MA3201: Ringer og Moduler
# Introduksjon: Ringer
Faget, og dermed dette kompendiet, bygger på faget [MA2201/TMA4150](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/). Om du føler deg litt rusten på gruppeteori, anbefales det at du leser [den seksjonen](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#grupper) i MA2201-kompendiet.
Merk at denne seksjonen går over mye av det samme som seksjonen [Ringer](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#ringer) i MA2201-kompendiet, men i noe mindre detalj. Om du føler du trenger en mer grundig introduksjon til temaet anbefales det at du leser der først.
En semigruppe stiller svakere krav til mengden og den tilhørende binære operatoren enn en vanlig gruppe. En semigruppe trenger ikke å ha identitetselement eller inverser.
> $\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe
> $\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe.
> $\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle $a,b,c \in R$:
> $$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$
Med mindre det skaper forvirring, kommer vi ofte til å refere til ringen bare ved navnet til mengden, for eksempel *ringen $R$*.
En **ring med enhet** er en ring hvor den multiplikative semigruppen $\left<R, \cdot\right>$ er en monoide; dvs. har et identitetselement $e$. Identitetselementet denoteres ofte ved $1$.
Vi må fjerne elementet $0$ fra mengden vår, gitt at $\forall a \in R$, $a0 = 0 \neq 1$. $0$ kan dermed ikke ha en invers i $R$ under multiplikasjon.
Mange av divisjonsringene vi jobber med er kropper. Et eksempel på en divisjonsring som ikke er en kropp, er ringen av *2x2-dimensjonale matriser over $\mathbb{R}$*, siden matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ.
Et eksempel på et integritetsdomene er $\mathbb{Z}$.
$\mathbb{Z}_n, n \in \mathbb{Z^+}$ er ikke generelt et integritetsdomene. Ta f.eks. $Z_4$, her er $2\cdot2 \equiv 4 \equiv 0\>(\text{mod} 4)$.
> ** Teorem:** En kropp er et integritetsdomene.
*Bevis:* La $F$ være en kropp. La $x,y \in F$ hvor $x \neq 0$. Siden $F$ er en kropp, har $x$ en multiplikativ invers $x^{-1} \neq 0$. $xy = 0 \implies x^{-1}(xy) = 0 \implies 1\cdot y = 0 \implies y = 0$, siden $x, x^{-1} \neq 0$.
Et integritetsdomene trenger ikke nødvendigvis være en kropp.
Merk at det ikke er nødvendig å kreve eksplisitt at $S$ (definert som tidligere) er *lukket under $+$, og $\cdot$*, siden dette er implisert via $\mathscr{R}_1, \mathscr{R}_2, \mathscr{R}_3$ for $S$.
*Bevis*: Vi viser først at $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe, og at $\left<S, \cdot \right>$ er en semigruppe. $a-b \in S \implies a + (-b) \in S$. Dette gir oss med en gang flere ting:
1. $a + c$ er lukket under $+$ (la $-b = c$).
2. $\forall a$, $a^{-1} \in S$
La til slutt $b = a$, dermed er $a-a = e \in S$, og $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe. Vi bemerker oss til slutt at $ab$ åpenlyst er assosiativ, og lukket i $S$, siden $\cdot$ er assosiativ i $R$, og $ab \in S$. $\left<S, \cdot \right>$ er dermed en semigruppe.
Videre holder de distributive lovene i $S$ siden de holder i $R$. Vi har nå vist at hvis $a-b \in S, ab \in S$, så er $S$ en underring. La oss så vise det motsatte, nemlig at hvis $S$ er en underring, så holder $a-b \in S, ab \in S$. Dette er åpenlyst sant utifra definisjonen til en ring.
*Bevis*: Utelatt til leseren. Vis at $(a-b)x = x(a-b)$ og $(ab)x = x(ab)$.
*Bevis (Uformelt)*: La $n \neq 0$ være karakteristikken til $F$, og anta et $n$ ikke er primsk. Da er $n = n_1\cdot n_2$. Men da er $ne = (n_1n_2)e = (n_1e)(n_2e) = 0$. Dette betyr at enten $n_1e$ eller $n_2e$ er $0$, siden $F$ er en kropp (og dermed et *integritetsdomene*). Dermed er karakteristikken mindre enn $n$, en kontradiksjon. Dermed må $n$ være primsk.
0 er åpenlyst et idempotent element.
> $$
> \begin{align}
> (i)&\> (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \\
> (ii)&\> \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \\
> (iii)&\> (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x) \\
> (iv) &\> \alpha(xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y)
> (v) &\> 1x = x \\
> \end{align}
> $$
> $$ (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$
> $$ (a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) $$
> $R$ kalles for det **direkte produktet** av $R_1$ og $R_2$, og skrives ofte $R_1 \times R_2$. (Om vi har et behov for å forveksle det direkte produktet med det *kartesiske produktet* av mengdene $R_1$ og $R_2$ kan det være fornuftig å unngå denne notasjonen).
Via induksjon kan vi utvide definisjonen vår fra to ringer til en familie med $n$ ringer på den naturlige måten.
På samme måte som for direkte produkt kan vi utvide definisjonen vår til $n$ ringer.
Merk at om familien av ringer $R_i$ er *endelig* er den direkte summen og det direkte produktet ekvivalent.
## Polynomringer
> $$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$
> Addisjon og multiplikasjon over $R[x]$ er definert på den naturlige måten:
> $$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$
> $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$
> hvor $c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$
Vi sier at den største $i$ slik at $a_i \neq 0$ og $a_{i+k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}$ er **graden** til polynomet.
Det er også naturlig å definere ringen av polynomer over $R$ som alle uendelige sekvenser av elementer fra $R$:
$$ (a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n, 0, 0, 0)$$
med addisjon og multiplikasjon definert som over.
Vi kaller $x$ i et polynom en **ubestemt**. Om vi lar $f(x)$ være et polynom, kaller vi $f(a),\> a \in R$ for **evalueringen av $f$ i $a$**.
**Eksempel**
*La $f(x) = x^2 + 4$ og $g(x) = x^3 + x + 2$ være polynomer over $\mathbb{Z}_5$. Regn ut $h(x) = f(x)\cdot g(x)$. Evaluer så $h$ i $a=2$*
$$(x^2 + 4)(x^3 + x + 2) = (x^5 + 4x^3 + x^3 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 2x^2 + 4x + 3\>(\text{mod}\> 5)$$
$$ f(2) = 2^5 + 2^3 + 2^3 + 3 = 32 + 8 + 8 + 3 \equiv 2 + 3 + 3 + 3 = 11 \equiv 1\> (\text{mod}\> 5)$$
# Idealer
#Homomorfier