktorringen til *$R$ modulo $I$*. Den naturlige homomorfien $$ \eta : R \to R/I $$ sender et element $r in R$ til $\overline{r} \in R/I$. Det er tydelig at $\eta$ tilfredstiller kravene til en homomorfi. > **Definisjon.** $\eta$ som definert over kalles den **naturlige** eller **kanoniske homomorfien**. ### Kjerner > **Definisjon.** **Kjernen** til en homomorfi $\phi : R \to S$, $\ker \phi$, er mengden av alle elementer i $R$ hvis avbildning i $S$ er $0$: > $$\ker \phi = \{r | r \in R, \phi(r) = 0_S\}$$ > **Lemma.** **Kjernen** $\ker \phi$ til en homomorfi $\phi : R \to R'$ er en underring av $R$. *Bevis*: Det holder å vise at for $a, b \in \ker \phi$, så er $a-b \in \ker \phi, ab \in \ker \phi$. $$ \phi(a-b) = \phi(a) - \phi(b) = 0_S - 0_S = 0 \\ \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = 0_S $$ Altså er $a-b \in \ker \phi$ og $ab \in \ker \phi $. > **Korollar.** **Kjernen** $\ker \phi$ til en homomorfi $\phi : R \to S$ er et **ideal** av $R$. *Bevis*: Av forige lemma vet vi at $\ker \phi$ er en underring av $R$. La $a \in \ker \phi$ og $r \in R$: $$ \phi(rar^{-1}) = \phi(r)\phi(a)\phi(r^{-1}) = 0_S $$ ### Homomorfienes fundamentalteorem Før vi spesifiserer homomorfienes fundamentalteorem, tar vi oss et sekund til å reflektere litt rundt den kanoniske homomorfien $\eta$. $\eta$ sender oss fra en ring $R$ med ideal $I$ til en restklasse i $R/I$. La $\phi : R \to S$ være en homomorfi, hvor $S$ er en ring. La så $I = \ker \phi$, og la $\eta : R \to R/I$ som før. $I$ er mengden av alle elementer som avbildes til $0$ i $S$. $rI$ er naturlig nok alle restklasser $R/I$ generert av denne mengden. Hvor mange slike restklasser er det? Det er minst $1$. Dette skjer hvis $\ker \phi = R$. Om $\ker \phi = 0_R$, vet vi også at $R/I = R$, siden hvert element $r \in R$ blir sendt til $r \in R/I$. I så tilfelle er både $\eta$ og $\phi$ isomorfier. Men $\ker \phi$ kan også være en større mengde. Hva mer vet vi? Uformelt er det mulig å danne seg en intuisjon for at antall elementer i faktorringen $R/\ker \phi$ er den samme som antall elementer i $\Ima \phi \subset S$. La for eksempel $a$ og $b$ være to forskjellige elementer i $R$ slik at $(a+I)$ = $(b+I)$, det vil si de er i samme restklasse. Altså er $a - b = 0\>(\text{mod}\>I)$ og $\phi(a-b) = 0_S = \phi(a) - \phi(b)$. Altså er $\phi(a) = \phi(b)$, selv om $a \neq b$. Vi formaliserer dette i følgende teorem: > **Teorem (homomorfienes fundamentalteorem).** La $\phi$ være en homomorfi $\phi : R \to S$ med kjerne $N$. Da er > $$R/N \simeq \Ima \phi$$ *Bevis*: Utelatt til leseren. Definer en avbildning $\gamma$ fra $R/N$ til $S$ og vis at den er en homomorfi, er *på* og *en-til-en*. Det kan med fordel også vises at den er unik. Vi kan dedusere et par fornuftige ting utifra dette. Det første er at $R/N$ gir oss informasjon om i *hvor stor grad* $\phi$ er en isomorfi. Om $R/N = R$ vet vi at $\phi$ er en isomorfi. Tilsvarende vet vi at om $|S| > |R/N| = |\Ima \phi|$ så "mangler" $\Ima \phi$ noen elementer i $S$. Vi har også fått et verktøy om vi ønsker å finne en ring ismorf til en annen ring $S$. Om vi klarer å danne en homomorfi $\phi$ fra en ring $R$ til $S$, trenger vi bare å danne ringen $R/\ker \phi$. ## Avsluttende definisjoner og eksempler > **Definisjon.** En avbildning $\phi :R \to S$ er en **antihomomorfi** hvis > $$ \phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y),\>\phi(xy) = \phi(y)\phi(x) $$ > Avbildningen bevarer altså addisjon, men reverserer multiplikasjon. # Mer idealer ## Sum og direkte sum av idealer >**Definisjon.** La $A_1, A_2\dots A_n$ være høyre idealer i en ring $R$, og la $A$ være et høyre ideal som inneholder alle $A_i$. Da kalles $A_i$ **summen** av $A_1,A_2,\dots,A_n$. Vi skrives summen av $A_i$ som $A_1 + A_2 + \dots + A_N$, eller $\sum_{i}^n A_i$. Overbevis deg selv om at summen av $A_i$ kan skrives som $S = \{a_1 + a_2 + \dots + a_n | a_i \in A_i,\>i=1,\dots,n\}$. >**Definisjon.** La $A = \sum_{i=1}^n A_i$ være en sum av idealer. Om hver $a \in A$ kan skrives som en unik sum $a = \sum_{i=1}^{n} a_i,\>a_i \in A$ så kalles $A$ en **direkte sum** av idealer. Vi kan skrives dette ved > $$A = A_1 \oplus A_2 \oplus \dots \oplus A_n = \bigoplus_{i=1}^{n}A_i $$ # Moduler og vektorrom # Referanser [Basic Abstract Algebra, P.B.Bhattacharya, S.K.Jain, S.R. Nagpaul]