$$ \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} $$ # Introduksjon: Ringer Faget, og dermed dette kompendiet, bygger på faget [MA2201/TMA4150](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/). Om du føler deg litt rusten på gruppeteori, anbefales det at du leser [den seksjonen](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#grupper) i MA2201-kompendiet. Merk at denne seksjonen går over mye av det samme som seksjonen [Ringer](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#ringer) i MA2201-kompendiet, men i noe mindre detalj. Om du føler du trenger en mer grundig introduksjon til temaet anbefales det at du leser der først. Deler av kompendiet kan være noe tungt. Dette med tanke på at det gis mange fornuftige definisjoner uten spesielt god argumentsjon for *hvorfor* disse er fornuftige. Dette er i all hovedsak for å spare plass. ## Innledende definisjoner ### Bakgrunn > **Definisjon.** En **semigruppe** er en mengde $G$ med en tilhørende assosiativ binær operasjon $*$. > **Definisjon.** En **monoide** er en semigruppe med et identitetselement $e$. En semigruppe stiller svakere krav til mengden og den tilhørende binære operatoren enn en vanlig gruppe. En semigruppe trenger ikke å ha identitetselement eller inverser. ### Ring > **Definisjon.** En ring $<R, +, \cdot>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt addisjon og multiplikasjon, slik at: > $\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe > $\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe. > $\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle $a,b,c \in R$: > $$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$ Med mindre det skaper forvirring, kommer vi ofte til å refere til ringen bare ved navnet til mengden, for eksempel *ringen $R$*. ### Kommutative ringer En **kommutativ ring** er en ring hvor *multiplikasjon* er kommutativ. ### Divisjonsringer En **ring med enhet** er en ring hvor den multiplikative semigruppen $\left<R, \cdot\right>$ er en monoide; dvs. har et identitetselement $e$. Identitetselementet denoteres ofte ved $1$. > ** Definisjon.** La $R$ være en ring. Ringen er en **divisjonsring** om $\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe. Vi må fjerne elementet $0$ fra mengden vår, gitt at $\forall a \in R$, $a0 = 0 \neq 1$. $0$ kan dermed ikke ha en invers i $R$ under multiplikasjon. > ** Definisjon.** En **kropp** er en kommutativ divisjonsring. Mange av divisjonsringene vi jobber med er kropper. Et eksempel på en divisjonsring som ikke er en kropp, er ringen av *2x2-dimensjonale matriser over $\mathbb{R}$*, siden matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ. ### Integritetsdomene > ** Definisjon.** $a,b \in R$ er **nulldivisorer** i ringen $R$ om $ab = 0$ men $a \neq 0,\> b \neq 0$. Om $ab = 0$ (men ikke nødvendigvis $ba$), er $a$ en **høyre nulldivisor**, og $b$ en **venstre nulldivisor**. > ** Definisjon.** Et **integritetsdomene** er en ring uten nulldivisorer. Et eksempel på et integritetsdomene er $\mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}_n, n \in \mathbb{Z^+}$ er ikke generelt et integritetsdomene. Ta f.eks. $Z_4$, her er $2\cdot2 \equiv 4 \equiv 0\>(\text{mod} 4)$. > ** Teorem:** En kropp er et integritetsdomene. *Bevis:* La $F$ være en kropp. La $x,y \in F$ hvor $x \neq 0$. Siden $F$ er en kropp, har $x$ en multiplikativ invers $x^{-1} \neq 0$. $xy = 0 \implies x^{-1}(xy) = 0 \implies 1\cdot y = 0 \implies y = 0$, siden $x, x^{-1} \neq 0$. Et integritetsdomene trenger ikke nødvendigvis være en kropp. ### Underring > **Definisjon.** La $\left<R, +, \cdot\right>$ være en ring, og la $\emptyset \subset S \subseteq R$ ($S$ er en ikketom delmengde av $R$). Da er $S$ en **underring** av $R$, om $\left<S, +, \cdot \right>$ er en ring. Analogt bruker vi ordene **underkropp** av en kropp, og en **underdivisjonsring** av en **divisjonsring**. Merk at det ikke er nødvendig å kreve eksplisitt at $S$ (definert som tidligere) er *lukket under $+$, og $\cdot$*, siden dette er implisert via $\mathscr{R}_1, \mathscr{R}_2, \mathscr{R}_3$ for $S$. > **Teorem.** En ikketom delmengde $S$ av en ring $R$ er en underring hvis og bare hvis for alle $a,b \in S$, så er $a-b \in S$, $ab \in S$. *Bevis*: Vi viser først at $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe, og at $\left<S, \cdot \right>$ er en semigruppe. $a-b \in S \implies a + (-b) \in S$. Dette gir oss med en gang flere ting: 1. $a + c$ er lukket under $+$ (la $-b = c$). 2. $\forall a$, $a^{-1} \in S$ La til slutt $b = a$, dermed er $a-a = e \in S$, og $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe. Vi bemerker oss til slutt at $ab$ åpenlyst er assosiativ, og lukket i $S$, siden $\cdot$ er assosiativ i $R$, og $ab \in S$. $\left<S, \cdot \right>$ er dermed en semigruppe. Videre holder de distributive lovene i $S$ siden de holder i $R$. Vi har nå vist at hvis $a-b \in S, ab \in S$, så er $S$ en underring. La oss så vise det motsatte, nemlig at hvis $S$ er en underring, så holder $a-b \in S, ab \in S$. Dette er åpenlyst sant utifra definisjonen til en ring. ## Flere definisjoner > **Definisjon.** **Senteret** til en ring $R$, er gitt ved $Z(R) = \{a \in R | xa = ax,\> \forall x \in R\}$. > **Teorem.** Senteret til en ring $R$ er en underring av $R$. *Bevis*: Utelatt til leseren. Vis at $(a-b)x = x(a-b)$ og $(ab)x = x(ab)$. > ** Definisjon.** Om det finnes et positivt heltall $n$ slik at $nx = 0,\>\forall x \in R$ hvor $R$ er en ring, kalles den minste slike $n'en$ **karakteristikken til R**, og skrives $\text{char} R$. Om det ikke finnes en slik $n$ sier vi at $R$ har *karakteristikk 0*. > **Teorem.** La $F$ være en kropp. Da er karakteristikken til $F$ enten $0$ eller et primtall. *Bevis (Uformelt)*: La $n \neq 0$ være karakteristikken til $F$, og anta et $n$ ikke er primsk. Da er $n = n_1\cdot n_2$. Men da er $ne = (n_1n_2)e = (n_1e)(n_2e) = 0$. Dette betyr at enten $n_1e$ eller $n_2e$ er $0$, siden $F$ er en kropp (og dermed et *integritetsdomene*). Dermed er karakteristikken mindre enn $n$, en kontradiksjon. Dermed må $n$ være primsk. > **Definisjon.** Et element $a$ in en ring $R$ kalles **nilpotent**, hvis det finnes et positivt heltall $n$ slik at $a^n = 0$. 0 er åpenlyst et idempotent element. > **Definisjon.** Et element $a$ er **idempotent** i en ring $R$ hvis $a = a^2$ > **Definisjon.** La $A$ være en ring, og la $F$ være en kropp. Vi sier at $A$ er en **algebra** over $F$, hvis det finnes en mapping $(x, \alpha) \to x\alpha$ fra $F \times A \to A$, slik at følgende identiteter holder for $\alpha, \beta \in F$, $x \in A$: > $$ > \begin{align} > (i)&\> (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \\ > (ii)&\> \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \\ > (iii)&\> (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x) \\ > (iv) &\> \alpha(xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y) > (v) &\> 1x = x \\ > \end{align} > $$ ## Direkte produkt og direkte sum Vi definerer til slutt konseptene *direkte sum* og *direkte produkt* av ringer. > **Definisjon.** La $R_1$ og $R_2$ være ringer. La så $R$ være mengden $\{(a_1, a_2)| \forall a_1, a_2; a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 \}$. Vi definerer to binære operasjoner $+$ og $\cdot$ på $R$ ved: > $$ (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ > $$ (a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) $$ > $R$ kalles for det **direkte produktet** av $R_1$ og $R_2$, og skrives ofte $R_1 \times R_2$. (Om vi har et behov for å forveksle det direkte produktet med det *kartesiske produktet* av mengdene $R_1$ og $R_2$ kan det være fornuftig å unngå denne notasjonen). Via induksjon kan vi utvide definisjonen vår fra to ringer til en familie med $n$ ringer på den naturlige måten. > **Definisjon.** Den **direkte summen** av to ringer $R_1$ og $R_2$ er delmengden $S$ av $R = R_1 \times R_2$ bestående av alle $(a_i) \in R$ som maksimalt har et *endelig antall* elementer lik $0$. Den direkte summen skrives $R_1 \bigoplus R_2$. På samme måte som for direkte produkt kan vi utvide definisjonen vår til $n$ ringer. Merk at om familien av ringer $R_i$ er *endelig* er den direkte summen og det direkte produktet ekvivalent. ## Polynomringer > **Definisjon.** La $R$ være en ring. $R[x]$ betegner **ringen av polynomer over $R$** og består av alle utrykk > $$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ > Addisjon og multiplikasjon over $R[x]$ er definert på den naturlige måten: > $$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$ > $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$ > hvor $c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$ Vi sier at den største $i$ slik at $a_i \neq 0$ og $a_{i+k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}$ er **graden** til polynomet. Det er også naturlig å definere ringen av polynomer over $R$ som alle uendelige sekvenser av elementer fra $R$: $$ (a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n, 0, 0, 0)$$ med addisjon og multiplikasjon definert som over. Vi kaller $x$ i et polynom en **ubestemt**. Om vi lar $f(x)$ være et polynom, kaller vi $f(a),\> a \in R$ for **evalueringen av $f$ i $a$**. **Eksempel** *La $f(x) = x^2 + 4$ og $g(x) = x^3 + x + 2$ være polynomer over $\mathbb{Z}_5$. Regn ut $h(x) = f(x)\cdot g(x)$. Evaluer så $h$ i $a=2$* $$(x^2 + 4)(x^3 + x + 2) = (x^5 + 4x^3 + x^3 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 2x^2 + 4x + 3\>(\text{mod}\> 5)$$ $$ f(2) = 2^5 + 2^3 + 2^3 + 3 = 32 + 8 + 8 + 3 \equiv 2 + 3 + 3 + 3 = 11 \equiv 1\> (\text{mod}\> 5)$$ # Idealer ## Definisjon Et **ideal** til en ring $R$ er det samme som en *normal undergruppe* er til en gruppe. Vi definerer det her på 3 forskjellige, men ekvivalente måter. > ** Definisjon.** La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et **ideal** av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ > $$ a - b \in S \\ > ar \in S\> \text{og}\> ra \in S$$ Dette er definisjonen oppgitt [1]. Videre har vi også følgende ekvivalente definisjoner: > ** Definisjon.** En underring $S$ av $R$ er et **ideal** hvis den er invariant under konjugasjon i $R$, dvs: > $$ \forall r,s;\> s \in S,\> r \in R; srs^{-1} \in S $$ En annen måte å skrive denne definisjonen på er: >> ** Definisjon.** En underring $S$ av $R$ er et **ideal** hvis dens høyre og venstre restklasser sammenfaller: >> $$ \forall r \in R;\> Sr = rS $$ Vi definerer så *venstre* og *høyre* idealer på den naturlige måten: > ** Definisjon.** La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et **høyre ideal** av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ > $$ a - b \in S $$ > $$ ar \in S $$ Et **venstre ideal** defineres helt analogt. Vi kan gi en fjerde definisjon av idealer ved å si at et ideal er en underring som er *både* et høyre og venstre ideal. > ** Teorem.** La $D$ være en divisjonsring. Alle idealer (også høyre og venstre) av $D$ er det trivielle idealet $I = D$. *Bevis:* La $d \in I$, da er $d^{-1} \in I \implies 1 \in I$ (en hver underdivisjonsring har enhet), dermed har vi $r1 = r \in I$ for alle $r \in R$. Altså er $R = I$. > ** Teorem.** La $(A_i)$ være en familie med høyre (venstre) idealer i $R$, da er $\bigcap_{i} A_i$ også et ideal. *Bevis:* Utelatt til leseren. Tips, la $a,b \in \bigcap_{i} A_i$ og vis at elementene tilfredstiller kravene i definisjonen vår til et ideal. > **Definisjon.** Det minste høyre (venstre) idealet som inneholder en delmengde $S$ av en ring $R$ denoteres $(S)_r$(for et venstre ideal $(S)_l$), og kalles **høyre (venstre) idealet generert av S**. En annen notasjon for en enedelig mengde $S = \{a_1,\dots,a_n\}$ er $(a_1,\dots,a_m)_r$. > **Definisjon.** Et høyre ideal $I$ av en ring $R$ er kalt et **prinsipielt høyre ideal** hvis det finnes en $a \in R$ slik at $I = (a)_r$. Tilsvarende definerer vi et **prinsipielt venstre ideal** og et **prinsipielt ideal**. En ring som bare har prinsipielle idealer er kalt en **prinsipiell ideal ring**. ## Faktorringer Vi definerer *faktorringer* på to forskjellige måter. Den første mer formell enn den andre. > ** Definisjon.** La $I$ være et ideal til en ring $R$. De additive restklassene $R/I$ danner en ring, kalt **faktorringen** av $I$ i $R$, under operasjonene: > $$ (a+I) + (b+I) = (a+b)+I $$ > $$ (a+I)(b+I) = (ab)+I $$ > Det er enkelt å verifisere at $\left<R/I, +, \cdot\right>$ er en ring. Denne definisjonen kan være noe tung å tygge med mindre du har en god intuisjon for *restklasser*. Gitt viktigheten til idealer og faktorringer gir vi et par konkrete eksempler: **Eksempel.** La $R = \mathbb{Z}$ og la $I = 3\mathbb{Z} = \{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$. Husk at restklassene til $I$ i $R$ er alle $rI$ og $Ir$, som i dette tilfellet er like, definert ved: $rI = \{ri | \forall i \in I\}$. For vårt eksempel er det dermed klart at restklassene er mengdene $\{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$, $\{\dots, -2, 1, 4, 7, \dots\}$, og $\{\dots, -1, 2, 5, 8, \dots\}$. Disse kan også skrives som $0 + I$, $1 + I$ og $2 + I$. Det er videre klart at disse danner en ring under addisjon og multiplikasjon. Ta for eksempel $2 + I + 1 + I = 3 + I = I$ ($2 +I$ har invers $1 + I$), og $I + 2 + I = 2 + I$ (identitet er $I$). Vi bemerker oss til slutt at faktorringen $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}_3$. Vi kan uformelt forsvare dette ved å se at $1 + I$ er alle elementer som er lik $1\>\text{mod} 3$, $2 + I$ alle elementer som er lik $2\>\text{mod}3$ osv. Dette motiverer oss til følgende definisjon av faktorringer: > ** Definisjon.** La $I$ være et ideal til en ring $R$. La $\equiv$ være en relasjon definert på $R$ slik at for $a,b \in R$ så er $a \equiv b\>(\text{mod} I)$ hvis og bare hvis $a-b \in I$. La **faktorringen** $R/I$ være mengden av alle ekvivalensklasser av $\equiv$. Ekvivalensklassen som inneholder et element $a$ skrives $\overline{a}$. Uformelt sier definisjonen at $a \equiv b (\text{mod} I)$ hvis og bare hvis $a$ og $b$ er i samme restklasser til $I$, og at $R/I$ er mengden av alle slike restklasser. Det er tydelig at denne definisjonen er helt analog med den første, men vi har nå litt mer kjøtt på beina til å danne en intuisjon av hva en faktorring faktisk er. Det er verdt å merke seg at kravet $a-b \in I$ gir oss at $a$ og $b$ er i samme restklasse fordi *en restklasse er en underring*, og er dermed lukket under addisjon. > ** Korollar.** La $R/I$ være en faktorring. Da er $I$ mengden av alle elementene som er $0$ i $R/I$. Dette følger umiddelbart av definisjonene våre. **Eksempel.** La $R$ være en ring med enhet og la $R[x]$ være ringen av polynomer over $R$. La oss se på $R[x]/(x^2 + 1)$. Vi begynner med å se på $(x^2 + 1)$. Dette er ringen av alle multipler av $f(x) = x^2 + 1$: $$\{\dots,\> 0,\> x^2 + 1,\> 2x^2 + 2,\> 3x^2 + 3, \dots\}$$. Å beskrive alle restklassene til $(x^2 + 1)$ i $R$ er nå målet vårt. La oss først bemerke oss at $x^2 + 1 = 0$ i faktorringen vår. Dette betyr at $\overline{x^2} = \overline{-1}$, altså er $x^2$ i samme restklasse som $1$. Dette er tydelig siden $$-1 + (x^2+1) = \{\dots,\>-1,\> x^2,\> 2x^2 + 1,\> 3x^2 + 2,\> \dots\}$$ Dette gir oss videre at enhver $\overline{x^n} = \overline{a}\overline{x} + \overline{b}$, siden $\overline{x^3} = \overline{x}\overline{x^2} = -x$ osv. La oss så se på et generelt polynom $g(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1x + a_0$, og restklassen til dette polynomet $\overline{g(x)}$. Vi vet at siden et hvert ledd av $x$ større eller lik $2$ kan reduseres til et polynom av grad $1$ i faktorringen, får vi: $$\overline{g(x)} = \overline{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1x + a_0} = \overline{\alpha}\overline{x} + \overline{\beta}$$. Faktorringen $R[x]/(x^2 + 1)$ er dermed $$ R[x]/(x^2 + 1) = \{\overline{\alpha}\overline{x} + \overline{\beta} \>|\> \alpha, \beta \in R\}\> \text{hvor} x^2 = -1 $$ Overbevis deg selv over at denne faktorringen er kroppen til alle *komplekse tall*. #Homomorfier Vi går kjapt igjennom hva en homomorfi er, før vi slipper løs hele kavalriet. ## Definisjon > **Definisjon.** La $\phi$ være en avbildning mellom to ringer $R$ og $R'$. $\phi$ er en **homormorfi** hvis følgende holder for $a,b \in R$: > $$ > \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \\ > \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) > $$ ** To eksempler.** La $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ være gitt ved $\phi(x) = x \>(\text{mod}\>2)$. Da er $\phi$ åpenlyst en homomorfi. La $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ være gitt ved $\phi(x) = \frac{1}{x}$. $\phi$ ikke en homomorfi siden $\phi(a+b) = \frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \phi(a) + \phi(b)$. ## Isomorfi > **Definisjon.** En homomorfi som er *injektiv* og *surjektiv* kalles for en **isomorfi**, eller en **monomorfi**. Isomorfisme er en ekvivalensrelasjon. ## Faktorringer og homomorfier ### Den kanoniske homomorfien La $R$ være en ring og $I$ et ideal i $R$. La $R/I$ være faktorringen til *$R$ modulo $I$*. Den naturlige homomorfien $$ \eta : R \to R/I $$ sender et element $r in R$ til $\overline{r} \in R/I$. Det er tydelig at $\eta$ tilfredstiller kravene til en homomorfi. > **Definisjon.** $\eta$ som definert over kalles den **naturlige** eller **kanoniske homomorfien**. ### Kjerner > **Definisjon.** **Kjernen** til en homomorfi $\phi : R \to S$, $\ker \phi$, er mengden av alle elementer i $R$ hvis avbildning i $S$ er $0$: > $$\ker \phi = \{r | r \in R, \phi(r) = 0_S\}$$ > **Lemma.** **Kjernen** $\ker \phi$ til en homomorfi $\phi : R \to R'$ er en underring av $R$. *Bevis*: Det holder å vise at for $a, b \in \ker \phi$, så er $a-b \in \ker \phi, ab \in \ker \phi$. $$ \phi(a-b) = \phi(a) - \phi(b) = 0_S - 0_S = 0 \\ \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = 0_S $$ Altså er $a-b \in \ker \phi$ og $ab \in \ker \phi $. > **Korollar.** **Kjernen** $\ker \phi$ til en homomorfi $\phi : R \to S$ er et **ideal** av $R$. *Bevis*: Av forige lemma vet vi at $\ker \phi$ er en underring av $R$. La $a \in \ker \phi$ og $r \in R$: $$ \phi(rar^{-1}) = \phi(r)\phi(a)\phi(r^{-1}) = 0_S $$ ### Homomorfienes fundamentalteorem Før vi spesifiserer homomorfienes fundamentalteorem, tar vi oss et sekund til å reflektere litt rundt den kanoniske homomorfien $\eta$. $\eta$ sender oss fra en ring $R$ med ideal $I$ til en restklasse i $R/I$. La $\phi : R \to S$, hvor $S$ er en ring. La så $I = \ker \phi$, og la $\eta : R \to R/\ker\phi$. $\ker \phi$ er mengden av alle elementer som avbildes til $0$ i $S$. $rI$ er naturlig nok alle restklasser $R/I$ generert av denne mengden. Hvor mange slike restklasser er det? Det er minst $1$. Dette skjer hvis $\ker \phi = R$. Om $\ker \phi = 0_R$, vet vi også at $R/I = R$, siden hvert element $r \in R$ blir sendt til $r \in R/I$. I så tilfelle er både $\eta$ og $\phi$ isomorfier. Men $\ker \phi$ kan også være en større mengde. Hva mer vet vi? Uformelt er det mulig å danne seg en intuisjon for at antall elementer i faktorringen $R/\ker \phi$ er den samme som antall elementer i $\Ima \phi \subset S$. La for eksempel $a$ og $b$ være to forskjellige elementer i $R$ slik at $(a+I)$ = $(b+I)$, det vil si de er i samme restklasse. Altså er $a - b = 0$ og $\phi(a-b) = 0 = \phi(a) - \phi(b)$. Altså er $\phi(a) = \phi(b)$, selv om $a \neq b$. Vi formaliserer dette i følgende teorem: > **Teorem (homomorfienes fundamentalteorem).** La $\phi$ være en homomorfi $\phi : R \to S$ med kjerne $N$. Da er > $$R/N \simeq \Ima \phi$$ *Bevis*: Utelatt til leseren. Definer en avbildning $\gamma$ fra $R/N$ til $S$ og vis at den er en homomorfi, er *på* og *en-til-en*. Det kan med fordel også vises at den er unik.

# Moduler og vektorrom # Referanser [Basic Abstract Algebra, P.B.Bhattacharya, S.K.Jain, S.R. Nagpaul]