Wikipendium

Create compendium Add Language
Edit History
Tools
  • Edit
  • History

  • Add language

  • Create new compendium
Log in
Table of Contents
  1. Generelt
    1. Stabilitet
    2. Vanlige regulatorer
    3. Nyttige transferfunksjoner
  2. Metoder og verktøy
    1. Start- og sluttverditeorem
    2. Linearisering
    3. Små vinklers forenkling
    4. Tilstandsromform
    5. Routh-Hurwitz kriteriet
  3. Diagrammer
    1. Bodediagram
    2. Nyquist-diagram
  4. Regulatordesign
  5. MATLAB tips & tricks
‹

TTK4230: Automatiseringsteknikk

Tags:
  • automatiseringsteknikk
  • reguleringsteknikk
  • linearisering
  • bodediagram
  • nyquist
+

Dette kompendiumet er under konstruksjon! Vennligst bruk vernehjelm og ta alt med en klype salt. 👷

Emnet TTK4230 omhandler grunnleggende kontrollteori og praktisk implementasjon av regulatorer. Kompendiet inneholder det mest vesentlige i faget og er ikke en komplett guide.

Pensumbok: Balchen - Andresen - Foss: Reguleringsteknikk, Institutt for Teknisk Kybernetikk 2016

Generelt

Stabilitet

For stabilitet gjelder én ting: Ingen poler i høyre halvplan. Se også Routh-Hurwitz kriteriet lenger ned.

$H(s)={\frac{1}{s+1}}$ Stabilt fordi løsningen dør ut med tiden: $y(t)=e^{-t}$

$H(s)={\frac{1}{s-1}}$ Ustabilt fordi løsningen øker med tiden: $y(t)=e^{t}$

Generelt er poler komplekse tall der imaginærdelen gir oscillasjoner og realdelen bestemmer om eksponentialfunksjonen stiger eller synker. Bildet under illustrerer dette bra: Poler

Vanlige regulatorer

For frekvensdomenet skrives en regulator vanligvis på formen: $u(s)=K(s)e(s)$

P-regulator: $$K(s)=K_{p}$$ PD-regulator: $$K(s)=K_{p}+K_{D}s$$ PI-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}={\frac{(K_{p}s+K_{I})}{s}}$$ PID-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}+K_{D}s$$

Nyttige transferfunksjoner

Et system har ofte flere transferfunksjoner som relaterer forskjellige inputs til outputs. Vi tar utgangspunkt i et system med måling $y(s)$, referanse $r(s)$, transferfunksjon $$\frac{y}{u}(s)=G(s)$$ og regulator $$\frac{y}{e}(s)=K(s)$$

Da får vi:

  • Sløyfetransferfunksjon: $L(s)=G(s)K(s)$

  • Følgeforholdet: $T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{G(s)K(s)}{1+G(s)K(s)}=\frac{L(s)}{1+L(s)}$

  • Sensitivitetsfunksjon: $T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{1}{1+G(s)K(s)}=\frac{1}{1+L(s)}$

Merk at $T(s)+S(s)=1$.

Har vi disse kan vi bestemme det meste, inkludert å tune regulatorer for stabilitet og eliminere stasjonæravvik.

Metoder og verktøy

Start- og sluttverditeorem

Dette kan bl.a. brukes for å sjekke at vi går til konstant referanse uten stasjonæravvik med valgt regulator. $$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to0} sy(s)$$

$$\lim_{t\to0} y(t) = \lim_{s\to\infty} sy(s)$$

Hvis vi vil ikke vil ha noe stasjonæravvik holder det å sjekke at

$$\lim_{s\to0} T(s) = 1$$

eventuelt

$$\lim_{s\to0} T(s)r_{0} = r_{0}$$

NB: Her har vi $T(s)$ og ikke $sT(s)$. Dette følger av:

$$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to0} sy(s) = \lim_{s\to0} sT(s)r(s) = \lim_{s\to0} sT(s)\frac{r_0}{s} = \lim_{s\to0} T(s)r_0$$

der $r_0$ er en konstant referanse.

Linearisering

Generelt brukes taylorutvidelse av første orden for å linearisere ulineære systemer. Vi bruker ofte notasjonen $$x=\bar{x}+\Delta{x},\quad u=\bar{u}+\Delta{u}$$ hvor $(\bar{x},\bar{u})$ er lineariseringspunktet.

$$f(x,u) \approx f(\bar{x},\bar{u}) + \frac{\partial{f}}{\partial{x}}f(x,u)|_{x=\bar{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{u}}f(x,u)|_{u=\bar{u}}\Delta{u}$$

I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet$^1$

$$J\dot\Omega=\frac{k_t}{R}(u-k_v\Omega)-m(s),\quad m(s) = c|\Omega|\Omega$$

Lineariserer $m(s)$:

$$c|\Omega|\Omega \approx c|\bar\Omega|\bar\Omega + 2c|\bar\Omega|\Delta{\Omega}$$

Dette kan vi bruke for å finne pådraget $\bar{u}$ som passer i lineariseringspunktet og deretter et system beskrevet av kun variablene $\Delta{\Omega}$ og $\Delta{u}$.

$^1$Tatt fra løsningsforslag eksamen 2016

Små vinklers forenkling

Om systemvariabelen vår er en vinkel får vi ofte ulineære systemer. Om vinkelen $\theta\approx0$ kan vi anta følgende:

$$cos\>\theta\approx1\\sin\>\theta\approx\theta\\tan\>\theta\approx\theta$$

Dette følger av linearisering rundt $\bar\theta=0$. Det er enklest å se dette grafisk: Små vinklers forenkling Her ser vi at $cos\>\theta\approx1$, og $sin\>\theta$ og $tan\>\theta$ stiger lineært når vinkelen er liten.

Pendeleksempel (Eksamen 2014):

System gitt av (ulineært) $$l\ddot\theta(t) + g sin(\theta(t)) = \frac{1}{lm}\tau(t)$$

Forenkles til (lineært) $$l\ddot\theta(t) + g\theta(t) = \frac{1}{lm}\tau(t)$$ osv.

Tilstandsromform

Høyere ordens systemer kan vi skrive disse på tilstandsromform ved å lage flere førsteordens systemer. F.eks MFD:

$$M\ddot{x}(t)+d\dot{x}(t)+kx(t)=u(t),\quad y(t)=x(t)$$ $$x_1 = x,\quad x_2 = \dot{x}$$ $$\dot{x}_1=\dot{x}=x_2,\quad \dot{x}_2=\ddot{x}_1=\ddot{x}$$ Da får vi $$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{d}{M} & -\frac{k}{M} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x}_1 \\ {x}_2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} u $$

Transferfunksjonen gitt ved $$H(s)=\mathbf{c}(s\mathbf{I}-{A})^{-1}\mathbf{b}$$ der $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{d}{M} & -\frac{k}{M} \\ \end{bmatrix}, \quad\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \quad\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Routh-Hurwitz kriteriet

Routh-Hurwitz kriteriet sier generelt at vi må ha positive koeffisienter i nevner i første- og andreordens transferfunksjoner. For tredjeordens transferfunksjoner må i tillegg også $$\frac{a_{3}a_{1}-a_{0}a_{2}}{a_{2}} > 0$$ der koeffisientene er gitt ved $$H(s) = \frac{\dots}{a_{3}s^3+a_{2}s^2+a_{1}s+a_{0}}$$

Diagrammer

Bodediagram

Bodediagrammer angir amplitude og faseforskyving til et system ved forskjellige frekvenser. Her har vi noen enkle regler:

Amplitude:

  • Integratorer $\frac{1}{s}$ synker med 20dB per dekade per grad av $s$
  • Derivatorer $s$ stiger med 20dB per dekade per grad av $s$
  • Ledd på formen $(Ts+1)$ eller $\frac{1}{Ts+1}$ har knekkpunkt i $\frac{1}{T}$, og stiger eller synker med 20db/dek respektivt
  • Oscillatorer på formen $\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}}$ får oscillatortopper ved $\zeta<1$.
  • Konstantledd $K$ har konstant amplitude $K_{dB}=20log(K)$

Fase:

  • -90∘ for hver grad av $s$ under brøkstrek
  • +90∘ for hver grad av $s$ over brøkstrek

Noen vanlige bodediagrammer:

Lavpassfilter: $$H(s)=\frac{1}{Ts+1}$$ Lavpass bodeplot

Høypassfilter: $$H(s)=\frac{Ts}{Ts+1}$$ Høypass bodeplot

Oscillator ($\zeta = 0,2$): $$H(s)=\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}}$$ Oscillator bodeplot

For å tegne Bodediagram manuelt er det best å få transferfunksjonen på standardformen:

$$H(s)=\frac{K'}{s^n}\frac{\widetilde{\tau}s+1}{\tau s+1}\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}} $$

Nyquist-diagram

Nyquist stabilitetsteorem sier et eller annet om omsirklinger av sløyfeintegraler i det komplekse planet. Ingen vet helt hva Nyquist røyket, men greiene hans funker fett. Det mest vesentlige er:

$$N=Z-P$$ Hvor

$Z$: Nullpunkter til $F(s)=1+L(s)$ i HHP

$P$: Poler til $L(s)$ i HHP

For stabilitet krever vi $N=-P$

Forsterkningsmargin $K_n$: Hvor mye man kan gange et system med en gitt konstant før det blir ustabilt. (innslutter -1)

Fasemargin $\phi_n$: Hvor mye man kan rotere et system før det blir ustabilt (Treffer x-aksen), typisk vil en fasemargin under 45∘ være dårlig

Regulatordesign

Ved valg av regulator må vi først sjekke at vi kan følge en konstant referanse med sluttverditeoremet, og så tune konstanter til den oppførselen vi vil ha.

Generelt settes konstantene slik at vi får kritisk demping, altså én sammenfallende pol i venstre halvplan. Dette kan f.eks gjøres ved å sammenligne systemet med en en harmonisk oscillator, eller bruke ABC-formel på nevneren til $T(s)$. Routh-Hurwitz kriteriet kan også brukes (alltid positive koeffisienter i nevner).

MATLAB tips & tricks

Transferfunksjon:

H=tf([N],[D])

[N] og [D] er lister som indikerer koeffisientene foran $s$ i synkende grad. F.eks

H=tf([1 1],[1 1 1])

gir transferfunksjonen

$$H(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}$$

Diagrammer:

bode(H)
bodemag(H)
nyquist(H)

Written by

TobiWan dave420
Last updated: Tue, 22 Jan 2019 22:34:52 +0100 .
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!