Innledende definisjoner

Flere definisjoner

Definisjon. Senteret til en ring $R$, er gitt ved $Z(R) = \{a \in R | xa = ax,\> \forall x \in R\}$.

Teorem. Senteret til en ring $R$ er en underring av $R$.

Bevis: Utelatt til leseren. Vis at $(a-b)x = x(a-b)$ og $(ab)x = x(ab)$.

Definisjon. Om det finnes et positivt heltall $n$ slik at $nx = 0,\>\forall x \in R$ hvor $R$ er en ring, kalles den minste av disse karakteristikken til R, og skrives $\text{char}\>R$. Om det ikke finnes en slik $n$ sier vi at $R$ har karakteristikk 0.

Teorem. La $F$ være en kropp. Da er karakteristikken til $F$ enten $0$ eller et primtall.

Bevis (Uformelt): La $n \neq 0$ være karakteristikken til $F$, og anta et $n$ ikke er primsk. Da er $n = n_1\cdot n_2$. Men da er $ne = (n_1n_2)e = (n_1e)(n_2e) = 0$. Dette betyr at enten $n_1e$ eller $n_2e$ er $0$, siden $F$ er en kropp (og dermed et integritetsdomene). Dermed er karakteristikken mindre enn $n$, en kontradiksjon. Dermed må $n$ være primsk.

Definisjon. Et element $a$ in en ring $R$ kalles nilpotent, hvis det finnes et positivt heltall $n$ slik at $a^n = 0$.

0 er åpenlyst et nilpotent element.

Definisjon. Et element $a$ er idempotent i en ring $R$ hvis $a = a^2$

Definisjon. La $A$ være en ring, og la $F$ være en kropp. Vi sier at $A$ er en algebra over $F$, hvis det finnes en mapping $(x, \alpha) \to x\alpha$ fra $F \times A \to A$, slik at følgende identiteter holder for $\alpha, \beta \in F$, $x \in A$: $$\begin{align} (i)&\> (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \\ (ii)&\> \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \\ (iii)&\> (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x) \\ (iv) &\> \alpha(xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y) (v) &\> 1x = x \\ \end{align}$$

Direkte produkt og direkte sum

Vi definerer til slutt konseptene direkte sum og direkte produkt av ringer.

Definisjon. La $R_1$ og $R_2$ være ringer. La så $R$ være mengden $\{(a_1, a_2)| \forall a_1, a_2; a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 \}$. Vi definerer to binære operasjoner $+$ og $\cdot$ på $R$ ved: $$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ $$(a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2)$$ $R$ kalles for det direkte produktet av $R_1$ og $R_2$, og skrives ofte $R_1 \times R_2$. (Om vi har et behov for å forveksle det direkte produktet med det kartesiske produktet av mengdene $R_1$ og $R_2$ kan det være fornuftig å unngå denne notasjonen).

Via induksjon kan vi utvide definisjonen vår fra to ringer til en familie med $n$ ringer på den naturlige måten.

Definisjon. Den direkte summen av to ringer $R_1$ og $R_2$ er delmengden $S$ av $R = R_1 \times R_2$ bestående av alle $(a_i) \in R$ som maksimalt har et endelig antall elementer lik $0$. Den direkte summen skrives $R_1 \bigoplus R_2$.

På samme måte som for direkte produkt kan vi utvide definisjonen vår til $n$ ringer.

Merk at om familien av ringer $R_i$ er endelig er den direkte summen og det direkte produktet ekvivalent.

Polynomringer

Definisjon. La $R$ være en ring. $R[x]$ betegner ringen av polynomer over $R$ og består av alle utrykk $$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ Addisjon og multiplikasjon over $R[x]$ er definert på den naturlige måten: $$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots$$ $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n}$$ hvor $c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$

Vi sier at den største $i$ slik at $a_i \neq 0$ og $a_{i+k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}$ er graden til polynomet.

Det er også naturlig å definere ringen av polynomer over $R$ som alle uendelige sekvenser av elementer fra $R$:

$$(a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n, 0, 0, 0)$$

med addisjon og multiplikasjon definert som over.

Vi kaller $x$ i et polynom en ubestemt. Om vi lar $f(x)$ være et polynom, kaller vi $f(a),\> a \in R$ for evalueringen av $f$ i $a$.

Eksempel

La $f(x) = x^2 + 4$ og $g(x) = x^3 + x + 2$ være polynomer over $\mathbb{Z}_5$. Regn ut $h(x) = f(x)\cdot g(x)$. Evaluer så $h$ i $a=2$

$$(x^2 + 4)(x^3 + x + 2) = (x^5 + 4x^3 + x^3 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 4x + 2x^2 + 8) \equiv (x^5 + 2x^2 + 4x + 3\>)(\text{mod}\> 5)$$

$$h(2) = 2^5 + 2^3 + 2^3 + 3 = 32 + 8 + 8 + 3 \equiv 2 + 3 + 3 + 3 = 11 \equiv 1\> (\text{mod}\> 5)$$

Definisjon

Et ideal til en ring $R$ er det samme som en normal undergruppe er til en gruppe. Vi definerer det her på 3 forskjellige, men ekvivalente måter.

Definisjon. La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et ideal av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ $$a - b \in S \\ ar \in S\> \text{og}\> ra \in S$$

Dette er definisjonen oppgitt [1]. Videre har vi også følgende ekvivalente definisjoner:

Definisjon. En underring $S$ av $R$ er et ideal hvis den er invariant under konjugasjon i $R$, dvs: $$\forall r,s;\> s \in S,\> r \in R; srs^{-1} \in S$$

En annen måte å skrive denne definisjonen på er:

Definisjon. En underring $S$ av $R$ er et ideal hvis dens høyre og venstre restklasser sammenfaller: $$\forall r \in R;\> Sr = rS$$

Vi definerer så venstre og høyre idealer på den naturlige måten:

Definisjon. La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et høyre ideal av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ $$a - b \in S$$ $$ar \in S$$

Et venstre ideal defineres helt analogt. Vi kan gi en fjerde definisjon av idealer ved å si at et ideal er en underring som er både et høyre og venstre ideal.

Teorem. La $D$ være en divisjonsring. Alle idealer (også høyre og venstre) av $D$ er det trivielle idealet $I = D$.

Bevis: La $d \in I$, da er $d^{-1} \in I \implies 1 \in I$ (en hver underdivisjonsring har enhet), dermed har vi $r1 = r \in I$ for alle $r \in R$. Altså er $R = I$.

Teorem. La $(A_i)$ være en familie med høyre (venstre) idealer i $R$, da er $\bigcap_{i} A_i$ også et ideal.

Bevis: Utelatt til leseren. Tips, la $a,b \in \bigcap_{i} A_i$ og vis at elementene tilfredstiller kravene i definisjonen vår til et ideal.

Definisjon. Det minste høyre (venstre) idealet som inneholder en delmengde $S$ av en ring $R$ denoteres $(S)_r$(for et venstre ideal $(S)_l$), og kalles høyre (venstre) idealet generert av S. En annen notasjon for en enedelig mengde $S = \{a_1,\dots,a_n\}$ er $(a_1,\dots,a_m)_r$.

Definisjon. Et høyre ideal $I$ av en ring $R$ er kalt et prinsipielt høyre ideal hvis det finnes en $a \in R$ slik at $I = (a)_r$.

Tilsvarende definerer vi et prinsipielt venstre ideal og et prinsipielt ideal.

En ring som bare har prinsipielle idealer er kalt en prinsipiell ideal ring.

Faktorringer

Vi definerer faktorringer på to forskjellige måter. Den første mer formell enn den andre.

Definisjon. La $I$ være et ideal til en ring $R$. De additive restklassene $R/I$ danner en ring, kalt faktorringen av $I$ i $R$, under operasjonene: $$(a+I) + (b+I) = (a+b)+I$$ $$(a+I)(b+I) = (ab)+I$$ Det er enkelt å verifisere at $\left<R/I, +, \cdot\right>$ er en ring.

Denne definisjonen kan være noe tung å tygge med mindre du har en god intuisjon for restklasser. Gitt viktigheten til idealer og faktorringer gir vi et par konkrete eksempler:

Eksempel. La $R = \mathbb{Z}$ og la $I = 3\mathbb{Z} = \{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$. Husk at restklassene til $I$ i $R$ er alle $rI$ og $Ir$, som i dette tilfellet er like, definert ved: $rI = \{ri | \forall i \in I\}$.

For vårt eksempel er det dermed klart at restklassene er mengdene $\{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$, $\{\dots, -2, 1, 4, 7, \dots\}$, og $\{\dots, -1, 2, 5, 8, \dots\}$. Disse kan også skrives som $0 + I$, $1 + I$ og $2 + I$. Det er videre klart at disse danner en ring under addisjon og multiplikasjon. Ta for eksempel $2 + I + 1 + I = 3 + I = I$ ($2 +I$ har invers $1 + I$), og $I + 2 + I = 2 + I$ (identitet er $I$).

Vi bemerker oss til slutt at faktorringen $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}_3$. Vi kan uformelt forsvare dette ved å se at $1 + I$ er alle elementer som er lik $1\>\text{mod}\>3$, $2 + I$ alle elementer som er lik $2\>\text{mod}\>3$ osv. Dette motiverer oss til følgende definisjon av faktorringer:

Definisjon. La $I$ være et ideal til en ring $R$. La $\equiv$ være en relasjon definert på $R$ slik at for $a,b \in R$ så er $a \equiv b\>(\text{mod}\>I)$ hvis og bare hvis $a-b \in I$. La faktorringen $R/I$ være mengden av alle ekvivalensklasser av $\equiv$. Ekvivalensklassen som inneholder et element $a$ skrives $\overline{a}$.

Uformelt sier definisjonen at $a \equiv b\>(\text{mod}\>I)$ hvis og bare hvis $a$ og $b$ er i samme restklasse til $I$, og at $R/I$ er mengden av alle slike restklasser. Det er tydelig at denne definisjonen er helt analog med den første, men vi har nå litt mer kjøtt på beina til å danne en intuisjon av hva en faktorring faktisk er. Det er verdt å merke seg at kravet $a-b \in I$ gir oss at $a$ og $b$ er i samme restklasse fordi en restklasse er en underring, og er dermed lukket under addisjon.

Korollar. La $R/I$ være en faktorring. Da er $I$ mengden av alle elementene som er i $\overline{0}$ i $R/I$. Dette følger umiddelbart av definisjonene våre.

Eksempel. La $R$ være en ring med enhet og la $R[x]$ være ringen av polynomer over $R$. La oss se på $R[x]/(x^2 + 1)$.

Vi begynner med å se på $(x^2 + 1)$. Dette er ringen av alle multipler av $f(x) = x^2 + 1$: $$\{\dots,\> 0,\> x^2 + 1,\> 2x^2 + 2,\> 3x^2 + 3, \dots\}$$ .

Å beskrive alle restklassene til $(x^2 + 1)$ i $R$ er nå målet vårt. La oss først bemerke oss at $x^2 + 1 = 0$ i faktorringen vår. Dette betyr at $\overline{x^2} = \overline{-1}$, altså er $x^2$ i samme restklasse som $1$. Dette er tydelig siden

$$-1 + (x^2+1) = \{\dots,\>-1,\> x^2,\> 2x^2 + 1,\> 3x^2 + 2,\> \dots\}$$

Dette gir oss videre at enhver $\overline{x^n} = \overline{a}\overline{x} + \overline{b}$, siden vi kan redusere polynomer av grad $> 2$ ved å bruke $\overline{x}^2 = \overline{-1}$. For eksempel er $\overline{x^3} = \overline{x}\overline{x^2} = -x$.

La oss så se på et generelt polynom $g(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1x + a_0$, og restklassen til dette polynomet $\overline{g(x)}$. Siden et hvert ledd av $x$ større eller lik $2$ kan reduseres til et polynom av grad $1$ i faktorringen, får vi:

$$\overline{g(x)} = \overline{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1x + a_0} = \overline{\alpha}\overline{x} + \overline{\beta}$$ .

Faktorringen $R[x]/(x^2 + 1)$ er dermed

$$R[x]/(x^2 + 1) = \{\overline{\alpha}\overline{x} + \overline{\beta} \>|\> \alpha, \beta \in R\}\quad \text{hvor}\>x^2 = -1$$

Overbevis deg selv over at denne faktorringen er kroppen til alle komplekse tall.

Definisjon

Definisjon. La $\phi$ være en avbildning mellom to ringer $R$ og $R'$. $\phi$ er en homormorfi hvis følgende holder for $a,b \in R$: $$\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \\ \phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$$

To eksempler.

La $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ være gitt ved $\phi(x) = x \>(\text{mod}\>2)$. Da er $\phi$ åpenlyst en homomorfi.

La $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ være gitt ved $\phi(x) = \frac{1}{x}$. $\phi$ ikke en homomorfi siden $\phi(a+b) = \frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \phi(a) + \phi(b)$.

Isomorfi

Definisjon. En homomorfi som er injektiv og surjektiv kalles for en isomorfi, eller en monomorfi.

Isomorfisme er en ekvivalensrelasjon.

Faktorringer og homomorfier

Avsluttende definisjoner og eksempler

Definisjon. En avbildning $\phi :R \to S$ er en antihomomorfi hvis $$\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y),\>\phi(xy) = \phi(y)\phi(x)$$ Avbildningen bevarer altså addisjon, men reverserer multiplikasjon.

Sum og direkte sum av idealer

Definisjon. La $A_1, A_2\dots A_n$ være høyre idealer i en ring $R$, og la $A$ være et høyre ideal som inneholder alle $A_i$. Da kalles $A_i$ summen av $A_1,A_2,\dots,A_n$. Vi skrives summen av $A_i$ som $A_1 + A_2 + \dots + A_N$, eller $\sum_{i}^n A_i$.

Overbevis deg selv om at summen av $A_i$ kan skrives som $S = \{a_1 + a_2 + \dots + a_n | a_i \in A_i,\>i=1,\dots,n\}$.

Definisjon. La $A = \sum_{i=1}^n A_i$ være en sum av idealer. Om hver $a \in A$ kan skrives som en unik sum $a = \sum_{i=1}^{n} a_i,\>a_i \in A$ så kalles $A$ en direkte sum av idealer. Vi kan skrives dette ved $$A = A_1 \oplus A_2 \oplus \dots \oplus A_n = \bigoplus_{i=1}^{n}A_i$$

Maksimale og primske idealer

Definisjon. La $R$ være en ring og $A$ et ideal av $R$. $A$ kalles maksimalt om for alle idealer $B \supset A$ av $R$, så er enten $B = A$, eller $B = R$.

Definisjon. La $A$ og $B$ være idealer av $R$ slik at $A + B = R$. Da sier vi at $A$ og $B$ er komaksimale.

Definisjon. La $A$ være et ideal av $R$. $A$ er maksimalt hvis og bare hvis for alle idealer $X \not\subset A$ så er $X$ og $A$ komaksimale.

Definisjon. En ring $R$ kalles for en simpel ring hvis de eneste idealene i $R$ er ${0}$ og $R$.

Før vi definerer primske idealer introduserer vi litt ny notasjon. Vi sier at produktet av to høyre (venstre) idealer $A$ og $B$, $AB$, er mengden:

$$\{\sum_{\text{finite sum}}a_i b_i \mid a_i \in A_, b_i \in B\}$$

Det er med andre ord mengden av alle elementprodukter fra $A$ og $B$.

Lemma. Produktet $AB$ av to høyre (venstre) idealer $A$ og $B$ av $R$ er selv et høyre (venstre) ideal.

Bevis: La $a \in A$ og $b \in B$. Da er $ab \in AB$. La så $r \in R$. Da er

$$rabr^{-1} = rar^{-1}rbr^{-1} = (rar^{-1})(rbr^{-1}) \in AB$$

Produktet av flere enn to idealer følger induktivt.

Definisjon. Et ideal $P$ i en ring $R$ er et primsk ideal hvis for idealer $A$, $B$ i $R$, slik at $AB \subseteq P$, så er enten $A \subseteq P$ eller $B \subseteq P$.

Bakgrunnen for bruken av utrykket primsk er analogien til primske heltall: *Hvis $p$ er et primtall og $a, b$ er heltall slik at $p|ab$, så har vi at $p|a$ eller $p|b$.

Nilpotente idealer

Definisjon. Et nilpotent ideal er et ideal $A$ av $R$ slik at det finnes et heltall $n$ slik at $A^n = (0)$