# Introduksjon: Ringer Faget, og dermed dette kompendiet, bygger på faget [MA2201/TMA4150](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/). Om du føler deg litt rusten på gruppeteori, anbefales det at du leser [den seksjonen](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#grupper) i MA2201-kompendiet. Merk at denne seksjonen går over mye av det samme som seksjonen [Ringer](https://www.wikipendium.no/TMA4150_Algebra_og_tallteori/nb/#ringer) i MA2201-kompendiet, men i noe mindre detalj. Om du føler du trenger en mer grundig introduksjon til temaet anbefales det at du leser der først. ## Innledende definisjoner > **Definisjon (Semigruppe):** En **semigruppe** er en mengde $G$ med en tilhørende assosiativ binær operasjon $*$. > **Definisjon (Monoide):** En **monoide** er en semigruppe med et identitetselement $e$. En semigruppe stiller svakere krav til mengden og den tilhørende binære operatoren enn en vanlig gruppe. En semigruppe trenger ikke å ha identitetselement eller inverser. > **Definisjon (Ring):** En ring $<R, +, \cdot>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt addisjon og multiplikasjon, slik at: > $\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe > $\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe. > $\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle $a,b,c \in R$: > $$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$ Med mindre det skaper forvirring, kommer vi ofte til å refere til ringen bare ved navnet til mengden, for eksempel *ringen $R$*. En **kommutativ ring** er en ring hvor *multiplikasjon* er kommutativ. En **ring med enhet** er en ring hvor den multiplikative semigruppen $\left<R, \cdot\right>$ er en monoide; dvs. har et identitetselement $e$. Identitetselementet denoteres ofte ved $1$. > ** Definisjon (Divisjonsring):** La $R$ være en ring. Ringen er en **divisjonsring** om $\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe. Vi må fjerne elementet $0$ fra mengden vår, gitt at $\forall a \in R$, $a0 = 0 \neq 1$. $0$ kan dermed ikke ha en invers i $R$ under multiplikasjon. > ** Definisjon (Kropp):** En **kropp** er en kommutativ divisjonsring. Mange av divisjonsringene vi jobber med er kropper. Et eksempel på en divisjonsring som ikke er en kropp, er ringen av *2x2-dimensjonale matriser over $\mathbb{R}$*, siden matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ. > ** Definisjon (Nulldivisor):** $a,b \in R$ er **nulldivisorer** i ringen $R$ om $ab = 0$ men $a \neq 0,\> b \neq 0$. Om $ab = 0$ (men ikke nødvendigvis $ba$), er $a$ en **høyre nulldivisor**, og $b$ en **venstre nulldivisor**. > ** Definisjon (Integritetsdomene):** Et **integritetsdomene** er en ring uten nulldivisorer. Et eksempel på et integritetsdomene er $\mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}_n, n \in \mathbb{Z^+}$ er ikke generelt et integritetsdomene. Ta f.eks. $Z_4$, her er $2\cdot2 \equiv 4 \equiv 0\>(\text{mod} 4)$. > ** Teorem:** En kropp er et integritetsdomene. *Bevis:* La $F$ være en kropp. La $x,y \in F$ hvor $x \neq 0$. Siden $F$ er en kropp, har $x$ en multiplikativ invers $x^{-1} \neq 0$. $xy = 0 \implies x^{-1}(xy) = 0 \implies 1\cdot y = 0 \implies y = 0$, siden $x, x^{-1} \neq 0$. Et integritetsdomene trenger ikke nødvendigvis være en kropp. > **Definisjon (Underring):** La $\left<R, +, \cdot\right>$ være en ring, og la $\emptyset \subset S \subseteq R$ ($S$ er en ikketom delmengde av $R$). Da er $S$ en **underring** av $R$, om $\left<S, +, \cdot \right>$ er en ring. Analogt bruker vi ordene **underkropp** av en kropp, og en **underdivisjonsring** av en **divisjonsring**. Merk at det ikke er nødvendig å kreve eksplisitt at $S$ (definert som tidligere) er *lukket under $+$, og $\cdot$*, siden dette er implisert via $\mathscr{R}_1, \mathscr{R}_2, \mathscr{R}_3$ for $S$. > **Teorem**: En ikketom delmengde $S$ av en ring $R$ er en underring hvis og bare hvis for alle $a,b \in S$, så er $a-b \in S$, $ab \in S$. *Bevis*: Vi viser først at $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe, og at $\left<S, \cdot \right>$ er en semigruppe. $a-b \in S \implies a + (-b) \in S$. Dette gir oss med en gang flere ting: 1. $a + c$ er lukket under $+$ (la $-b = c$). 2. $\forall a$, $a^{-1} \in S$ La til slutt $b = a$, dermed er $a-a = e \in S$, og $\left<S, +\right>$ er en abelsk gruppe. Vi bemerker oss til slutt at $ab$ åpenlyst er assosiativ, og lukket i $S$, siden $\cdot$ er assosiativ i $R$, og $ab \in S$. $\left<S, \cdot \right>$ er dermed en semigruppe. Videre holder de distributive lovene i $S$ siden de holder i $R$. Vi har nå vist at hvis $a-b \in S, ab \in S$, så er $S$ en underring. La oss så vise det motsatte, nemlig at hvis $S$ er en underring, så holder $a-b \in S, ab \in S$. Dette er åpenlyst sant utifra definisjonen til en ring.

> **Teorem:** Senteret til en ring $R$ er en underring av $R$. # Idealer & Homomorfier # Moduler og vektorrom