TVM4116: Hydromekanikk
Innledning
Hydromek trenger ikke være komplisert.
Viskositet
Newtonsk fluid
I faget blir det bare regnet på newtonske fluider. Det betyr at viskositeten til et fluid tilnærmes som konstant. I virkeligheten vil viskositeten øke når farten og skjærspenningen øker. Ketchup renner for eksempel lettere ut når du slår litt på siden av flaska.
Skjærspenninger
Formel for skjærspenning:
Oppgaveregning
Ofte må skjærspenning
Hydrostatisk trykk
Trykket i et fluid
Trykket
Utledning av det statiske trykket i et fluid
Trykk er lik kraft over areal.
Oppgaveregning statikk
I oppgaver skal du ofte finne kraften
For at integralet skal kunne løses må
Eksempel: Enkel vertikal vegg.
Hvor stor er kraftresultanten fra vannet på veggen til et vanlig svømmebasseng? Veggen er 25 m bred og dybden er 3 m.
Siden veggen er verikal blir
Svømmebasseng har som oftest vann i seg, så
Eksempel: Krum vegg, integrasjon
Krum vegg med geometri som en kvart sirkel med radius 3m. Bredden på veggen er 5m. Dybden fra overflate og til bunn er 3m. Generell formel:
Vi har nå 3 variabler vi kan integrere over.
Integrerer over lengden L
Vi må da finne uttrykket for
Videre vet vi at
Vi har da funnet
Integralet blir da
Integrasjonsgrensene blir fra null til lengden av en kvartsirkel med radius 3.
Integrerer over vinkelen phi.
Vi har funnet
Oppdrift og stabilitet
Arkimedes prinsipp
Et hvert legeme i ro som er helt eller delvis nedsunket i et fluid blir påvirket av en kraft som er lik vekten av det fortrengte fluidet.
Oppdriftskraft, buoyancy force på engelsk, er lik tettheten
Oppgaveregning
Systemet er i kraftlikevekt hvis alt står i ro. I oppgavesammenheng betyr dette at
Stabliliet
Kontinuitetsligningen
Konservasjon av vannføring
Uansett hvordan rørgeometrien endrer seg vil vannføringen
Reynoldstallet
Reynoldstallet er en dimensjonsløs størrelse som forteller noe om strømningen til et fluid.
For strømning i fulle rør:
der U er gjennomsnittshastighet over tverrsnittet,
For strømning med fri overflate:
der
Hydraulisk radius er lik tverrsnittsareal
Klassifisering:
$Re<2000$ betyr at strømningen er laminær.$Re>2500$ betyr at strømningen er turbulent.$2000<Re<2500$ betyr at man ikke kan trekke en konklusjon.
Ofte er det ikke noe problem å klassifisere strømningen. Turbulent strømning vil i
Bernoullis ligning
Utledning
Bernoulli sier at energien til et fluid er denne samme i alle deler av røret.
som forenklet blir:
I hydromek blir formelen skrevet om. Formelen deles på
Bernoulli
Brukes kun når det ikke tapes energi. Leddene har navnene: - Referansehøyde/datum - Trykkhøyde - Hastighetshøyde
Bernoulli til oppgaver
Bevaring av energi fra et punkt
I oppgaver kan vi finne ukjente størrelser uansett hvor i røret hvis vi har litt info. Ofte vil trykket på et punkt i røret være like null. Da forsvinner et trykkledd
Bernoulli med manometer
Impulssats
Impulssatsen beskriver krefter som virker på et fluid. Newtons 2. lov sier at summen av krefter er lik endring i massefart.
Utledning
Endring i massefart
Masse er det samme som tetthet ganger volum og tettheten er den samme i hele røret.
Volum er det samme som tverrsnittsareal ganger lengde. Vi ser på en infinitesimal lengde.
Videre kan
Vi deler på
Gjennom kontinuitetsligningen vet vi at vannføring er konservert og er lik tverrsnitt ganger fart.
Vi forenkler og står igjen med ligningen for kraften:
eller dekomponert:
Oppgaveregning
Ofte kombineres impulssatsen med kontinuitetsligninga og bernoulli. Det er derfor viktig å ha kontroll på fartsretninger, høyder og trykk.
Oppgaver går vanligvis ut på finne kraften som virker på en rørdel. Dekomponering blir naturlig hvis du vet helningen på røret. Oppgaver tar bare for seg 2 dimensjoner, så du trenger bare å finne
Energitap
Start med å lære deg reynoldstallet først.
Generell formel for alle slags friksjonstap, DARCYS:
Friksjonstap for laminær strømning
For laminær strømning og bare for den er friksjonskoeffisienten
Satt inn i den generelle formelen:
Med formelen for reynoldstallet innsatt:
Og forenklet:
Friksjonstap for turbulent strømning
Repeterer generell formel for friksjontap:
For turbulent strømning (Re > 3000) må
- Finn relativ ruhet,
$\frac{\epsilon}{D}$ ($\epsilon$ blir oppgitt. HUSK AT$\epsilon$ og D må HA SAMME ENHET, METER), og finn den nærmeste kurve på høyresiden av diagrammet. - Beregn reynoldstallet,
$Re=\frac{UD}{\nu}$ og finn den på horisontalaksen helt nederst. - Tegn en strek fra der du fant reynoldstallet opp til der streken treffer kurven til ruheten du fant.
- Fra det punktet, gå horisontalt til venstre til slutten av diagrammet. Der finner du friksjonskoeffisienten din.
Og plugg det inn i formelen.
Singulærtap
Singulærtap er små energitap der geometrien til røret endrer seg raskt. Formelen er generell og koeffisienten
Ekspansjon
Hvis rørdiameteren brått utvider seg:
der
der
Kontrakjon
Motsatte av ekspansjon. Rørdiameteren snever brått inn.
der
Exit loss
Når et fluid strømmer fra et rør til et stor reservoar. Fluidet taper all kinetisk energi fordi hastigheten i et reservoar er null. Dette kan ses fra konstanten
Entrance loss/innløp
Når et fluid strømmer fra et reservoar inn i et rør. Her vil kanten av røret, der veggen til reservoaret slutter og røret starter, spille en stor rolle for energitapet. Her brukes indeksen
For
Og hvis kanten er godt avrundet blir K tilnærmet til:
Energiligningen
Bernoulli pluss friksjontap pluss tap av energi og gevinst av energi.
For 2 punkt på en strømlinje vil energi etter minus energi før, være like energi tilført minus energi fjernet.
Oppgaveregning/energilinje
Her er det viktig å ha kontroll på alle energiledd gjennom en strømlinje. Følg røret nedstrøms, noter energiet til vannet i meter, trekk fra eventuelle tap på veien (friksjon, singulær, vannkraft, pumpe).
$z$ : Stillingsenergi$\frac{P}{\rho g}$ : trykkleddet/arbeid$\frac{U^2}{2g}$ : hastighetsenergi- Friksjonstap : laminær etter turbulent
- Singulærtap: rørdeler/bend/innløp/utløp
- Tilsatt energi : pumpe
- "Tap" av energi : turbin/vannkraft
Kritisk strømning
Vi ser på en rektangulær kanal
Spesifikk energi
Spesifikk energi er definert som stillingsenergi + hastighetesenergi.
Fra bernoulli:
For et rektangulært tverrsnitt er arealet lik bredde ganger dybde
Siden vannføringen
Merk: Dette er en andregradsfunksjon. Det vil si at for 2 ulike dybder
Vi ønsker nå å finne ut hvilen vanndybde
Forenkler:
innsatt
Venstreside definerer vi som froude-tallet.
Froude-tallet
eller
Vi vet da at når
- Fr<1 : Underkritisk strømning (lav hastighet U og høy dybde y)
- Fr=1 : Kritisk strømning (minste spesifikke energi)
- Fr>1 : Overkritisk strømning (høy hastighet U og lav dybde y)
Vannstandsprang
Lang utledning med bevaring av bevegelsesmengde fra overkritisk til underkritisk.
Vannstandsprang
der
Tap i energi for et vannstandsprang
Frispeilstrømning
Blir ofte brukt sammen med kritisk strømning/froude
Manningsformel
der
Bølgeteori
Bruk formelarket
Tall
- Bølgelengde,
$L$ - Perioden,
$T$ - Vanndyb,
$h$ eller$d$ - Bølgeamplitude,
$a$ - Fasehastighet,
$c=\frac{L}{T}$ - Bølgetallet,
$k=\frac{2\pi}{L}$ - Sirkelfrekvens,
$\omega=\frac{2\pi}{T}$ - Horisontal hastighet,
$u$ - Vertikal hastighet,
$w$ - Høydekoordinat,
$z$ , der 0 er overflaten med positiv retning oppover
Klassifisering av relativ vanndybde
Relativ vanndybde =
$\frac{h}{L}>=0.5$ : Dyp vann$0.5>\frac{h}{L}>=0.05$ : Endelig vann dyp$\frac{h}{L}<=0.05$ : Grunt vann
Eksterne ressurser
Høyreklikk pluss åpne link i ny fane.