Stabilitet

For stabilitet gjelder én ting: Ingen poler i høyre halvplan. Se også Routh-Hurwitz kriteriet lenger ned.

$H(s)={\frac{1}{s+1}}$ Stabilt fordi løsningen dør ut med tiden: $y(t)=e^{-t}$

$H(s)={\frac{1}{s-1}}$ Ustabilt fordi løsningen øker med tiden: $y(t)=e^{t}$

Generelt er poler komplekse tall der imaginærdelen gir oscillasjoner og realdelen bestemmer om eksponentialfunksjonen stiger eller synker. Bildet under illustrerer dette bra:

Vanlige regulatorer

For frekvensdomenet skrives en regulator vanligvis på formen: $u(s)=K(s)e(s)$

P-regulator: $$K(s)=K_{p}$$ PD-regulator: $$K(s)=K_{p}+K_{D}s$$ PI-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}={\frac{(K_{p}s+K_{I})}{s}}$$ PID-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}+K_{D}s$$

Nyttige transferfunksjoner

Et system har ofte flere transferfunksjoner som relaterer forskjellige inputs til outputs. Vi tar utgangspunkt i et system med måling $y(s)$, referanse $r(s)$, transferfunksjon $$\frac{y}{u}(s)=G(s)$$ og regulator $$\frac{y}{e}(s)=K(s)$$

Da får vi:

• Sløyfetransferfunksjon: $L(s)=G(s)K(s)$

• Følgeforholdet: $T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{G(s)K(s)}{1+G(s)K(s)}=\frac{L(s)}{1+L(s)}$

• Sensitivitetsfunksjon: $T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{1}{1+G(s)K(s)}=\frac{1}{1+L(s)}$

Merk at $T(s)+S(s)=1$.

Har vi disse kan vi bestemme det meste, inkludert å tune regulatorer for stabilitet og eliminere stasjonæravvik.

Start- og sluttverditeorem

Dette kan bl.a. brukes for å sjekke at vi går til konstant referanse uten stasjonæravvik med valgt regulator. $$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to0} sy(s)$$

$$\lim_{t\to0} y(t) = \lim_{s\to\infty} sy(s)$$

Hvis vi vil ikke vil ha noe stasjonæravvik holder det å sjekke at

$$\lim_{s\to0} T(s) = 1$$

eventuelt

$$\lim_{s\to0} T(s)r_{0} = r_{0}$$

NB: Her har vi $T(s)$ og ikke $sT(s)$. Dette følger av:

$$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to0} sy(s) = \lim_{s\to0} sT(s)r(s) = \lim_{s\to0} sT(s)\frac{r_0}{s} = \lim_{s\to0} T(s)r_0$$

der $r_0$ er en konstant referanse.

Linearisering

Generelt brukes taylorutvidelse av første orden for å linearisere ulineære systemer. Vi bruker ofte notasjonen $$x=\bar{x}+\Delta{x},\quad u=\bar{u}+\Delta{u}$$ hvor $(\bar{x},\bar{u})$ er lineariseringspunktet.

$$f(x,u) \approx f(\bar{x},\bar{u}) + \frac{\partial{f}}{\partial{x}}f(x,u)|_{x=\bar{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{u}}f(x,u)|_{u=\bar{u}}\Delta{u}$$

I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet$^1$

$$J\dot\Omega=\frac{k_t}{R}(u-k_v\Omega)-m(s),\quad m(s) = c|\Omega|\Omega$$

Lineariserer $m(s)$:

$$c|\Omega|\Omega \approx c|\bar\Omega|\bar\Omega + 2c|\bar\Omega|\Delta{\Omega}$$

Dette kan vi bruke for å finne pådraget $\bar{u}$ som passer i lineariseringspunktet og deretter et system beskrevet av kun variablene $\Delta{\Omega}$ og $\Delta{u}$.

$^1$Tatt fra løsningsforslag eksamen 2016

Små vinklers forenkling

Om systemvariabelen vår er en vinkel får vi ofte ulineære systemer. Om vinkelen $\theta\approx0$ kan vi anta følgende:

$$cos\>\theta\approx1\\sin\>\theta\approx\theta\\tan\>\theta\approx\theta$$

Dette følger av linearisering rundt $\bar\theta=0$. Det er enklest å se dette grafisk: Her ser vi at $cos\>\theta\approx1$, og $sin\>\theta$ og $tan\>\theta$ stiger lineært når vinkelen er liten.

Pendeleksempel (Eksamen 2014):

System gitt av (ulineært) $$l\ddot\theta(t) + g sin(\theta(t)) = \frac{1}{lm}\tau(t)$$

Forenkles til (lineært) $$l\ddot\theta(t) + g\theta(t) = \frac{1}{lm}\tau(t)$$ osv.

Tilstandsromform

Høyere ordens systemer kan vi skrive disse på tilstandsromform ved å lage flere førsteordens systemer. F.eks MFD:

$$M\ddot{x}(t)+d\dot{x}(t)+kx(t)=u(t),\quad y(t)=x(t)$$ $$x_1 = x,\quad x_2 = \dot{x}$$ $$\dot{x}_1=\dot{x}=x_2,\quad \dot{x}_2=\ddot{x}_1=\ddot{x}$$ Da får vi $$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{d}{M} & -\frac{k}{M} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x}_1 \\ {x}_2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} u $$

Transferfunksjonen gitt ved $$H(s)=\mathbf{c}(s\mathbf{I}-{A})^{-1}\mathbf{b}$$ der $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{d}{M} & -\frac{k}{M} \\ \end{bmatrix}, \quad\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \quad\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Routh-Hurwitz kriteriet

Routh-Hurwitz kriteriet sier generelt at vi må ha positive koeffisienter i nevner i første- og andreordens transferfunksjoner. For tredjeordens transferfunksjoner må i tillegg også $$\frac{a_{3}a_{1}-a_{0}a_{2}}{a_{2}} > 0$$ der koeffisientene er gitt ved $$H(s) = \frac{\dots}{a_{3}s^3+a_{2}s^2+a_{1}s+a_{0}}$$

Bodediagram

Bodediagrammer angir amplitude og faseforskyving til et system ved forskjellige frekvenser. Her har vi noen enkle regler:

Amplitude:

• Integratorer $\frac{1}{s}$ synker med 20dB per dekade per grad av $s$
• Derivatorer $s$ stiger med 20dB per dekade per grad av $s$
• Ledd på formen $(Ts+1)$ eller $\frac{1}{Ts+1}$ har knekkpunkt i $\frac{1}{T}$, og stiger eller synker med 20db/dek respektivt
• Oscillatorer på formen $\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}}$ får oscillatortopper ved $\zeta<1$.
• Konstantledd $K$ har konstant amplitude $K_{dB}=20log(K)$

Fase:

• -90∘ for hver grad av $s$ under brøkstrek
• +90∘ for hver grad av $s$ over brøkstrek

Noen vanlige bodediagrammer:

Lavpassfilter: $$H(s)=\frac{1}{Ts+1}$$

Høypassfilter: $$H(s)=\frac{Ts}{Ts+1}$$

Oscillator ($\zeta = 0,2$): $$H(s)=\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}}$$

For å tegne Bodediagram manuelt er det best å få transferfunksjonen på standardformen:

$$H(s)=\frac{K'}{s^n}\frac{\widetilde{\tau}s+1}{\tau s+1}\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}} $$

Nyquist-diagram

Nyquist stabilitetsteorem sier et eller annet om omsirklinger av sløyfeintegraler i det komplekse planet. Ingen vet helt hva Nyquist røyket, men greiene hans funker fett. Det mest vesentlige er:

$$N=Z-P$$ Hvor

$Z$: Nullpunkter til $F(s)=1+L(s)$ i HHP

$P$: Poler til $L(s)$ i HHP

For stabilitet krever vi $N=-P$

Forsterkningsmargin $K_n$: Hvor mye man kan gange et system med en gitt konstant før det blir ustabilt. (innslutter -1)

Fasemargin $\phi_n$: Hvor mye man kan rotere et system før det blir ustabilt (Treffer x-aksen), typisk vil en fasemargin under 45∘ være dårlig