TTK4230: Automatiseringsteknikk
Dette kompendiumet er under konstruksjon! Vennligst bruk vernehjelm og ta alt med en klype salt. 👷
Emnet TTK4230 omhandler grunnleggende kontrollteori og praktisk implementasjon av regulatorer. Kompendiet inneholder det mest vesentlige i faget og er ikke en komplett guide.
Pensumbok: Balchen - Andresen - Foss: Reguleringsteknikk, Institutt for Teknisk Kybernetikk 2016
Generelt
Stabilitet
For stabilitet gjelder én ting: Ingen poler i høyre halvplan. Se også Routh-Hurwitz kriteriet lenger ned.
Generelt er poler komplekse tall der imaginærdelen gir oscillasjoner og realdelen bestemmer om eksponentialfunksjonen stiger eller synker.
Bildet under illustrerer dette bra:
Vanlige regulatorer
For frekvensdomenet skrives en regulator vanligvis på formen:
P-regulator:
Nyttige transferfunksjoner
Et system har ofte flere transferfunksjoner som relaterer forskjellige inputs til outputs.
Vi tar utgangspunkt i et system med måling
Da får vi:
-
Sløyfetransferfunksjon:
$L(s)=G(s)K(s)$ -
Følgeforholdet:
$T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{G(s)K(s)}{1+G(s)K(s)}=\frac{L(s)}{1+L(s)}$ -
Sensitivitetsfunksjon:
$T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{1}{1+G(s)K(s)}=\frac{1}{1+L(s)}$
Merk at
Har vi disse kan vi bestemme det meste, inkludert å tune regulatorer for stabilitet og eliminere stasjonæravvik.
Metoder og verktøy
Start- og sluttverditeorem
Dette kan bl.a. brukes for å sjekke at vi går til konstant referanse uten stasjonæravvik med valgt regulator.
Hvis vi vil ikke vil ha noe stasjonæravvik holder det å sjekke at
eventuelt
NB: Her har vi
der
Linearisering
Generelt brukes taylorutvidelse av første orden for å linearisere ulineære systemer. Vi bruker ofte notasjonen
I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet
Lineariserer
Dette kan vi bruke for å finne pådraget
Små vinklers forenkling
Om systemvariabelen vår er en vinkel får vi ofte ulineære systemer. Om vinkelen
Dette følger av linearisering rundt
Her ser vi at
Pendeleksempel (Eksamen 2014):
System gitt av (ulineært)
Forenkles til (lineært)
Tilstandsromform
Høyere ordens systemer kan vi skrive disse på tilstandsromform ved å lage flere førsteordens systemer. F.eks MFD:
Transferfunksjonen gitt ved
Routh-Hurwitz kriteriet
Routh-Hurwitz kriteriet sier generelt at vi må ha positive koeffisienter i nevner i første- og andreordens transferfunksjoner. For tredjeordens transferfunksjoner må i tillegg også
Diagrammer
Bodediagram
Bodediagrammer angir amplitude og faseforskyving til et system ved forskjellige frekvenser. Her har vi noen enkle regler:
Amplitude:
- Integratorer
$\frac{1}{s}$ synker med 20dB per dekade per grad av$s$ - Derivatorer
$s$ stiger med 20dB per dekade per grad av$s$ - Ledd på formen
$(Ts+1)$ eller$\frac{1}{Ts+1}$ har knekkpunkt i$\frac{1}{T}$ , og stiger eller synker med 20db/dek respektivt - Oscillatorer på formen
$\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+\omega_{b^2}}$ får oscillatortopper ved$\zeta<1$ . - Konstantledd
$K$ har konstant amplitude$K_{dB}=20log(K)$
Fase:
- -90∘ for hver grad av
$s$ under brøkstrek - +90∘ for hver grad av
$s$ over brøkstrek
Noen vanlige bodediagrammer:
Lavpassfilter:
Høypassfilter:
Oscillator (
For å tegne Bodediagram manuelt er det best å få transferfunksjonen på standardformen:
Nyquist-diagram
Nyquist stabilitetsteorem sier et eller annet om omsirklinger av sløyfeintegraler i det komplekse planet. Ingen vet helt hva Nyquist røyket, men greiene hans funker fett. Det mest vesentlige er:
For stabilitet krever vi
Forsterkningsmargin
Fasemargin
Regulatordesign
Ved valg av regulator må vi først sjekke at vi kan følge en konstant referanse med sluttverditeoremet, og så tune konstanter til den oppførselen vi vil ha.
Generelt settes konstantene slik at vi får kritisk demping, altså én sammenfallende pol i venstre halvplan. Dette kan f.eks gjøres ved å sammenligne systemet med en en harmonisk oscillator, eller bruke ABC-formel på nevneren til
MATLAB tips & tricks
Transferfunksjon:
H=tf([N],[D])
[N] og [D] er lister som indikerer koeffisientene foran
H=tf([1 1],[1 1 1])
gir transferfunksjonen
Diagrammer:
bode(H)
bodemag(H)
nyquist(H)