Table of Contents

Innledning
Viskositet
Hydrostatisk trykk
Oppdrift og stabilitet
Kontinuitetsligningen
1. Konservasjon av vannføring
Reynoldstallet
Bernoullis ligning
Impulssats
1. Utledning
2. Oppgaveregning
Energitap
Energiligningen
1. Oppgaveregning/energilinje
Kritisk strømning
1. Spesifikk energi
2. Froude-tallet
Vannstandsprang
1. Vannstandsprang
2. Tap i energi for et vannstandsprang
Frispeilstrømning
1. Manningsformel
Bølgeteori
1. Tall
2. Klassifisering av relativ vanndybde
Navier-Stokes
1. Akselerasjon
2. Virvling
Eksterne ressurser

‹

TVM4116: Hydromekanikk

Tags:

Innledning

Hydromek trenger ikke være komplisert.

Viskositet

Newtonsk fluid

I faget blir det bare regnet på newtonske fluider. Det betyr at viskositeten til et fluid tilnærmes som konstant. I virkeligheten vil viskositeten øke når farten og skjærspenningen øker. Ketchup renner for eksempel lettere ut når du slår litt på siden av flaska.

Skjærspenninger

Formel for skjærspenning: $$\tau=\mu \frac{du}{dy}$$, der $\mu$ er den dynamiske viskositetskoeffisienten til fluidet og $\frac{du}{dy}$ er hastigheten over avstanden mellom underlagene.

Oppgaveregning

Ofte må skjærspenning $\tau$ skrives som $\frac{F}{A}$. Dynamisk viskositetskoeffisient $\mu$ blir enten oppgitt eller må slås opp i tabell. Dynamisk har sammheng med kinematisk, $\nu=\frac{\mu}{\rho}$.

Hydrostatisk trykk

Trykket i et fluid

Trykket $P$ øker proporsjonalt med vertikalavstanden i fluidet. I oppgaveregning er det super-viktig å holde fokuset på dette prinsippet. Hvis du dykker fra $y_1=-5 m$ til $y_2=-10 m$ så dobler trykket fra fluidet. Og motsatt andre vei. I tillegg virker trykket normalt på alle overflater i fluidet.

Utledning av det statiske trykket i et fluid

Trykk er lik kraft over areal. $$P=\frac{F}{A}$$ $$P=\frac{mg}{A}$$ Masse er det samme som tetthet ganger volum. $m=\rho V$ $$P=\frac{\rho Vg}{A}$$ Volum over areal gir høyde $h$ som innsatt gir formelen: $$P=\rho gh$$

Oppgaveregning statikk

I oppgaver skal du ofte finne kraften $F$ som virker på en vegg eller luke. $$F=PA$$ $$F=\rho ghA$$ Ofte er bredden konstant. Arealet er bredde ganger lengde. $$F=\rho gh \cdot b \cdot L(h)$$ Det gjør det betraktelig lettere å bruke calculus for å finne kraften. Vi ser på en infinitesimalt endring $\Delta F$ på et infinitesimalt endring $\Delta L$, med konstant trykk $P$. $$\Delta F=P \cdot b \cdot \Delta L$$ $$\Delta F=\rho gh \cdot b \cdot \Delta L$$ $$F=\int \rho ghb \cdot \Delta L$$ $$F=\rho gb \int h(L) \cdot \Delta L$$

For at integralet skal kunne løses må $h$ skrives som en funksjon av lengden $L$, eller motsatt.

Eksempel: Enkel vertikal vegg.

Hvor stor er kraftresultanten fra vannet på veggen til et vanlig svømmebasseng? Veggen er 25 m bred og dybden er 3 m. Siden veggen er verikal blir $h(L)$ lik $L$.

$$F= \rho gb\int_{L_1}^{L_2} L \cdot \Delta L $$ $$F= \rho gb \int_{0}^{3} L \cdot \Delta L $$ $$F=\rho gb \frac{1}{2}L^2 \Big|_0^3$$

Svømmebasseng har som oftest vann i seg, så $\rho=1000 \frac{kg}{m^3}$. Gravitasjonskonstanten er $g=9.8 \frac{m}{s^2}$ og bredden $b=25m$. Vi integrer over dybden fra $h=0$ til $h=3$

$$F=1000 \cdot 9.8 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} (3^2-0^2)= 1.1 \cdot 10^6 N $$

Eksempel: Krum vegg, integrasjon

Krum vegg med geometri som en kvart sirkel med radius 3m. Bredden på veggen er 5m. Dybden fra overflate og til bunn er 3m. Generell formel:

$$F=\rho gb \int h(L) \cdot \Delta L$$

Vi har nå 3 variabler vi kan integrere over. $\Delta L$, $\Delta \phi$ eller $\Delta h$. For å kunne integrere over høyden på du ha doktorgrad i trigonometri

Integrerer over lengden L

$$F=\rho gb \int h(L) \cdot \Delta L$$

Vi må da finne uttrykket for $h(L)$ for å kunne løse integralet. Trigonometri forteller oss at sinus er relatert til høyden. $$\sin \phi =\frac{h}{r} \Rightarrow h=r \cdot \sin \phi$$

Videre vet vi at $\phi$ er relatert til lengden.

$L=\phi \cdot r \Rightarrow \phi = \frac{L}{r} \Rightarrow \sin \phi = sin (\frac{L}{r})$

Vi har da funnet $h(L)$ som blir:

$$h(L)= r \cdot \sin (\frac{L}{r})$$

Integralet blir da

$$F=\rho gb \int r \cdot \sin (\frac{L}{r}) \cdot \Delta L$$

$$F=\rho gbr \int \sin (\frac{L}{r}) \cdot \Delta L$$

$$F = \rho gbr (-r \cdot \cos (\frac{L}{r})) \Big|$$

Integrasjonsgrensene blir fra null til lengden av en kvartsirkel med radius 3. $L=\phi \cdot r = \frac{\pi}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \pi$

$$F = \rho gbr (-r \cdot \cos (\frac{L}{r})) \Big|_{0}^{\frac{3}{2}\pi}$$

$$F = \rho gbr (-3 \cdot \cos (\frac{\frac{3}{2}\pi}{3})-(-3 \cdot cos (\frac{0}{3})))$$

$$F = \rho gbr (-3 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$$

$$F = 1000 \cdot 9.8 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (3) = 441 kN$$

Integrerer over vinkelen phi.

Vi har funnet $L$ uttrykket med $\phi$. Det gjenstår bare å finne $h(L)$ uttrykket med $\phi$. Sinus er lik høyde over hypotenus. $\sin \phi =\frac{h}{r}$. Høyden blir da $\sin \phi \cdot r$

$h(L)=\sin \phi \cdot r$ og $\Delta L= \Delta \phi \cdot r$

$$F=\rho gb \int h(L) \cdot \Delta L$$

$$F=\rho gb \int \sin \phi \cdot r \cdot \Delta \phi \cdot r$$

$$F=\rho gbr^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \phi \cdot \Delta \phi$$

$$F=\rho gbr^2 (-\cos \phi )\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$F=\rho gbr^2 (-\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0))$$

$$F=\rho gbr^2 (0+1)$$

$$F=1000 \cdot 9.8 \cdot 5 \cdot 3^2=441 kN$$

Oppdrift og stabilitet

Arkimedes prinsipp

Et hvert legeme i ro som er helt eller delvis nedsunket i et fluid blir påvirket av en kraft som er lik vekten av det fortrengte fluidet. Oppdriftskraft, buoyancy force på engelsk, er lik tettheten $\rho$ til fluidet ganger $g$, ganger volumet $V$ av delen som er nedsunket i fluidet. $$F_{oppdrift}=\rho gV$$ Hvis oppdriften er større enn vekten til legemet, vil legemet flyte. Dette betyr at tettheten til legemet må være mindre enn tettheten til fluidet, for at det skal flyte.

Oppgaveregning

Systemet er i kraftlikevekt hvis alt står i ro. I oppgavesammenheng betyr dette at $\sum F_{y-retning}=0$. Denne ligningen brukes i oppgaver til å bestemme ukjente størrelser. De ukjente størrelsene er ofte knyttet til geometrien til legemet. Volumer må da skrives om. $$F_{oppdrift}-F_{vekt}=0$$ $$\rho_{fluid} \cdot g \cdot V_{fortrengt}-\rho_{legeme} \cdot g \cdot V_{legeme}=0$$

Stabliliet

Kontinuitetsligningen

Konservasjon av vannføring

Uansett hvordan rørgeometrien endrer seg vil vannføringen $Q ({\frac{m^3}{s}})$ være konstant. Vannføring er det samme som volum per sekund og kan gjøres om til fart ganger arealet på tverrsnittet $Q=v \cdot A$. Hvis arealet $A$ til tverrsnittet minker, må farten $v$ øke for at vannføringen $Q$ skal være konservert. Vi kan bruke dette i oppgaver til å finne ukjente størrelser.

$$Q_1=Q_2$$ $$U_1 \cdot A_1 = U_2 \cdot A_2$$

Reynoldstallet

Reynoldstallet er en dimensjonsløs størrelse som forteller noe om strømningen til et fluid.

For strømning i fulle rør:

$$Re=\frac{UD}{\nu}$$

der U er gjennomsnittshastighet over tverrsnittet, $D$ er rørdiameter og $\nu$ er kinematisk viskositetskoeffisient. $\nu$ er avhengig av temperaturen og må hentes fra tabeller. Hvis ikke temperaturen er oppgitt i oppgaven, kan man anta at $\nu=10^{-6}$.

For strømning med fri overflate: $$Re=\frac{4Ur_h}{\nu},$$

der $r_h$ er hydraulisk radius.

Hydraulisk radius er lik tverrsnittsareal $A$ over våt omkrets $P$. $$r_h=\frac{A}{P}$$

Klassifisering:

$Re<2000$ betyr at strømningen er laminær.
$Re>2500$ betyr at strømningen er turbulent.
$2000<Re<2500$ betyr at man ikke kan trekke en konklusjon.

Ofte er det ikke noe problem å klassifisere strømningen. Turbulent strømning vil i $99\%$ av tilfeller gi $Re>>2500$.

Bernoullis ligning

Utledning

Bernoulli sier at energien til et fluid er denne samme i alle deler av røret. $$E=Arbeid+kinetisk energi+potensiell energi = konstant$$ $$Kraft \cdot strekning+\frac{1}{2}mv^2+mgh$$ $$F \cdot s+\frac{1}{2}mv^2+mgh$$ Kraft er det samme som trykk $P$ ganger areal $A$, som gir: $$PAs+\frac{1}{2}mv^2+mgh$$ Areal ganger en lengde $s$ gir et volum $V$: $$PV+\frac{1}{2}mv^2+mgh$$ Ligningen deles på volum for å få tetthet i stedet for masse. $\frac{m}{V}=\rho$. Dette gjør det mye lettere å regne på fluider. $$\frac{PV}{V}+\frac{1}{2}\frac{m}{V}v^2+\frac{m}{V}mgh$$

som forenklet blir:

$$P+\frac{1}{2} \rho v^2+ \rho gh$$

I hydromek blir formelen skrevet om. Formelen deles på $\rho g$. Farten $v$ blir til $U$ og høyden $h$ blir til $z$. 2-tallet plasseres under $U$. Alle ledd får da enheten meter.

Bernoulli

$$Energihøyde=z+\frac{P}{\rho g}+\frac{U^2}{2g}=konstant$$

Brukes kun når det ikke tapes energi. Leddene har navnene: - Referansehøyde/datum - Trykkhøyde - Hastighetshøyde

Bernoulli til oppgaver

Bevaring av energi fra et punkt $1$ til et annet, $2$. $$z_1+\frac{P_1}{\rho g}+\frac{U_1^2}{2g}=z_2+\frac{P_2}{\rho g}+\frac{U_2^2}{2g}$$

I oppgaver kan vi finne ukjente størrelser uansett hvor i røret hvis vi har litt info. Ofte vil trykket på et punkt i røret være like null. Da forsvinner et trykkledd $P_n$. Noen ganger er høydeforskjellen lik null, da forsvinner $z_n$ på begge sider. Ofte får du vite vannføringen og diameteren i et punkt, da er det bare å bruke kontinuitetsligningen for å finne farten i punktet.

Bernoulli med manometer

Impulssats

Impulssatsen beskriver krefter som virker på et fluid. Newtons 2. lov sier at summen av krefter er lik endring i massefart. $\sum F= \frac{d}{dt}(mv)$.

Utledning

$$p=mv$$ $$\sum F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$ $$\sum F \cdot \Delta t = \Delta p$$

Endring i massefart $\Delta p$ er lik masse ganger fart etter, minus masse ganger fart før.

$$\sum F \cdot \Delta t = m_2U_2-m_1U_1$$

Masse er det samme som tetthet ganger volum og tettheten er den samme i hele røret.

$$\sum F \cdot \Delta t = \rho V_2 U_2 - \rho V_1 U_1$$

Volum er det samme som tverrsnittsareal ganger lengde. Vi ser på en infinitesimal lengde. $V=A \cdot \Delta L$.

$$\sum F \cdot \Delta t = \rho A_2 U_2 \cdot \Delta L_2 - \rho A_1 U_1 \cdot \Delta L_1$$

Videre kan $\Delta L$ skrives om til $U \cdot \Delta t$

$$\sum F \cdot \Delta t = \rho A_2 U_2 \cdot U_2 \cdot \Delta t - \rho A_1 U_1 \cdot U_1 \cdot \Delta t$$

Vi deler på $\Delta t$ på begge sider.

$$\sum F = \rho A_2 U_2 \cdot U_2 - \rho A_1 U_1 \cdot U_1$$

Gjennom kontinuitetsligningen vet vi at vannføring er konservert og er lik tverrsnitt ganger fart. $A \cdot U = Q$.

$$\sum F = \rho \cdot Q \cdot U_2 - \rho \cdot Q \cdot U_1$$

Vi forenkler og står igjen med ligningen for kraften:

$$\sum F = \rho Q (\vec{U_2}-\vec{U_1})$$

eller dekomponert:

$$\sum F_x = \rho Q (U_{2x} -U_{1x})$$ $$\sum F_y = \rho Q (U_{2y} -U_{1y})$$ $$\sum F_z = \rho Q (U_{2z} -U_{1z})$$

Oppgaveregning

Ofte kombineres impulssatsen med kontinuitetsligninga og bernoulli. Det er derfor viktig å ha kontroll på fartsretninger, høyder og trykk.

Oppgaver går vanligvis ut på finne kraften som virker på en rørdel. Dekomponering blir naturlig hvis du vet helningen på røret. Oppgaver tar bare for seg 2 dimensjoner, så du trenger bare å finne $x$ og $y$ komponenter til farten.

Energitap

Start med å lære deg reynoldstallet først.

Generell formel for alle slags friksjonstap, DARCYS:

$$h_L=f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{U^2}{2g}$$

Friksjonstap for laminær strømning

For laminær strømning og bare for den er friksjonskoeffisienten $f=\frac{64}{Re}$

Satt inn i den generelle formelen:

$$h_L=\frac{64}{Re} \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{U^2}{2g}$$

Med formelen for reynoldstallet innsatt:

$$h_L=\frac{64 \nu}{UD} \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{U^2}{2g}$$

Og forenklet:

$$h_L=\frac{32 \nu LU}{gD^2}$$

Friksjonstap for turbulent strømning

Repeterer generell formel for friksjontap:

$$h_L=f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{U^2}{2g}$$

For turbulent strømning (Re > 3000) må $f$ hentes fra moodys diagram. Her kommer en kort og konsis framgang.

Finn relativ ruhet, $\frac{\epsilon}{D}$ ($\epsilon$ blir oppgitt. HUSK AT $\epsilon$ og D må HA SAMME ENHET, METER), og finn den nærmeste kurve på høyresiden av diagrammet.
Beregn reynoldstallet, $Re=\frac{UD}{\nu}$ og finn den på horisontalaksen helt nederst.
Tegn en strek fra der du fant reynoldstallet opp til der streken treffer kurven til ruheten du fant.
Fra det punktet, gå horisontalt til venstre til slutten av diagrammet. Der finner du friksjonskoeffisienten din.

Og plugg det inn i formelen.

Singulærtap

Singulærtap er små energitap der geometrien til røret endrer seg raskt. Formelen er generell og koeffisienten $K$ er avhengig av type tap. Ofte kan den slås opp i tabell eller så kan det være oppgitt. Likevel finnes det noen tilnærminger for vanlige rørdeler.

$$h_L=K \cdot (\frac{U^2}{2g})$$

Ekspansjon

Hvis rørdiameteren brått utvider seg:

$$h_L=K \cdot (\frac{U_1^2}{2g}),$$

der $U_1$ er farten før ekspansjonen og K er tilnærmet:

$$K=(1-\frac{A_1}{A_2})^2,$$

der $A_1$ er arealet av tverrsnittet før og $A_2$ er etter.

Kontrakjon

Motsatte av ekspansjon. Rørdiameteren snever brått inn.

$$h_L=K \cdot (\frac{U_2^2}{2g}),$$

der $U_2$ er farten etter kontraksjonen og K tilnærmes til:

$$K=0.5 \cdot (1-\frac{A_2}{A_1})$$

Exit loss

Når et fluid strømmer fra et rør til et stor reservoar. Fluidet taper all kinetisk energi fordi hastigheten i et reservoar er null. Dette kan ses fra konstanten $K$ i ekspansjon. Forholdet $\frac{A_1}{A_2}$ går mot null fordi reservoaret er mye størret enn røret og K går mot 1.

$$h_L=\frac{U_1^2}{2g}$$

Entrance loss/innløp

Når et fluid strømmer fra et reservoar inn i et rør. Her vil kanten av røret, der veggen til reservoaret slutter og røret starter, spille en stor rolle for energitapet. Her brukes indeksen $i$ for innløp.

$$h_i=K \cdot \frac{U^2}{2g}$$

For $90^\circ$ overgang fra vertikal vegg til horisontal rør blir K tilnærmet til:

$$K=0.5$$

Og hvis kanten er godt avrundet blir K tilnærmet til:

$$K=0.04$$

Energiligningen

Bernoulli pluss friksjontap pluss tap av energi og gevinst av energi.

For 2 punkt på en strømlinje vil energi etter minus energi før, være like energi tilført minus energi fjernet.

$$\frac{Q-W}{\rho g Q}=(z_2+\frac{P_2}{\rho g}+\frac{U_2^2}{2g})-(z_1+\frac{P_1}{\rho g}+\frac{U_1^2}{2g}) + h_L$$

Oppgaveregning/energilinje

Her er det viktig å ha kontroll på alle energiledd gjennom en strømlinje. Følg røret nedstrøms, noter energiet til vannet i meter, trekk fra eventuelle tap på veien (friksjon, singulær, vannkraft, pumpe).

$z$ : Stillingsenergi
$\frac{P}{\rho g}$ : trykkleddet/arbeid
$\frac{U^2}{2g}$ : hastighetsenergi
Friksjonstap : laminær etter turbulent
Singulærtap: rørdeler/bend/innløp/utløp
Tilsatt energi : pumpe
"Tap" av energi : turbin/vannkraft

Kritisk strømning

Vi ser på en rektangulær kanal

Spesifikk energi

Spesifikk energi er definert som stillingsenergi + hastighetesenergi.

Fra bernoulli:

$$E=z+\frac{U^2}{2g}$$

$z$ blir til $y$ og $U=\frac{Q}{A}$:

$$E=y+\frac{Q^2}{2gA^2}$$

For et rektangulært tverrsnitt er arealet lik bredde ganger dybde

$$E=y+\frac{Q^2}{2gb^2y^2}$$

Siden vannføringen $Q$ og bredden $b$ er konstant i en rektangulær kanal, har vi nå en funksjon for den spesifikke energi uttrykket bare med vanndybden $y$:.

$$E(y)=y+\frac{Q^2}{2gb^2y^2}$$

Merk: Dette er en andregradsfunksjon. Det vil si at for 2 ulike dybder $y_1$ og $y_2$ vil vi få den samme spesifikke energien.

Vi ønsker nå å finne ut hvilen vanndybde $y_c$ som gir minste spesifikke energi. Bunnpunktet på grafen $E(y)$ vil være punktet $(y_c,E)$ med minst energi. For å finne bunnpunktet til en funksjon deriverer vi og setter lik null.

$$E'(y)=1-\frac{Q^2}{gb^2y^3}$$

$$1-\frac{Q^2}{gb^2y^3}=0$$

$$\frac{Q^2}{gb^2y^3}=1$$

Forenkler:

$$\frac{Q^2}{gA^2y}=1$$

innsatt $\frac{Q}{A}=U$ som gir oss ligningen for minste spesifikke energi:

$$\frac{U^2}{gy}=1$$

Venstreside definerer vi som froude-tallet.

Froude-tallet

$$Fr=\frac{U^2}{gy}$$

eller

$$Fr=\frac{U^2}{g \frac{A}{b}}$$

Vi vet da at når $Fr=1$ har fluidet minste spesifikke energi. Vi kaller dette punktet for kritisk strømning.

Fr<1 : Underkritisk strømning (lav hastighet U og høy dybde y)
Fr=1 : Kritisk strømning (minste spesifikke energi)
Fr>1 : Overkritisk strømning (høy hastighet U og lav dybde y)

Vannstandsprang

Lang utledning med bevaring av bevegelsesmengde fra overkritisk til underkritisk.

Vannstandsprang

$$\frac{y_2}{y_1}=\frac{1}{2}(\sqrt{1-8Fr_1^2}-1),$$

der $y_2$ er vanndybde etter- og $y_2$ er før- og $Fr_1$ er froude-tallet, før spranget.

Tap i energi for et vannstandsprang

$$h_L=\frac{(y_2-y_1)^2}{4y_1y_2}$$

Frispeilstrømning

Blir ofte brukt sammen med kritisk strømning/froude

Manningsformel

$$U=M \cdot R_h^\frac{2}{3} \cdot I^\frac{1}{2},$$

der $M$ er manningstallet og $I$ er helningen på kanalen. Husk kontinuitet $Q=U \cdot A$.

Bølgeteori

Bruk formelarket

Tall

Bølgelengde, $L$
Perioden, $T$
Vanndyb, $h$ eller $d$
Bølgeamplitude, $a$
Fasehastighet, $c=\frac{L}{T}$
Bølgetallet, $k=\frac{2\pi}{L}$
Sirkelfrekvens, $\omega=\frac{2\pi}{T}$
Horisontal hastighet, $u$
Vertikal hastighet, $w$
Høydekoordinat, $z$, der 0 er overflaten med positiv retning oppover

Klassifisering av relativ vanndybde

Relativ vanndybde = $\frac{h}{L}$

$\frac{h}{L}>=0.5$ : Dyp vann
$0.5>\frac{h}{L}>=0.05$ : Endelig vann dyp
$\frac{h}{L}<=0.05$ : Grunt vann

Navier-Stokes

Supa fancy matte

Akselerasjon

For et gitt hastighetsfelt $\vec{U}(x,y,z,t)$ er akselerasjonen $a$:

$$\vec{U}=(u,v,w)$$

$$\vec{a}(x,y,z,t)= \frac{d \vec{U}}{dt}+(\nabla \cdot \vec{U}) \cdot \vec{U}$$

$$\vec{a}_i(x,y,z,t)=\frac{d \vec{U}_i}{dt}+u \frac{d \vec{U}_i}{dx}+v \frac{d \vec{U}_i}{dy}+w \frac{d \vec{U}_i}{dz}$$

Virvling

For et gitt hastighetsfelt $\vec{U}(x,y,z,t)$ er virvlingen $\vec{\omega}$:

$$\vec{U}=(u,v,w)$$

$$\vec{\omega}= \nabla \times \vec{U}$$

$$\vec{\omega}=(\frac{dw}{dy}-\frac{dv}{dz}, \frac{dx}{dz}-\frac{dw}{dx}, \frac{dv}{dx}-\frac{du}{dy})$$

Virvling om en spesifikk akse er komponenten til $\vec{\omega}$ for den gitte aksen. For eksempel virvlingen om $z$-aksen blir $z$-komponenten til $\vec{\omega}$.