TTK4230: Automatiseringsteknikk
Dette kompendiumet er under konstruksjon! Vennligst bruk vernehjelm og ta alt med en klype salt. 👷
Emnet TTK4230 omhandler grunnleggende kontrollteori og praktisk implementasjon av regulatorer. Pensum er lignende det i TTK4105 Reguleringsteknikk. Kompendiet inneholder det mest vesentlige i faget og er ikke en komplett guide.
Pensumbok: Balchen - Andresen - Foss: Reguleringsteknikk, Institutt for Teknisk Kybernetikk 2016
Introduksjon
Begreper og definisjoner
Automatiseringsteknikk dreier seg hovedsakelig om å bestemme hvordan dynamiske systemer (at dens indre tilstand endrer seg) skal reguleres.
- x(t)
- Tilstand, endrer sin verdi basert på påvirkning. Er den delen av systeme vi ønsker å styre
- u(t)
- Pådrag, hvordan vi endrer tilstanden slik at vi får den opp til den verdien vi har lyst
- v(t)
- Forstyrrelse, påvirkning fra omgivelsene som endrer det dynamiske systemet
- y(t)
- Måling, gjennom teknisk utstyr
- w(t)
- Målestøy/målefeil, påvirkning av unøyaktighet fra måleinstrumentene, et godt instrument har lavt målestøy
- r(t), y
$_0$ (t) - Referanse, settpunkt, hva vi har lyst til at tilstanden skal være
- e(t)
- Avvik, hvor langt unna tilstanden er referansen
Vi kan ha forskjellige måter å finne ut av og bruke disse verdiene. To av metodene er:
- Foroverkobling
- Vi måler forstyrrelsen, v(t), slik at vi kan regulere for den
- Tilbakekobling
- Selve målingen, y(t), blir målt slik at vi kan justere pådraget ved hjelp av en regulator
Vi kan også gå fort gjennom to typer responser vi bruker til å analysere systemer:
$\delta(t)$ - Impulsrespons, et hammerslag der arealet under inputtet er lik 1.
- t
- Step respons, et konstant pådrag
Matematiske modeller av dynamiske systemer
Differensialligninger
Forklarer endringen innen et system. Kan være feks.
Der
Vi kan løse førsteordenssystemer via funksjonen
Ulineære systemer
Systemer som har høyere koeffisienter enn 1 eller trigonometriske funksjoner sies å være ulineære. Det er et helt annet fag med dette så jeg tror vi står over. For å gjøre et unlineært system om til lineære, gjør vi lineærisering.
Lineaærisering
Generelt brukes taylorutvidelse av første orden for å linearisere ulineære systemer. Vi bruker ofte notasjonen
I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet
Lineariserer
Dette kan vi bruke for å finne pådraget
Små vinklers forenkling
Om systemvariabelen vår er en vinkel får vi ofte ulineære systemer. Om vinkelen
Dette følger av linearisering rundt
Pendeleksempel (Eksamen 2014):
System gitt av (ulineært)
Forenkles til (lineært)
Blokkdiagram
En måte å vise fram kontrollsystemer grafisk.
Tilstandsromanalyse
Du kan skrive en modell på tilstandsromsform ved å omrokkere for å få
Eksempel
La oss si vi har en masse-fjær demper i form:
Med tilstander:
Da får vi
Transferfunksjonen kan bli funnet ved å gjøre:
Laplacetransformasjon
Definert som:
Selv om det virker helt sykt komplisert kan vi si at den dekomponerer differensialligningen vår fra tidsdomene inn i frekvensdomene. Vi kan altså se hvordan den reagerer til frekvenser! Det som er ganske greit med dette er at vi behøver ikke å tenke på konvolusjonelle integraler lenger, men endrer det til ganging og deling (takk gud).
Du gjør først om fra tidsform til Laplace, rearrangerer funksjonen slik at du får noe likt som i tabellen, og gjør det samme for å få det tilbake til tidsform.
Tidsform | Laplace | |
1 | ||
Vanligvis sier vi at initialbetingelsene (
Frekvensanalyse
Responsen av systemet til en sinussvingning som input.
- Frekvensrespons
$h(j\omega)$ - Amplitudeforholdet
$\frac{y_0}{u_0}=\left|h(j\omega)\right|$ - Fasevinkelen
$\angle h(j\omega)$
La oss si vi har et input:
Vi kan bestemme forsterkningen
Transport(tids-)forsinkelsen
Hvis transferfunksjonen har
Bodediagram
Bodediagrammer angir forsterkning og faseforskyving til et system ved forskjellige frekvenser.
Fordi det er amerikanere som laget diagrammene først fant de ut at decibel var en gøyal måte å måle frekvensresponser på og etter det er det på en måte bare blitt sånn. For å omgjøre vanlige tall til decibel bruker du formelen:
Og måleenheten for frekvensen vår er Hz i
For tegningen av diagrammer har vi noen enkle regler:
Amplitude
- Integratorer
$\frac{1}{s}$ synker med 20dB per dekade per grad av$s$ - Derivatorer
$s$ stiger med 20dB per dekade per grad av$s$ - Poler
$\frac{1}{Ts+1}$ , har knekkpunkt i$\frac{1}{T}$ og synker med 20dB per dekade- Nullpunkter
$(Ts+1)$ har knekkpunkt i$\frac{1}{T}$ og stiger med 20dB per dekade- Oscillatorer
$\frac{1}{(\frac{s}{\omega_{b}})^2+2\zeta(\frac{s}{\omega_{b}}))+1}$ får oscillatortopper ved$\zeta<0.5$ . Knekkpunkt ved$\omega_b$ . Magnitude av oscillatortopper:$20log_{10}(2\zeta)$ - Konstantledd
- Konstant amplitude
$K_{dB}=20log(K)$
Fase
- Integratorer
$-90\deg$ - Derivatorer
$+90\deg$ - Poler
$-90\deg$ på knekkpunktet- Nullpunkter
$+90\deg$ på knekkpunktet- Oscillatorer
$-180\deg$ ved knekkpunkt$\omega_b$ - Konstantledd
$\varphi = \pm 180\deg$ for$\omega > 0 Hz$ , du kan ha enten pluss eller minus siden begge konstanterer samme faseskift.
Noen vanlige bodediagrammer
Både høy- og lavpassfilter filtrerer ut frekvenser vi ikke har lyst til å ha med i outputtet vårt. Verdiene rundt disse frekvensene blir lavere som gjør at forsterkningen blir veldig negativ. Når vi konverterer fra dB til vanlige tall gjør det tallet veldig lite.
Lavpassfilter:
Høypassfilter:
Oscillator (
For å tegne Bodediagram manuelt er det best å få transferfunksjonen på standardformen. Dette gjør at vi kan se knekkpunkter og oscillatortopper.
Hvor k indikerer antall derivatorer og n indikerer antall integratorer. Disse kanselleres gjerne slik at du får bare derivator(er) eller bare integrator(er). Begynn med å tegne hvert komponent individuelt for å deretter legge alt sammen.
Merk: Når du lager Bode plots i Matlab så begynner fasen å synke en dekade før knekkpunktet og slutter ikke å synke før en dekade etter.
Du kan enten lage det sånn, eller bare ha en rett strek fra feks. 0 til -90 på knekkpunktet.
Nyquist-diagram
Nyquist gjør at vi kan bestemme stabilitet i lukket sløyfe ved å vite åpen sløyfe transferfunksjonen. Selv om derivasjonen er ganske komplisert, gjør det overgangen utrolig mye enklere hvis du allerde har diagrammene. Diagrammet befinner seg i det komplekse plan. Transferfunksjonen for åpen sløyfe er
Tegning
Hvis du blir spurt om å tegne et Nyquist diagram er det litt kjipern, men du skal nok greie det altså.
-
Begynn med å tegne Bode diagrammet.
-
Gjør deretter transferfunksjonen om til kompleks form:
$$ L(s) \rightarrow L(j\omega) $$ -
Hver vinkel i Bode diagrammet vil ha et koordinat i Nyquist diagrammet som følger mønsteret under. Finn ut av viktige punkters (knekkpunkter osv.) vinkler og finn Nyquist koordinatene ved å plugge frekvensen inn i den komplekse transferfunksjonen (husk ingen komplekse tall under brøkstreken). Finn deretter ut hvor
$\omega \rightarrow \infty$ går for å lukke sløyfen.
Hvis du trenger å finne et vanlig Bode eller Nyquist diagram, er det mange generelle i tabell 6.1 i boka
Tilbakekoplede systemer
Som sagt i introduksjonen, så er et tilabkekoblet system i lukket sløyfe hvis vi får tilbakesendt informasjon fra senere i systemet som brukes til regulering. Et system uten dette kalles et åpent system.
Et system har ofte flere transferfunksjoner som relaterer forskjellige inputs til outputs.
Vi tar utgangspunkt i et system med måling
Da får vi:
Sløyfetransferfunksjon | |
Følgeforholdet | |
Sensitivitetsfunksjon |
Merk at
Har vi disse kan vi bestemme det meste, inkludert å tune regulatorer for stabilitet og eliminere stasjonæravvik. Følgeforholdet forteller oss hvor godt vi lykkes i å få målingen til å følge referansen, med perfekt følging når T(s) = 1. Det er også innvirkning av forstyrrelser. Avviksforholdet forteller om hvor høy avviket er i forhold til referansen.
Vanlige regulatorer
For frekvensdomenet skrives en regulator vanligvis på Laplaceformen:
P-regulator:
Stabilitet
For stabilitet gjelder hovedsakelig en ting: Ingen poler i høyre halvplan. Hvis vi har dette fortsetter grafen å øke med tiden. Se også Routh-Hurwitz kriteriet lenger nede.
Generelt er poler komplekse tall der imaginærdelen gir oscillasjoner og realdelen bestemmer om eksponentialfunksjonen stiger eller synker. Bildet under illustrerer dette bra:
Men, vi kan også ha et system som ikke øker eller synker, dette kalles et marginalt stabilt system.
- Asymptotisk stabiilt
- Alle poler har negative reelle deler
- Marginalt stabilt
- En eller flere realdelene er lik nul, men ingen av disse er multiple
- Ustabilt
- En eller flere polene har positiv reelle komponenter
Start- og sluttverditeorem
Dette kan bl.a. brukes for å sjekke at vi går til konstant referanse uten stasjonæravvik med valgt regulator.
Hvis vi ikke vil ha noe stasjonæravvik holder det å sjekke at
eventuelt
NB: Her har vi
der
Routh-Hurwitz kriteriet
Routh-Hurwitz kriteriet sier generelt at vi må ha positive koeffisienter i nevner i første- og andreordens transferfunksjoner. For tredjeordens transferfunksjoner må i tillegg også
Nyquist kriteriet
Brukes for å bestemme om et åpent sløyfe system blir stabilt når du lukker sløyfen.
$Z$ - Nullpunkter til
$F(s)=1+L(s)$ i HHP $P$ - Poler til
$L(s)$ i HHP
For stabilitet krever vi
Hvis vi allerede har diagrammene, kan vi sjekke det grafisk.
Vi ser at grafen til høyre ikke omsløyfer -1, noe som gjør systemet stabilt i lukket sløyfe. Grafen til venstre omsløyfer -1 og kommer til å være ustabil i lukket sløyfe.
Nyquist-Prodesyre
- Finn antall ustabile poler for åpen løkke
- Plott polardiagrammet med valgt regulator og forsterkning
- Tell hvor mange ganger vektoren roterer
- Hvis antall ustabile poler minus antall rotasjoner er høyere enn null, blir systemet stabilt i lukket sløyfe.
Marginer
- Forsterkningsmargin
$\Delta K$ - Hvor mye man kan gange et system med en gitt konstant før det blir ustabilt (innslutter -1).
- Fasemargin
$\Psi$ - Hvor mye man kan rotere et system før det blir ustabilt og grafen innslutter -1, typisk vil en fasemargin under 45
$^∘$ være dårlig
Ekstra informasjon
Regulatordesign
Ved valg av regulator må vi først sjekke at vi kan følge en konstant referanse med sluttverditeoremet, og så tune konstanter til den oppførselen vi vil ha.
Generelt settes konstantene slik at vi får kritisk demping, altså én sammenfallende pol i venstre halvplan. Dette kan f.eks gjøres ved å sammenligne systemet med en en harmonisk oscillator, eller bruke ABC-formel på nevneren til
Internal Model Control (IMC)
Selv om det er utenfor pensum, så kan vi bruke noe som heter Internal Model Control for å finne formatet til regulatoren. Det er et ganske kompleks teorem men med en ganske grei konklusjon:
- K
- Formatet til kontrolleren
- G
- Transferfunksjonen med bare polene, altså ingen integratorer eller nullpunkter
MATLAB tips & tricks
Transferfunksjon:
H=tf([N],[D])
[N] og [D] er lister som indikerer koeffisientene foran
H=tf([1 1],[1 1 1])
gir transferfunksjonen
Diagrammer:
bode(H)
bodemag(H)
nyquist(H)