MA3201: Ringer og Moduler
Introduksjon: Ringer
Faget, og dermed dette kompendiet, bygger på faget MA2201/TMA4150. Om du føler deg litt rusten på gruppeteori, anbefales det at du leser den seksjonen i MA2201-kompendiet.
Merk at denne seksjonen går over mye av det samme som seksjonen Ringer i MA2201-kompendiet, men i noe mindre detalj. Om du føler du trenger en mer grundig introduksjon til temaet anbefales det at du leser der først.
Deler av kompendiet kan være noe tungt. Dette med tanke på at det gis mange fornuftige definisjoner uten spesielt god argumentsjon for hvorfor disse er fornuftige. Dette er i all hovedsak for å spare plass (det er tross alt et kompendie).
Innledende definisjoner
Bakgrunn
Definisjon. En semigruppe er en mengde
$G$ med en tilhørende assosiativ binær operasjon$*$ .Definisjon. En monoide er en semigruppe med et identitetselement
$e$ .
En semigruppe stiller svakere krav til mengden og den tilhørende binære operatoren enn en vanlig gruppe. En semigruppe trenger ikke å ha identitetselement eller inverser.
Ring
Definisjon. En ring
$<R, +, \cdot>$ er en mengde$R$ med to tilhørende binære operasjoner$+$ og$\cdot$ , kalt addisjon og multiplikasjon, slik at:
$\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe
$\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe.
$\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle$a,b,c \in R$ :$$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$
Med mindre det skaper forvirring, kommer vi ofte til å refere til ringen bare ved navnet til mengden, for eksempel ringen
Kommutative ringer
En kommutativ ring er en ring hvor multiplikasjon er kommutativ.
Divisjonsringer
En ring med enhet er en ring hvor den multiplikative semigruppen
Definisjon. La
$R$ være en ring. Ringen er en divisjonsring om$\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe.
Vi må fjerne elementet
Definisjon. En kropp er en kommutativ divisjonsring.
Mange av divisjonsringene vi jobber med er kropper. Et eksempel på en divisjonsring som ikke er en kropp, er ringen av 2x2-dimensjonale matriser over
Integritetsdomene
Definisjon.
$a,b \in R$ er nulldivisorer i ringen$R$ om$ab = 0$ men$a \neq 0,\> b \neq 0$ . Om$ab = 0$ (men ikke nødvendigvis$ba$ ), er$a$ en høyre nulldivisor, og$b$ en venstre nulldivisor.Definisjon. Et integritetsdomene er en ring uten nulldivisorer.
Et eksempel på et integritetsdomene er
Teorem: En kropp er et integritetsdomene.
Bevis: La
Et integritetsdomene trenger ikke nødvendigvis være en kropp.
Underring
Definisjon. La
$\left<R, +, \cdot\right>$ være en ring, og la$\emptyset \subset S \subseteq R$ ($S$ er en ikketom delmengde av$R$ ). Da er$S$ en underring av$R$ , om$\left<S, +, \cdot \right>$ er en ring. Analogt bruker vi ordene underkropp av en kropp, og en underdivisjonsring av en divisjonsring.
Merk at det ikke er nødvendig å kreve eksplisitt at
Teorem. En ikketom delmengde
$S$ av en ring$R$ er en underring hvis og bare hvis for alle$a,b \in S$ , så er$a-b \in S$ ,$ab \in S$ .
Bevis: Vi viser først at
$a + c$ er lukket under$+$ (la$-b = c$ ).$\forall a$ ,$a^{-1} \in S$
La til slutt
Videre holder de distributive lovene i
Flere definisjoner
Definisjon. Senteret til en ring
$R$ , er gitt ved$Z(R) = \{a \in R | xa = ax,\> \forall x \in R\}$ .Teorem. Senteret til en ring
$R$ er en underring av$R$ .
Bevis: Utelatt til leseren. Vis at
Definisjon. Om det finnes et positivt heltall
$n$ slik at$nx = 0,\>\forall x \in R$ hvor$R$ er en ring, kalles den minste av disse karakteristikken til R, og skrives$\text{char}\>R$ . Om det ikke finnes en slik$n$ sier vi at$R$ har karakteristikk 0.Teorem. La
$F$ være en kropp. Da er karakteristikken til$F$ enten$0$ eller et primtall.
Bevis (Uformelt): La
Definisjon. Et element
$a$ in en ring$R$ kalles nilpotent, hvis det finnes et positivt heltall$n$ slik at$a^n = 0$ .
0 er åpenlyst et nilpotent element.
Definisjon. Et element
$a$ er idempotent i en ring$R$ hvis$a = a^2$ Definisjon. La
$A$ være en ring, og la$F$ være en kropp. Vi sier at$A$ er en algebra over$F$ , hvis det finnes en mapping$(x, \alpha) \to x\alpha$ fra$F \times A \to A$ , slik at følgende identiteter holder for$\alpha, \beta \in F$ ,$x \in A$ :$$ \begin{align} (i)&\> (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \\ (ii)&\> \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \\ (iii)&\> (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x) \\ (iv) &\> \alpha(xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y) (v) &\> 1x = x \\ \end{align} $$
Direkte produkt og direkte sum
Vi definerer til slutt konseptene direkte sum og direkte produkt av ringer.
Definisjon. La
$R_1$ og$R_2$ være ringer. La så$R$ være mengden$\{(a_1, a_2)| \forall a_1, a_2; a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 \}$ . Vi definerer to binære operasjoner$+$ og$\cdot$ på$R$ ved:$$ (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ $$ (a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) $$ $R$ kalles for det direkte produktet av$R_1$ og$R_2$ , og skrives ofte$R_1 \times R_2$ . (Om vi har et behov for å forveksle det direkte produktet med det kartesiske produktet av mengdene$R_1$ og$R_2$ kan det være fornuftig å unngå denne notasjonen).
Via induksjon kan vi utvide definisjonen vår fra to ringer til en familie med
Definisjon. Den direkte summen av to ringer
$R_1$ og$R_2$ er delmengden$S$ av$R = R_1 \times R_2$ bestående av alle$(a_i) \in R$ som maksimalt har et endelig antall elementer lik$0$ . Den direkte summen skrives$R_1 \bigoplus R_2$ .
På samme måte som for direkte produkt kan vi utvide definisjonen vår til
Merk at om familien av ringer
Polynomringer
Definisjon. La
$R$ være en ring.$R[x]$ betegner ringen av polynomer over$R$ og består av alle utrykk$$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ Addisjon og multiplikasjon over$R[x]$ er definert på den naturlige måten:$$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$ $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$ hvor$c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$
Vi sier at den største
Det er også naturlig å definere ringen av polynomer over
med addisjon og multiplikasjon definert som over.
Vi kaller
Eksempel
La
Idealer
Definisjon
Et ideal til en ring
Definisjon. La
$S$ være en ikketom delmengde av$R$ .$S$ er et ideal av$R$ om for alle$a, b \in S$ og$r \in R$ $$ a - b \in S \\ ar \in S\> \text{og}\> ra \in S$$
Dette er definisjonen oppgitt [1]. Videre har vi også følgende ekvivalente definisjoner:
Definisjon. En underring
$S$ av$R$ er et ideal hvis den er invariant under konjugasjon i$R$ , dvs:$$ \forall r,s;\> s \in S,\> r \in R; srs^{-1} \in S $$
En annen måte å skrive denne definisjonen på er:
Definisjon. En underring
$S$ av$R$ er et ideal hvis dens høyre og venstre restklasser sammenfaller:$$ \forall r \in R;\> Sr = rS $$
Vi definerer så venstre og høyre idealer på den naturlige måten:
Definisjon. La
$S$ være en ikketom delmengde av$R$ .$S$ er et høyre ideal av$R$ om for alle$a, b \in S$ og$r \in R$ $$ a - b \in S $$ $$ ar \in S $$
Et venstre ideal defineres helt analogt. Vi kan gi en fjerde definisjon av idealer ved å si at et ideal er en underring som er både et høyre og venstre ideal.
Teorem. La
$D$ være en divisjonsring. Alle idealer (også høyre og venstre) av$D$ er det trivielle idealet$I = D$ .
Bevis: La
Teorem. La
$(A_i)$ være en familie med høyre (venstre) idealer i$R$ , da er$\bigcap_{i} A_i$ også et ideal.
Bevis: Utelatt til leseren. Tips, la
Definisjon. Det minste høyre (venstre) idealet som inneholder en delmengde
$S$ av en ring$R$ denoteres$(S)_r$ (for et venstre ideal$(S)_l$ ), og kalles høyre (venstre) idealet generert av S. En annen notasjon for en enedelig mengde$S = \{a_1,\dots,a_n\}$ er$(a_1,\dots,a_m)_r$ .Definisjon. Et høyre ideal
$I$ av en ring$R$ er kalt et prinsipielt høyre ideal hvis det finnes en$a \in R$ slik at$I = (a)_r$ .
Tilsvarende definerer vi et prinsipielt venstre ideal og et prinsipielt ideal.
En ring som bare har prinsipielle idealer er kalt en prinsipiell ideal ring.
Faktorringer
Vi definerer faktorringer på to forskjellige måter. Den første mer formell enn den andre.
Definisjon. La
$I$ være et ideal til en ring$R$ . De additive restklassene$R/I$ danner en ring, kalt faktorringen av$I$ i$R$ , under operasjonene:$$ (a+I) + (b+I) = (a+b)+I $$ $$ (a+I)(b+I) = (ab)+I $$ Det er enkelt å verifisere at$\left<R/I, +, \cdot\right>$ er en ring.
Denne definisjonen kan være noe tung å tygge med mindre du har en god intuisjon for restklasser. Gitt viktigheten til idealer og faktorringer gir vi et par konkrete eksempler:
Eksempel.
La
For vårt eksempel er det dermed klart at restklassene er mengdene
Vi bemerker oss til slutt at faktorringen
Definisjon. La
$I$ være et ideal til en ring$R$ . La$\equiv$ være en relasjon definert på$R$ slik at for$a,b \in R$ så er$a \equiv b\>(\text{mod}\>I)$ hvis og bare hvis$a-b \in I$ . La faktorringen$R/I$ være mengden av alle ekvivalensklasser av$\equiv$ . Ekvivalensklassen som inneholder et element$a$ skrives$\overline{a}$ .
Uformelt sier definisjonen at
Korollar. La
$R/I$ være en faktorring. Da er$I$ mengden av alle elementene som er i$\overline{0}$ i$R/I$ . Dette følger umiddelbart av definisjonene våre.
Eksempel.
La
Vi begynner med å se på
Å beskrive alle restklassene til
Dette gir oss videre at enhver
La oss så se på et generelt polynom
Faktorringen
Overbevis deg selv over at denne faktorringen er kroppen til alle komplekse tall.
Homomorfier
Vi går kjapt igjennom hva en homomorfi er, før vi slipper løs hele kavalriet.
Definisjon
Definisjon. La
$\phi$ være en avbildning mellom to ringer$R$ og$R'$ .$\phi$ er en homormorfi hvis følgende holder for$a,b \in R$ :$$ \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \\ \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) $$
To eksempler.
La
La
Isomorfi
Definisjon. En homomorfi som er injektiv og surjektiv kalles for en isomorfi, eller en monomorfi.
Isomorfisme er en ekvivalensrelasjon.
Faktorringer og homomorfier
Den kanoniske homomorfien
La
sender et element
Definisjon.
$\eta$ som definert over kalles den naturlige eller kanoniske homomorfien.
Kjerner
Definisjon. Kjernen til en homomorfi
$\phi : R \to S$ ,$\ker \phi$ , er mengden av alle elementer i$R$ hvis avbildning i$S$ er$0$ :$$\ker \phi = \{r | r \in R, \phi(r) = 0_S\}$$ Lemma. Kjernen
$\ker \phi$ til en homomorfi$\phi : R \to R'$ er en underring av$R$ .
Bevis: Det holder å vise at for
Altså er
Korollar. Kjernen
$\ker \phi$ til en homomorfi$\phi : R \to S$ er et ideal av$R$ .
Bevis: Av forige lemma vet vi at
Homomorfienes fundamentalteorem
Før vi spesifiserer homomorfienes fundamentalteorem, tar vi oss et sekund til å reflektere litt rundt den kanoniske homomorfien
Men
Teorem (homomorfienes fundamentalteorem). La
$\phi$ være en homomorfi$\phi : R \to S$ med kjerne$N$ . Da er$$R/N \simeq \Ima \phi$$
Bevis: Utelatt til leseren. Definer en avbildning
Vi kan dedusere et par fornuftige ting utifra dette. Det første er at
Vi har også fått et verktøy om vi ønsker å finne en ring ismorf til en annen ring
Avsluttende definisjoner og eksempler
Definisjon. En avbildning
$\phi :R \to S$ er en antihomomorfi hvis$$ \phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y),\>\phi(xy) = \phi(y)\phi(x) $$ Avbildningen bevarer altså addisjon, men reverserer multiplikasjon.
Mer idealer
Sum og direkte sum av idealer
Definisjon. La
$A_1, A_2\dots A_n$ være høyre idealer i en ring$R$ , og la$A$ være et høyre ideal som inneholder alle$A_i$ . Da kalles$A_i$ summen av$A_1,A_2,\dots,A_n$ . Vi skrives summen av$A_i$ som$A_1 + A_2 + \dots + A_N$ , eller$\sum_{i}^n A_i$ .
Overbevis deg selv om at summen av
Definisjon. La
$A = \sum_{i=1}^n A_i$ være en sum av idealer. Om hver$a \in A$ kan skrives som en unik sum$a = \sum_{i=1}^{n} a_i,\>a_i \in A$ så kalles$A$ en direkte sum av idealer. Vi kan skrives dette ved$$A = A_1 \oplus A_2 \oplus \dots \oplus A_n = \bigoplus_{i=1}^{n}A_i $$
Maksimale og primske idealer
Definisjon. La
$R$ være en ring og$A$ et ideal av$R$ .$A$ kalles maksimalt om for alle idealer$B \supset A$ av$R$ , så er enten$B = A$ , eller$B = R$ .Definisjon. La
$A$ og$B$ være idealer av$R$ slik at$A + B = R$ . Da sier vi at$A$ og$B$ er komaksimale.Definisjon. La
$A$ være et ideal av$R$ .$A$ er maksimalt hvis og bare hvis for alle idealer$X \not\subset A$ så er$X$ og$A$ komaksimale.Definisjon. En ring
$R$ kalles for en simpel ring hvis de eneste idealene i$R$ er${0}$ og$R$ .
Før vi definerer primske idealer introduserer vi litt ny notasjon. Vi sier at produktet av to høyre (venstre) idealer
Det er med andre ord mengden av alle elementprodukter fra
Lemma. Produktet
$AB$ av to høyre (venstre) idealer$A$ og$B$ av$R$ er selv et høyre (venstre) ideal.
Bevis: La
Produktet av flere enn to idealer følger induktivt.
Definisjon. Et ideal
$P$ i en ring$R$ er et primsk ideal hvis for idealer$A$ ,$B$ i$R$ , slik at$AB \subseteq P$ , så er enten$A \subseteq P$ eller$B \subseteq P$ .
Bakgrunnen for bruken av utrykket primsk er analogien til primske heltall: *Hvis
Nilpotente idealer
Definisjon. Et nilpotent ideal er et ideal
$A$ av$R$ slik at det finnes et heltall$n$ slik at$A^n = (0)$
Moduler og vektorrom
Referanser
[Basic Abstract Algebra, P.B.Bhattacharya, S.K.Jain, S.R. Nagpaul]