> **Definisjon (Semigruppe):** En **semigruppe** er en mengde $G$ med en tilhørende assosiativ binær operasjon $*$.> **Definisjon (Monoide):** En **monoide** er en semigruppe med et identitetselement $e$.> **Definisjon (Ring):** En ring $<R, +, \cdot>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt addisjon og multiplikasjon, slik at:> ** Definisjon (Divisjonsring):** La $R$ være en ring. Ringen er en **divisjonsring** om $\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe.> ** Definisjon (Kropp):** En **kropp** er en kommutativ divisjonsring. > ** Definisjon (Nulldivisor):** $a,b \in R$ er **nulldivisorer** i ringen $R$ om $ab = 0$ men $a \neq 0,\> b \neq 0$. Om $ab = 0$ (men ikke nødvendigvis $ba$), er $a$ en **høyre nulldivisor**, og $b$ en **venstre nulldivisor**. > **Definisjon (Underring):** La $\left<R, +, \cdot\right>$ være en ring, og la $\emptyset \subset S \subseteq R$ ($S$ er en ikketom delmengde av $R$). Da er $S$ en **underring** av $R$, om $\left<S, +, \cdot \right>$ er en ring. Analogt bruker vi ordene **underkropp** av en kropp, og en **underdivisjonsring** av en **divisjonsring**.> **Definisjon (Senter):** **Senteret** til en ring $R$, er gitt ved $Z(R) = \{a \in R | xa = ax,\> \forall x \in R\}$.*Bevis*: Utelatt til leseren. Vis at $(a-b)x = x(a-b)$ og $(ab)x = x(ab)$. > ** Definisjon:** Om det finnes et positivt heltall $n$ slik at $nx = 0,\>\forall x \in R$ hvor $R$ er en ring, kalles den minste slike $n'en$ **karakteristikken til R**, og skrives $\text{char} R$. Om det ikke finnes en slik $n$ sier vi at $R$ har *karakteristikk 0*. > **Teorem:** La $F$ være en kropp. Da er karakteristikken til $F$ enten $0$ eller et primtall. *Bevis (Uformelt)*: La $n \neq 0$ være karakteristikken til $F$, og anta et $n$ ikke er primsk. Da er $n = n_1\cdot n_2$. Men da er $ne = (n_1n_2)e = (n_1e)(n_2e) = 0$. Dette betyr at enten $n_1e$ eller $n_2e$ er $0$, siden $F$ er en kropp (og dermed et *integritetsdomene*). Dermed er karakteristikken mindre enn $n$, en kontradiksjon. Dermed må $n$ være primsk. > **Definisjon:** Et element $a$ in en ring $R$ kalles **nilpotent**, hvis det finnes et positivt heltall $n$ slik at $a^n = 0$. 0 er åpenlyst et idempotent element. > **Definisjon:** Et element $a$ er **idempotent** i en ring $R$ hvis $a = a^2$ > **Definisjon:** La $A$ være en ring, og la $F$ være en kropp. Vi sier at $A$ er en **algebra** over $F$, hvis det finnes en mapping $(x, \alpha) \to x\alpha$ fra $F \times A \to A$, slik at følgende identiteter holder for $\alpha, \beta \in F$, $x \in A$: > $$ > \begin{align} > (i)&\> (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \\ > (ii)&\> \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \\ > (iii)&\> (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x) \\ > (iv) &\> \alpha(xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y) > (v) &\> 1x = x \\ > \end{align} > $$ Vi definerer til slutt konseptene *direkte sum* og *direkte produkt* av ringer. > **Definisjon:** La $R_1$ og $R_2$ være ringer. La så $R$ være mengden $\{(a_1, a_2)| \forall a_1, a_2; a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 \}$. Vi definerer to binære operasjoner $+$ og $\cdot$ på $R$ ved: > $$ (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ > $$ (a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) $$ > $R$ kalles for det **direkte produktet** av $R_1$ og $R_2$, og skrives ofte $R_1 \times R_2$. (Om vi har et behov for å forveksle det direkte produktet med det *kartesiske produktet* av mengdene $R_1$ og $R_2$ kan det være fornuftig å unngå denne notasjonen). Via induksjon kan vi utvide definisjonen vår fra to ringer til en familie med $n$ ringer på den naturlige måten. > **Definisjon:** Den **direkte summen** av to ringer $R_1$ og $R_2$ er delmengden $S$ av $R = R_1 \times R_2$ bestående av alle $(a_i) \in R$ som maksimalt har et *endelig antall* elementer lik $0$. Den direkte summen skrives $R_1 \bigoplus R_2$. På samme måte som for direkte produkt kan vi utvide definisjonen vår til $n$ ringer. Merk at om familien av ringer $R_i$ er *endelig* er den direkte summen og det direkte produktet ekvivalent. ## Polynomringer > **Definisjon**: La $R$ være en ring. $R[x]$ betegner **ringen av polynomer over $R$** og består av alle utrykk > $$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ > Addisjon og multiplikasjon over $R[x]$ er definert på den naturlige måten: > $$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$ > $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$ > hvor $c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$ Vi sier at den største $i$ slik at $a_i \neq 0$ og $a_{i+k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}$ er **graden** til polynomet. Det er også naturlig å definere ringen av polynomer over $R$ som alle uendelige sekvenser av elementer fra $R$: $$ (a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n, 0, 0, 0)$$ med addisjon og multiplikasjon definert som over. Vi kaller $x$ i et polynom en **ubestemt**. Om vi lar $f(x)$ være et polynom, kaller vi $f(a),\> a \in R$ for **evalueringen av $f$ i $a$**. **Eksempel** *La $f(x) = x^2 + 4$ og $g(x) = x^3 + x + 2$ være polynomer over $\mathbb{Z}_5$. Regn ut $h(x) = f(x)\cdot g(x)$. Evaluer så $h$ i $a=2$* $$(x^2 + 4)(x^3 + x + 2) = (x^5 + 4x^3 + x^3 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 2x^2 + 4x + 3\>(\text{mod}\> 5)$$ $$ f(2) = 2^5 + 2^3 + 2^3 + 3 = 32 + 8 + 8 + 3 \equiv 2 + 3 + 3 + 3 = 11 \equiv 1\> (\text{mod}\> 5)$$ # Idealer & Et **ideal** til en ring $R$ er det samme som en *normal undergruppe* er til en gruppe. Vi definerer det her på 3 forskjellige, men ekvivalente måter. #Homomorfier