‹

TTK4230: Automatiseringsteknikk

Tags:

Dette kompendiumet er under konstruksjon! Vennligst bruk vernehjelm og ta alt med en klype salt. 👷

Emnet TTK4230 omhandler grunnleggende kontrollteori og praktisk implementasjon av regulatorer. Pensum er lignende det i TTK4105 Reguleringsteknikk. Kompendiet inneholder det mest vesentlige i faget og er ikke en komplett guide.

Pensumbok: Balchen - Andresen - Foss: Reguleringsteknikk, Institutt for Teknisk Kybernetikk 2016

Introduksjon

Begreper og definisjoner

Automatiseringsteknikk dreier seg hovedsakelig om å bestemme hvordan dynamiske systemer (at dens indre tilstand endrer seg) skal reguleres.

Kontroll

x(t): Tilstand, endrer sin verdi basert på påvirkning. Er den delen av systeme vi ønsker å styre
u(t): Pådrag, hvordan vi endrer tilstanden slik at vi får den opp til den verdien vi har lyst
v(t): Forstyrrelse, påvirkning fra omgivelsene som endrer det dynamiske systemet
y(t): Måling, gjennom teknisk utstyr
w(t): Målestøy/målefeil, påvirkning av unøyaktighet fra måleinstrumentene, et godt instrument har lavt målestøy
r(t), y$_0$(t): Referanse, settpunkt, hva vi har lyst til at tilstanden skal være
e(t): Avvik, hvor langt unna tilstanden er referansen

Vi kan ha forskjellige måter å finne ut av og bruke disse verdiene. To av metodene er:

Foroverkobling: Vi måler forstyrrelsen, v(t), slik at vi kan regulere for den
Tilbakekobling: Selve målingen, y(t), blir målt slik at vi kan justere pådraget ved hjelp av en regulator

Vi kan også gå fort gjennom to typer responser vi bruker til å analysere systemer:

$\delta(t)$: Impulsrespons, et hammerslag der arealet under inputtet er lik 1.
t: Step respons, et konstant pådrag

Matematiske modeller av dynamiske systemer

Differensialligninger

Forklarer endringen innen et system. Kan være feks.

$$\dot{x} = Ax + B$$

Der $\dot{x}$ er endringen av x definert av x.

Vi kan løse førsteordenssystemer via funksjonen $$x(t)=e^{a(t-t_0)}x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{a(t-\tau)}bu(\tau) \,d\tau$$ men fytti grisen det er komplisert. Bruk heller Laplace introdusert senere.

Ulineære systemer

Systemer som har høyere koeffisienter enn 1 eller trigonometriske funksjoner sies å være ulineære. Det er et helt annet fag med dette så jeg tror vi står over. For å gjøre et unlineært system om til lineære, gjør vi lineærisering.

Lineaærisering

Generelt brukes taylorutvidelse av første orden for å linearisere ulineære systemer. Vi bruker ofte notasjonen $$x=\bar{x}+\Delta{x},\quad u=\bar{u}+\Delta{u}$$ hvor $(\bar{x},\bar{u})$ er lineariseringspunktet.

$$f(x,u) \approx f(\bar{x},\bar{u}) + \frac{\partial{f}}{\partial{x}}f(x,u)|_{x=\bar{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{u}}f(x,u)|_{u=\bar{u}}\Delta{u}$$

I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet$^1$

$$J\dot\Omega=\frac{k_t}{R}(u-k_v\Omega)-m(s),\quad m(s) = c|\Omega|\Omega$$

Lineariserer $m(s)$:

$$c|\Omega|\Omega \approx c|\bar\Omega|\bar\Omega + 2c|\bar\Omega|\Delta{\Omega}$$

Dette kan vi bruke for å finne pådraget $\bar{u}$ som passer i lineariseringspunktet og deretter et system beskrevet av kun variablene $\Delta{\Omega}$ og $\Delta{u}$.

$^1$Tatt fra løsningsforslag eksamen 2016

Små vinklers forenkling

Om systemvariabelen vår er en vinkel får vi ofte ulineære systemer. Om vinkelen $\theta\approx0$ kan vi anta følgende:

$$cos\>\theta\approx1\\sin\>\theta\approx\theta\\tan\>\theta\approx\theta$$

Dette følger av linearisering rundt $\bar\theta=0$. Det er enklest å se dette grafisk: Små vinklers forenkling Her ser vi at $cos\>\theta\approx1$, og $sin\>\theta$ og $tan\>\theta$ stiger lineært når vinkelen er liten.

Pendeleksempel (Eksamen 2014):

System gitt av (ulineært) $$l\ddot\theta(t) + g sin(\theta(t)) = \frac{1}{lm}\tau(t)$$

Forenkles til (lineært) $$l\ddot\theta(t) + g\theta(t) = \frac{1}{lm}\tau(t)$$

Blokkdiagram

En måte å vise fram kontrollsystemer grafisk. Blokkdiagram

Tilstandsromanalyse

Du kan skrive en modell på tilstandsromsform ved å omrokkere for å få $$\dot{x}=Ax+Bu$$ hvor x og u er tilstandene og pådraget forklart tidligere. A og B vil være matriser som er basert på systemet. Altså, vi lager et tilstandsrom med mange førsteordens systemer. For å løse disse systemene kan du bruke funksjonene derivert i differensialligninger delen. Laplace eller direkte fungerer begge to.

Eksempel

La oss si vi har en masse-fjær demper i form:

$$M\ddot{x}(t)+d\dot{x}(t)+kx(t)=u(t),\quad y(t)=x(t)$$

Med tilstander: $$x_1 = x,\quad x_2 = \dot{x}$$ $$\dot{x}_1=\dot{x}=x_2,\quad \dot{x}_2=\ddot{x}_1=\ddot{x}$$

Da får vi $$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{d}{M} & -\frac{k}{M} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x}_1 \\ {x}_2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} u $$

Transferfunksjonen kan bli funnet ved å gjøre: $$H(s)=\mathbf{c}(s\mathbf{I}-{A})^{-1}\mathbf{b}$$ der $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{d}{M} & -\frac{k}{M} \\ \end{bmatrix}, \quad\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \quad\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Laplacetransformasjon

Definert som: $$ F(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st} \,dt $$

Selv om det virker helt sykt komplisert kan vi si at den dekomponerer differensialligningen vår fra tidsdomene inn i frekvensdomene. Vi kan altså se hvordan den reagerer til frekvenser! Det som er ganske greit med dette er at vi behøver ikke å tenke på konvolusjonelle integraler lenger, men endrer det til ganging og deling (takk gud).

Du gjør først om fra tidsform til Laplace, rearrangerer funksjonen slik at du får noe likt som i tabellen, og gjør det samme for å få det tilbake til tidsform.

Tidsform		Laplace
$f(t)$	$\Longleftrightarrow$	$F(s)$
$\delta(t)$	$\Longleftrightarrow$	1
$1$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{1}{s}$
$e^{-at}$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{1}{s+a}$
$t$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{1}{s^2}$
$t^2$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{2}{s^3}$
$te^{at}$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{1}{(s+a)^2}$
$sin(\omega t)$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$cos(\omega t)$	$\Longleftrightarrow$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$f'(t)$	$\Longleftrightarrow$	$sF(s)-f(0)$
$f''(t)$	$\Longleftrightarrow$	$s^2F(s)-sf'(0)-f(0)$

Vanligvis sier vi at initialbetingelsene ($f'(0)$ og $f(0)$ etc.) er lik null hvis de ikke er gitt som gjør rearrangeringen mye enklere.

Frekvensanalyse

Responsen av systemet til en sinussvingning som input.

Frekvensrespons: $h(j\omega)$
Amplitudeforholdet: $\frac{y_0}{u_0}=\left|h(j\omega)\right|$
Fasevinkelen: $\angle h(j\omega)$

La oss si vi har et input: $$u(t) = sin(\omega t)$$

Vi kan bestemme forsterkningen $\left|h(j\omega)\right|$ og faseforskyvingen $\angle h(j\omega)$ via bode diagrammet som vi da kan putte inn i funksjonen for input for å få hvilket output vi kommmer til å få basert på hvilken frekvens vi kjører systemet på. Det som kommer ut av systemet blir da:

$$u(t) = \left|h(j\omega)\right|sin(\omega t + \angle h(j\omega))$$

Transport(tids-)forsinkelsen

Hvis transferfunksjonen har $e^{-j\omega\tau}$ med i kalkulasjonene, betegnes dette som en transport eller tids- forsinkelse og amplitudeforholdet og fasevinkelen vil være:

$$\left|e^{-j\omega\tau}\right| \;\;\; , \;\;\; \angle e^{-j\omega\tau} = - \omega\tau$$

Bodediagram

Bodediagrammer angir forsterkning og faseforskyving til et system ved forskjellige frekvenser.

Fordi det er amerikanere som laget diagrammene først fant de ut at decibel var en gøyal måte å måle frekvensresponser på og etter det er det på en måte bare blitt sånn. For å omgjøre vanlige tall til decibel bruker du formelen: $$A_{dB}=20log_{10}(A)$$

Og måleenheten for frekvensen vår er Hz i $s^{-1}$

For tegningen av diagrammer har vi noen enkle regler:

Amplitude

Integratorer: $\frac{1}{s}$ synker med 20dB per dekade per grad av $s$
Derivatorer: $s$ stiger med 20dB per dekade per grad av $s$
Poler: $\frac{1}{Ts+1}$, har knekkpunkt i $\frac{1}{T}$ og synker med 20dB per dekade
Nullpunkter: $(Ts+1)$ har knekkpunkt i $\frac{1}{T}$ og stiger med 20dB per dekade
Oscillatorer: $\frac{1}{(\frac{s}{\omega_{b}})^2+2\zeta(\frac{s}{\omega_{b}}))+1}$ får oscillatortopper ved $\zeta<0.5$. Knekkpunkt ved $\omega_b$. Magnitude av oscillatortopper: $20log_{10}(2\zeta)$
Konstantledd: Konstant amplitude $K_{dB}=20log(K)$

$\,$

Fase

Integratorer: $-90\deg$
Derivatorer: $+90\deg$
Poler: $-90\deg$ på knekkpunktet
Nullpunkter: $+90\deg$ på knekkpunktet
Oscillatorer: $-180\deg$ ved knekkpunkt $\omega_b$
Konstantledd: $\varphi = \pm 180\deg$ for $\omega > 0 Hz$, du kan ha enten pluss eller minus siden begge konstanterer samme faseskift.

Noen vanlige bodediagrammer

Både høy- og lavpassfilter filtrerer ut frekvenser vi ikke har lyst til å ha med i outputtet vårt. Verdiene rundt disse frekvensene blir lavere som gjør at forsterkningen blir veldig negativ. Når vi konverterer fra dB til vanlige tall gjør det tallet veldig lite.

Lavpassfilter: $$H(s)=\frac{1}{Ts+1}$$ Lavpass bodeplot

Høypassfilter: $$H(s)=\frac{Ts}{Ts+1}$$ Høypass bodeplot

Oscillator ($\zeta = 0,2$): $$H(s)=\frac{1}{(\frac{s}{\omega_b})^2+2\zeta\omega_{b}s+1}$$ Oscillator bodeplot

For å tegne Bodediagram manuelt er det best å få transferfunksjonen på standardformen. Dette gjør at vi kan se knekkpunkter og oscillatortopper.

$$H(s)=K\times\frac{s^k}{s^n}\times\frac{\tau s+1}{\widetilde{\tau}s+1}\times\frac{1}{(\frac{s}{\omega_{b}})^2+2\zeta(\frac{s}{\omega_{b}}))+1} $$

Hvor k indikerer antall derivatorer og n indikerer antall integratorer. Disse kanselleres gjerne slik at du får bare derivator(er) eller bare integrator(er). Begynn med å tegne hvert komponent individuelt for å deretter legge alt sammen.

Merk: Når du lager Bode plots i Matlab så begynner fasen å synke en dekade før knekkpunktet og slutter ikke å synke før en dekade etter.

BodeSynk

Du kan enten lage det sånn, eller bare ha en rett strek fra feks. 0 til -90 på knekkpunktet.

Nyquist-diagram

Nyquist gjør at vi kan bestemme stabilitet i lukket sløyfe ved å vite åpen sløyfe transferfunksjonen. Selv om derivasjonen er ganske komplisert, gjør det overgangen utrolig mye enklere hvis du allerde har diagrammene. Diagrammet befinner seg i det komplekse plan. Transferfunksjonen for åpen sløyfe er $L(s)$.

Nyquist

Tegning

Hvis du blir spurt om å tegne et Nyquist diagram er det litt kjipern, men du skal nok greie det altså.

Begynn med å tegne Bode diagrammet.
Gjør deretter transferfunksjonen om til kompleks form: $$ L(s) \rightarrow L(j\omega) $$
Hver vinkel i Bode diagrammet vil ha et koordinat i Nyquist diagrammet som følger mønsteret under. Finn ut av viktige punkters (knekkpunkter osv.) vinkler og finn Nyquist koordinatene ved å plugge frekvensen inn i den komplekse transferfunksjonen (husk ingen komplekse tall under brøkstreken). Finn deretter ut hvor $\omega \rightarrow \infty$ går for å lukke sløyfen.

Hvis du trenger å finne et vanlig Bode eller Nyquist diagram, er det mange generelle i tabell 6.1 i boka

Tilbakekoplede systemer

Som sagt i introduksjonen, så er et tilabkekoblet system i lukket sløyfe hvis vi får tilbakesendt informasjon fra senere i systemet som brukes til regulering. Et system uten dette kalles et åpent system.

Et system har ofte flere transferfunksjoner som relaterer forskjellige inputs til outputs. Vi tar utgangspunkt i et system med måling $y(s)$, referanse $r(s)$, pådrag $u(t)$, transferfunksjon $$\frac{y}{u}(s)=G(s)$$ og regulator $$\frac{u}{e}(s)=K(s)$$

Da får vi:

Sløyfetransferfunksjon	$L(s)=G(s)K(s)$
Følgeforholdet	$T(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{G(s)K(s)}{1+G(s)K(s)}=\frac{L(s)}{1+L(s)}$
Sensitivitetsfunksjon	$S(s)=\frac{y}{r}(s)=\frac{1}{1+G(s)K(s)}=\frac{1}{1+L(s)}$

Merk at $T(s)+S(s)=1$.

Har vi disse kan vi bestemme det meste, inkludert å tune regulatorer for stabilitet og eliminere stasjonæravvik. Følgeforholdet forteller oss hvor godt vi lykkes i å få målingen til å følge referansen, med perfekt følging når T(s) = 1. Det er også innvirkning av forstyrrelser. Avviksforholdet forteller om hvor høy avviket er i forhold til referansen.

Vanlige regulatorer

For frekvensdomenet skrives en regulator vanligvis på Laplaceformen: $u(s)=K(s)e(s)$

P-regulator: $$K(s)=K_{p}$$ PD-regulator: $$K(s)=K_{p}+K_{D}s$$ PI-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}={\frac{(K_{p}s+K_{I})}{s}}$$ PID-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}+K_{D}s=\frac{K_{p}s^2+K_{D}s+K_{I}}{s^2}$$

Stabilitet

For stabilitet gjelder hovedsakelig en ting: Ingen poler i høyre halvplan. Hvis vi har dette fortsetter grafen å øke med tiden. Se også Routh-Hurwitz kriteriet lenger nede.

$H(s)={\frac{1}{s+1}}$ Stabilt fordi løsningen dør ut med tiden: $y(t)=e^{-t}$

$H(s)={\frac{1}{s-1}}$ Ustabilt fordi løsningen øker med tiden: $y(t)=e^{t}$

Generelt er poler komplekse tall der imaginærdelen gir oscillasjoner og realdelen bestemmer om eksponentialfunksjonen stiger eller synker. Bildet under illustrerer dette bra:

Poler

Men, vi kan også ha et system som ikke øker eller synker, dette kalles et marginalt stabilt system.

Asymptotisk stabiilt: Alle poler har negative reelle deler
Marginalt stabilt: En eller flere realdelene er lik nul, men ingen av disse er multiple
Ustabilt: En eller flere polene har positiv reelle komponenter

Start- og sluttverditeorem

Dette kan bl.a. brukes for å sjekke at vi går til konstant referanse uten stasjonæravvik med valgt regulator. $$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to0} sy(s)$$

$$\lim_{t\to0} y(t) = \lim_{s\to\infty} sy(s)$$

Hvis vi ikke vil ha noe stasjonæravvik holder det å sjekke at

$$\lim_{s\to0} T(s) = 1$$

eventuelt

$$\lim_{s\to0} T(s)r_{0} = r_{0}$$

NB: Her har vi $T(s)$ og ikke $sT(s)$. Dette følger av:

$$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to0} sy(s) = \lim_{s\to0} sT(s)r(s) = \lim_{s\to0} sT(s)\frac{r_0}{s} = \lim_{s\to0} T(s)r_0$$

der $r_0$ er en konstant referanse.

Routh-Hurwitz kriteriet

Routh-Hurwitz kriteriet sier generelt at vi må ha positive koeffisienter i nevner i første- og andreordens transferfunksjoner. For tredjeordens transferfunksjoner må i tillegg også $$\frac{a_{3}a_{1}-a_{0}a_{2}}{a_{2}} > 0$$ der koeffisientene er gitt ved $$H(s) = \frac{\dots}{a_{3}s^3+a_{2}s^2+a_{1}s+a_{0}}$$

Nyquist kriteriet

Brukes for å bestemme om et åpent sløyfe system blir stabilt når du lukker sløyfen.

$$N=Z-P$$

$Z$: Nullpunkter til $F(s)=1+L(s)$ i HHP
$P$: Poler til $L(s)$ i HHP

For stabilitet krever vi $$N=-P$$

Hvis vi allerede har diagrammene, kan vi sjekke det grafisk.

Noe

Vi ser at grafen til høyre ikke omsløyfer -1, noe som gjør systemet stabilt i lukket sløyfe. Grafen til venstre omsløyfer -1 og kommer til å være ustabil i lukket sløyfe.

Nyquist-Prodesyre

Finn antall ustabile poler for åpen løkke
Plott polardiagrammet med valgt regulator og forsterkning
Tell hvor mange ganger vektoren roterer
Hvis antall ustabile poler minus antall rotasjoner er høyere enn null, blir systemet stabilt i lukket sløyfe.

Marginer

Forsterkningsmargin $\Delta K$: Hvor mye man kan gange et system med en gitt konstant før det blir ustabilt (innslutter -1).
Fasemargin $\Psi$: Hvor mye man kan rotere et system før det blir ustabilt og grafen innslutter -1, typisk vil en fasemargin under 45$^∘$ være dårlig

Ekstra informasjon

Regulatordesign

Ved valg av regulator må vi først sjekke at vi kan følge en konstant referanse med sluttverditeoremet, og så tune konstanter til den oppførselen vi vil ha.

Generelt settes konstantene slik at vi får kritisk demping, altså én sammenfallende pol i venstre halvplan. Dette kan f.eks gjøres ved å sammenligne systemet med en en harmonisk oscillator, eller bruke ABC-formel på nevneren til $T(s)$. Routh-Hurwitz kriteriet kan også brukes (alltid positive koeffisienter i nevner).

Internal Model Control (IMC)

Selv om det er utenfor pensum, så kan vi bruke noe som heter Internal Model Control for å finne formatet til regulatoren. Det er et ganske kompleks teorem men med en ganske grei konklusjon: $$ K \approx \frac{1}{G}\times\frac{1}{s}$$

K: Formatet til kontrolleren
G: Transferfunksjonen med bare polene, altså ingen integratorer eller nullpunkter

MATLAB tips & tricks

Transferfunksjon:

H=tf([N],[D])

[N] og [D] er lister som indikerer koeffisientene foran $s$ i synkende grad. F.eks

H=tf([1 1],[1 1 1])

gir transferfunksjonen

$$H(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}$$

Diagrammer:

bode(H)
bodemag(H)
nyquist(H)

Written by

haakenl jegerud dave420 TobiWan tajoon CarstenA

Last updated: Wed, 8 Dec 2021 16:43:51 +0100 .