Table of Contents

Matematiske modeller av dynamiske systemer
Tilstandsromanalyse
Laplacetransformasjon
Frekevensanalyse
1. Båndbredde
Tilbakekoplede systemer
Regulatortyper
Stabilitet
Syntesemetoder for lineære reguleringssystemer
Multivariable systemer
Diskret regulering av kontinuerlige systemer
Begrensninger i lineære reguleringssytemer

‹

TTK4105: Reguleringsteknikk

Tags:

Matematiske modeller av dynamiske systemer

Stasjonære modeller

Man kan kalle en modell for stasjonære når alle variabler er konstante gjennom tidsforløpet til systemet.

Differensiallikninger

1. ordens differensiallikning

Standardform for en førsteordens lineær differensiallikning er $$ \dot{x} = a(t)x + b(t)u $$ hvor $u$ er en ytre drivfunksjon. Løsningen er $$ x(t) = e^{a(t - t_0)} x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{a(t - \tau)} bu(\tau)\,d\tau$$

Lineære systemer

Man kan legge sammen lineære differensiallikninger for å danne et lineært system. De enkelte ligningene blir da delresponser i systemet. I et lineært system hvor $$ x = \varphi x_1 + \rho x_2 $$

$$\dot{x_1} = ax_1 + bu_1 $$ $$\dot{x_2} = ax_2 + bu_2 $$ $$\dot{x} = \varphi x_2 + \rho u_2 $$ Merk at alle differansiallikningene må være lineære for at man kan legge de sammen til et system.

Impulsrespons

Når et lineært tidsinvariant system blir utsatt for en kortvarig påkjenning/impuls, vil responsen til systemet være impulsresponsen $h(t)$. For et generisk system $\dot{x} = ax + bu$ vil impulsresponsen være $ h(t) = e^{at}b$. Man kan uttrykke den generelle responsen til systemet ved hjelp av impulsresponsen $$ x(t) = e^{a(t - t_0)} x_0 + \int_{t_0}^{t} h(t - \tau) bu(\tau)\,d\tau$$ Hvis $x_0 = 0$ og $t = 0$, forenkles dette til $$x(t) = \int_{0}^{t} h(t - \tau) bu(\tau)\,d\tau = h(t) * u(t)$$ Altså, utgangssignalet er lik inngangssignalet foldet med impulsresponsen.

Sett av differansiallikninger

Når man har et større system med mange lineære lkninger, er det ofte lettere å uttrykke det ved hjelp av vektorer og matriser. Et system med variabler $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ kan man oppsummere som vektoren $\textbf{x}$. De deriverte av disse variablene kan også uttrykkes som vektoren $\dot{\textbf{x}}$.

Differensiallikninger av høyere orden

I systemer med høyere ordens deriverte, gjør man om disse til et system av førsteordens likninger. Systemet still da opp som $$ x_1 = x \\ x_2 = \dot{x} = \dot{x}_1 \\ x_3 = \ddot{x} = \dot{x}_2 \\ x_4 = \dddot{x} = \dot{x}_3$$

Dette systemet løses da som et vanlig likningssystem.

Blokkdiagrammer

Tilstandsromanalyse

Tilstandsvektorer og tilstandsrom

Systemer som blir beskrevet av koplede førsteordens differensiallikninger $$\dot{x}_1 = f_1(x_1, x_2,..., x_n, u_1, u_2,..., u_r, t) \\ \dot{x}_2 = f_1(x_1, x_2,..., x_n, u_1, u_2,..., u_r, t) \\ \dot{x}_3 = f_1(x_1, x_2,..., x_n, u_1, u_2,..., u_r, t) \\\vdots\\ \dot{x}_n = f_1(x_1, x_2,..., x_n, u_1, u_2,..., u_r, t)$$

kan skrives om til vektornotasjon $$\dot{\textbf{x}} = \textbf{f}(\textbf{x}, \textbf{u},t)$$ hvor $\textbf{x}$ er tilstandsvektoren og dens elementer er tilstandsvariabler. Vektorrommet som utspennes av tilstandsvektoren kalles tilstandsrommet. Ligningen over kalles tilstandsrommodellen. Hvis differensiallikningene er lineære med konstante koeffisienter, kan man skrive tilstandsrommodellen som $$\dot{\textbf{x}} = \textbf{Ax}(t) + \textbf{Bu}(t) $$ der $\textbf{A}$ og $\textbf{B}$ er konstante matriser.

Eksempel: Svingende masse

Tilstandsromformen for et system med svingende masse vil tilstandsvektorene bli $$ \textbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $$ Pådraget $u$ vil være en skalar fordi man bare har ett pådrag. Dermed blir matrisen $\textbf{B}$ bare en vektor $\textbf{b}$. Tilstandsrommodellen blir da $$\dot{\textbf{x}} = \textbf{Ax} + \textbf{b}u $$ som i sin fulle form blir $$\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ f\frac{k}{m} & -\frac{f}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u$$

Løsning av lineære vektordifferensiallikninger

Systemet $$\dot{\textbf{x}} = \textbf{Ax} + \textbf{b}u $$ har løsningen $$ x(t) = e^{\textbf{A}(t - t_0)} \textbf{x}(t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{\textbf{A}(t - \tau)} \textbf{Bu}(\tau)\,d\tau$$ hvor transisjonsmatrisen $e^{\textbf{A}t}$ er gitt som $$e^{\textbf{A}t} = \textbf{M} e^{\Lambda t}\textbf{M}^{-1}$$ hvor $\textbf{M}$ er egenvektormatrisen, og $e^{\Lambda}$ er gitt som $$e^{\Lambda} = \begin{bmatrix} e^{\lambda _1 t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{\lambda _2 t} & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & & & e^{\lambda _n t} \end{bmatrix}$$ hvor $ \lambda _1, \lambda _2, \lambda _3,..., \lambda _n$ er egenverdiene. \ Alternativtkan man bruke rekkeutvikling og få $$ e^{\textbf{A}t} = \Phi (t) = \textbf{I} + \textbf{A}t + \frac{1}{2!} \textbf{A}^2 t^2 + ... + \frac{1}{i!} \textbf{A}^i t^i $$

Når pådraget e rkonstant i et tidsintervall $\Delta t $, er transisjonen til et system fra tidspunkt $t_1$ til $ t_2$ gitt av $$ \textbf{x}(t_2) = \Phi(\Delta t) \textbf{x}(t_1) + \Delta (\Delta t) \textbf{u}(t_1)$$ Hvor $\Phi (\Delta t) = e^{\textbf{A}\Delta t}$ og $\Delta (\Delta t) = \textbf{A}^{-1} (\Phi (\Delta t) - \textbf{I}) \textbf{B}$.

Når tidsintervallene blir svært korte, holder det å ta rekken til en lav potens - f.eks tredje potens, slik at $$ \Phi (\Delta t) \approx \textbf{I} + \textbf{A} \Delta t + \frac{1}{2!} \textbf{A}^2 \Delta t^2 + \frac{1}{3!} \textbf{A}^3 \Delta t^3$$ $$ \Delta (\Delta t) \approx (\textbf{I} + \frac{1}{2!} \textbf{A} \Delta t + \frac{1}{3!} \textbf{A}^2 \Delta t^2) \Delta t \textbf{B}$$ men dette kan variere fra eksempel til eksempel.

Monovariable og multivariable systemer

@TODO

Valg av Tilstandsvariable

@TODO

Ulineære vektordifferensiallikninger og linearisering

Majoriteten av prosesser er ikke lineære i virkeligheten. Man tar derfor å lineariserer, eller antar at systemet er lineær innenfor et lite område rundt de aktuelle arbeidspunktene $\textbf{x}^p$ og $\textbf{ux}^p$. Prosessen er litt tilsvarende som å interpolere i ulineære tabeller. For små utslag rundt arbeidspunktet kan man regne på reaksjonen til systemet som

$$\Delta\dot{\textbf{x}}_i = \frac{\delta f_i}{\delta x_1}|_p \Delta x_1 + ... + \frac{\delta f_i}{\delta x_n}|_p \Delta x_n + \frac{\delta f_i}{\delta u_1}|_p \Delta u_1 + ... + \frac{\delta f_i}{\delta u_r}|_p \Delta u_r $$

$$\Delta \dot{\textbf{x}} = \textbf{A} \Delta \textbf{x} + \textbf{B} \Delta \textbf{u}$$

I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet$^1$

$$J\dot\Omega=\frac{k_t}{R}(u-k_v\Omega)-m(s),\quad m(s) = c|\Omega|\Omega$$

Lineariserer $m(s)$:

$$c|\Omega|\Omega \approx c|\bar\Omega|\bar\Omega + 2c|\bar\Omega|\Delta{\Omega}$$

Dette kan vi bruke for å finne pådraget $\bar{u}$ som passer i lineariseringspunktet og deretter et system beskrevet av kun variablene $\Delta{\Omega}$ og $\Delta{u}$.

$^1$Tatt fra løsningsforslag eksamen 2016

Laplacetransformasjon

Formålet med Laplacetransformasjoner er oversette systemet fra tidsdomenet til frekvensdomenet.

Regler

Linearitet

$$\mathcal{L}(af(t)) = af(s) $$ $$\mathcal{L}(f_1(t) \pm f_2(t)) = f_1(s) \pm f_2(s) $$

Derivasjon

$$ \mathcal{L}(\dot{f}(t)) = sf(s) - f(t = 0)$$ $$ \mathcal{L}(\ddot{f}(t)) = s^2f(s) - f(t = 0) - \dot{f}(t = 0)$$

Integrasjon

$$ \mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}f(t) dt\right) = \frac{f(s)}{s}$$ $$ \mathcal{L}\left(\int_{-\infty}^{t}f(t) dt\right) = \frac{f(s)}{s} + \frac{1}{s}\int_{-\infty}^{0}f(t) dt $$

Tidsmålestokk

$$\mathcal{L}\left(f \left(\frac{t}{a} \right)\right) = af(as) $$

Reell translasjon (tidsforsinkelse)

$$\mathcal{L}(f(t - \tau) \mu (t - \tau)) = e^{-\tau s}f(s) $$

Kompleks translasjon

$$\mathcal{L}(f(e^{at}f(t)) = f(s +a) $$

Lineær tidsveiing

$$\mathcal{L}(tf(t)) = -\frac{df(s)}{ds} $$

Reell multiplikasjon (kompleks folding)

$$\mathcal{L}\left(f_1(t)f_2(t)\right) = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\gamma _2 -j\infty}^{\gamma _2 +j\infty} f_1(s - w)f_2(w) dw$$

Kompleks multiplikasjon (reell folding)

$$\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}f_1(t - \tau)f_2(\tau) d\tau \right) = f_1(s)f_2(s) $$

Sluttverdi

$$ \lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\to 0}sf(s)$$

Begynnelsesverdi

$$ \lim_{t\to 0}f(t) = \lim_{s\to \infty}sf(s)$$

Liste

$\textbf{f(t)}$	$\textbf{F(s)}$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$t^2$	$\frac{2}{s^3}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$	$\frac{1}{\sqrt{s}}$
$\frac{t^{a-1}}{\Gamma(a)}$	$\frac{1}{s^a} \quad(a > 0)$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$t - a$	$\frac{e^{-as}}{s}$
$\frac{1}{a-b}(e^{at} - e^{bt})$	$\frac{1}{(s-a)(s-b)} \quad a\neq b$
$\frac{1}{a-b}(ae^{at} - be^{bt})$	$\frac{1}{(s-a)(s-b)} \quad a\neq b$
$\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$\cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$
$\sinh(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2 - \omega^2}$
$\cosh(\omega t)$	$\frac{s}{s^2 - \omega^2}$
$e^{at}\sin(\omega t)$	$\frac{s - a}{(s-a)^2 + \omega^2}$
$e^{at}\cos(\omega t)$	$\frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$
$1 - \cos(\omega t)$	$\frac{\omega^2}{s(s^2 + \omega^2)}$
$\omega t - \sin(\omega t)$	$\frac{\omega^3}{s^2(s^2 + \omega^2)}$
$\sin(\omega t) - \omega t \cos(\omega t)$	$\frac{2\omega^3}{(s^2 + \omega^2)^2}$
$t \sin(\omega t)$	$\frac{2w \cdot s}{(s^2 + \omega^2)^2}$
$\frac{2}{t}(1 - \cos(\omega t)$	$\ln\frac{s^2 + \omega^2}{s^2}$
$-\ln t - \gamma\quad(\gamma \approx 0.5772)$	$\ln(s)/s$
$\frac{e^{bt}-e^{at}}{t}$	$\ln\frac{s - a}{s - b}$
$\frac{\sin\omega t}{t}$	$\arctan\frac{\omega}{s}$

Transferfunksjon

Når alle initialbetingelser er lik null, er Laplacestransformen til et lineært system sin respons definert av inngangssignalets Laplacetransform og funksjonen $h(s)$, som man kaller systemets transferfunksjon. Responsen til systemet blir da $$ y(s) = h(s)u(s)$$ Transferfunksjonen blir ofte definert som $$ h(s) = \frac{y(s)}{u(s)}$$ Hvis inngangssignalet er en impuls som deltafunksjonen, er jo $\mathcal{L}[\delta(t)] = u(s) = 1$, og man får da at $y(s) = h(s) \cdot 1 = h(s)$ som da gir $y(t) = h(t)$. Folding i $t$-planet er tilsvarende multiplikasjon i $s$-planet $$h(t) * u(t) \longleftrightarrow h(s)u(s)$$

Lineære vektordifferensiallikninger og Laplacetransformasjon

Laplacetransformasjon fungerer lineært på vektorer og matriser, slik at $$\mathcal{L}(\textbf{x}(t)) = \textbf{x}(s)$$

For systemet $$\dot{\textbf{x}}(t) = \textbf{Ax}(t) + \textbf{Bu}(t)$$ $$\textbf{y}(t) = \textbf{Cx}(t)$$ blir Laplacetransformen $$s\textbf{x}(s) - \textbf{x}(t = 0) = \textbf{Ax}(s) + \textbf{Bu}(s) $$ $$\textbf{y}(s) = \textbf{Cx}(s)$$

Løser man for $\textbf{x}(s)$ $$\textbf{x}(s) = (s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} \textbf{x}(t=0) + (s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} \textbf{Bu}(s)$$ $$ \textbf{y}(s) = \textbf{C}(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1}\textbf{x}(t=0) + \textbf{C}(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} \textbf{Bu}(s)$$

Der $(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1}$ kalles resolventmatrisen og er definert som $$\mathcal{L}(\Phi(t)) = \mathcal{L}(e^{\textbf{A}t}) =\Phi(s)=(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1}$$ Dersom $\textbf{A}$ har lineært uavhengige egenvektorer, kan den diagonaliseres ved hjelp av egenvektormatrisen $\textbf{M}$ (også kalt modalmatrisen) $$\textbf{A} = \textbf{M} \Lambda \textbf{M}^{-1} $$ der $\Lambda$ er egenverdimatrisen, slik at $$(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} = \textbf{M}(s\textbf{I} - \Lambda)^{-1}\textbf{M}^{-1} $$ $$ s(\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} = \textbf{M}\begin{bmatrix} \frac {1}{s - \lambda _1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \frac {1}{s - \lambda _2} & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & & & \frac {1}{s - \lambda _n} \end{bmatrix}\textbf{M}^{-1}$$

Eksempel 4.7 - Svingende masse

Et system med svingende masse karakteriseres som en masse festet til en fjær og en demper, og kan uttrykkes som

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{f}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}$$

hvor $ \frac{k}{m} = 21$, $\frac{f}{m} = 10$, og $\frac{1}{m} = 0.25$. Vi ønsker å finne $\textbf{x}(s)$, men først må vi finne resolventmatrisa $(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1}$. Første steg blir da å regne ut egenverdiene til $\textbf{A}$ som er $\lambda _1 = -7$ og $\lambda _2 = -3$. Egenvektormatrisa blir da

$$ \textbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ -7 & 1 \end{bmatrix}$$

$$ \textbf{M}^{-1} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -21 & -3 \end{bmatrix}$$

Vi setter så dette inn i $\textbf{A} = \textbf{M} \Lambda \textbf{M}^{-1} $

$$(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ -7 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{s + 7} & 0 \\ 0 & \frac{1}{s + 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-3 & -1 \\ -21 & -3 \end{bmatrix} \\ (s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}\frac{-3}{s + 7} + \frac{7}{s + 3} & \frac{-1}{s + 7} + \frac{1}{s + 3} \\ \frac{21}{s + 7} - \frac{21}{s + 3} & \frac{7}{s + 7} - \frac{3}{s + 3} \end{bmatrix} $$

Nå som resolvent matrisaer funnet resolventmatrisa $(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1}$, kan vi finne $\textbf{x}(s)$. Vi antar at leddet som inneholder initialbetingelsene er lik null. $$ \textbf{x}(s) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}\frac{-3}{s + 7} + \frac{7}{s + 3} & \frac{-1}{s + 7} + \frac{1}{s + 3} \\ \frac{21}{s + 7} - \frac{21}{s + 3} & \frac{7}{s + 7} - \frac{3}{s + 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 0.25 \end{bmatrix}u(s)$$ $$ \textbf{x}(s) = \begin{bmatrix}\frac{-1}{16(s + 7)} + \frac{1}{16(s + 3)}\\ \frac{7}{16(s + 7)} + \frac{3}{16(s + 3)} \end{bmatrix} u(s)$$ $$ \textbf{x}(s) = \begin{bmatrix}\frac{1}{84(\frac{s}{3} + 1)(\frac{s}{7} + 1)}\\ \frac{s}{84(\frac{s}{3} + 1)(\frac{s}{7} + 1)} \end{bmatrix} u(s)$$

Transfermatrisen

Transfermatrisen $\textbf{H}(s)$ er matrisen der alle elementene er transferfunksjoner $h_{ij}(s)$, og er gitt ved $$\textbf{H}(s) = \textbf{C}(s\textbf{I} - \textbf{A})^{-1}\textbf{B} $$ $$\textbf{H}(s) = \textbf{CM}\begin{bmatrix} \frac{1}{s - \lambda _1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \frac{1}{s - \lambda _2} & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{s - \lambda _n} \end{bmatrix}\textbf{M}^{-1}\textbf{B} $$

Igjen, beskriver matrisen forholdet mellom inngangssignalet/input $\textbf{u}(s)$ og utgangssignalet/output $\textbf{y}(s)$ i $s$-planet når starttilstanden i systemet er lik null. $$\textbf{y}(s) = \textbf{H}(s) \textbf{u}(s) $$

Poler, nullpunkter, og transferfunksjoner

Ettersom transferfunksjonen er en brøk med polynom i teller og nevner $$h(s) = \frac{y(s)}{u(s)} = \frac{\rho_p s^p + ... + \rho_1 s + \rho_0}{s^n + \alpha _{n-1} s^{n-1} + ... + \alpha _1 s + \alpha _0}$$ vil det være visse verdier som gjør at $h(s)$ går mot null (nullpunkter) eller uendelig (poler). Man finner disse ved å faktorisere polynomene i teller og nevner av $h(s)$. $$h(s)= \frac{\rho_p s^p + ... + \rho_1 s + \rho_0}{s^n + \alpha _{n-1} s^{n-1} + ... + \alpha _1 s + \alpha _0} = \frac{(s - \nu_1)(s - \nu_2)...(s - \nu _p)}{(s - \lambda _1)(s - \lambda _2)...(s - \lambda _n)} $$

Det er røttene til teller-polynomet i $h(s)$ som gir nullpunkter, og røttene til nenver-polynomet som gir poler. Som man ser er det egenverdiene $\lambda _1, \lambda _2,..., \lambda _n$ til systemmatrisen $\textbf{A}$ som er røttene.

Eksempel - Svingende masse

Gitt et svingende massesystem likt eksempel 4.7, som er beskrevet av likningen $$ \ddot{x}(t) + \frac{f}{m} \dot{x}(t) + \frac{k}{m}x(t) = \frac{1}{m}p(t)$$ hvor $p(t)$ er kraften som er tilsvarende pådraget $u(t)$. Laplacetransformasjonen av systemet blir da $$s^2y(s) + \frac{f}{m}sy(s) + \frac{k}{m}y(s) = \frac{1}{m}u(s) $$ Dette faktoriseres $$y(s)(ms^2 + fs + ks) = u(s) $$ $$h(s) = \frac{y(s)}{u(s)} = \frac{1}{ms^2 + fs + ks} $$ Polynomet i nevneren faktoriseres til å være på formen $(s - \lambda_1)(s - \lambda_2)$ slik at $$ h(s) = \frac{1}{ms^2 + fs + ks} = \frac{\frac{1}{m}}{s^2 + \frac{f}{m}s + \frac{k}{m}} =\frac{\frac{1}{m}}{(s - \lambda_1)(s - \lambda_2)}$$ Med dette kan man finne eigenverdiene $\lambda_1$ og $\lambda _2$ ved å løse $s^2 + \frac{f}{m}s + \frac{k}{m} = (s - \lambda_1)(s - \lambda_2)$. Dette løses med $$\begin{matrix} \lambda_1 \\ \lambda _2 \end{matrix} \Bigg\} = - \frac{f}{2m} \left(1 \pm \sqrt{1 - 4\frac{km}{f^2}}\right)$$

Polenes plassering og responser

Systemets respons kan bli karakterisert av polenes og nullpunktenes plassering i det komplekse $s$-planet. Man splitter polenes mulige plasseringer inn i tre kategorier

Navn	Reell verdi, $Re(\lambda)$	Imaginær verdi, $Im(\lambda)$
Overdempet system	$Re(\lambda_1) \neq Re(\lambda_2)$	$Im(\lambda_1) = Im(\lambda_2) = 0$
Kritisk dempet system	$Re(\lambda_1) = Re(\lambda_2)$	$Im(\lambda_1) = Im(\lambda_2) = 0$
Underdempet system	$Re(\lambda_1) = Re(\lambda_2)$	$Im(\lambda_1) = -Im(\lambda_2) \neq 0$

Polene vil nesten alltid ligge i venstre halvplan, altså at polenes reelle verdi er negative. Hvis polene har positiv reell verdi, altså liggeri høyre halvplan, vil systemet være ustabilt.

Overdempet system

For overdempede systemer er polene reelle, men forskjellige. Det er karakterisert av at systemets respons konvergerer mot en likevektsverdi uten å oscillere. Jo større forskjellen på polenes verdi er, jo tregere vil systemet konvergere. Desto mindre forskjell, desto raskere vil det konvergere. Sagt på et annet vis; Systemets korrigerende kraft blir mindre desto lengre polene står fra hverandre.

For et varmeovn vil likevekt være når temperaturen i rommet er lik den ønskede/innstilte temperaturen For et pendel vil dette være når pendelet ikke har utslag/henger loddrett.

Kritisk dempet

Kritisk dempede systemer er lignende overdempet system, men er karakterisert av den raskeste konvergeringshastigheten før oscillering oppstår. Her vil polene stå så nær hverandre de kan, og den korrigerende kraften vil være maksimal uten å innføre oscilleringer. Den dempende kraften i systemet er altså lik de drivende kreftene i systemet.

Underdempet system

Underdempede systmer kan bli beskrevet som systemer med en overkorrigerende kraft - eller hvor systemets krefter/responser er langt kraftigere enn hva den dempende kraften er. Dette leder til oscillasjon.

Polene vil da få en kompleks verdi gitt som $$\lambda_1 = -\alpha - j \beta \quad \text{og} \quad \lambda_2 = - \alpha + j\beta$$

Funksjon	Symbol	Likning
Absolutt dempningsfaktor	$\alpha$	$=Re(\lambda)$
Svingefrekvens	$\beta$	$=Im(\lambda) $
Udempet resonansfrekvens	$\omega_0$	$=\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} $
Relativ dempningsfaktor	$\zeta$	$=\frac{\alpha}{\omega_0} $
Faseforskyvning	$\varphi$	$=sin^{-1}(\zeta) $

Når $alpha$ er stor, vil systemet være sterkt dempet og derfor reagere raskt. Det er den relative dempningsfaktoren $\zeta$ som bestemmer hvor fort amplituden til oscillasjonene minker. Når $\zeta \geq 1 $ vil systemet være kritisk dempet eller overdempet, og ingen oscillasjon vil oppstå. I dette tilfellet kan man ikke bruke $\zeta = sin \varphi$. Når $\zeta = 0$ vil amplituden til oscillasjonene ikke minke i det hele tatt, og svingefrekvensen vil være lik den udempede svingefrekvensen $\omega_0$

Frekevensanalyse

Frekvenanalyse handler om å se på systemets respons over et spekter av frekvenser, i stedet for responsen over tid. For frekvensanalyser tar man utgangspunkt i at inngangssignalet er en sinussvingning med en gitt amplitude $u_0$ og økende frekvens $\omega$. Et ideelt system vil klare å følge inngangssignalet $u_0 sin \omega t$ og gi en respons med helt lik frekvens og en amplitude som ikke er avhengig av frekvensen til inngangssignalet. Responsen til et reelt system vil være avhengig av frekvensen til inngangssignalet $\omega$. Responsen til inngangssignalet $u(t) = u_0 sin \space \omega t$ vil være $$y_s(t) = u_0 |h(j\omega)|sin(\omega t +\angle h(j\omega)) $$

Båndbredde

Båndbredden til et system er frekvensområdet $\omega_b$ hvor tilbakekoplingen er effektiv, gitt som $M(j\omega) \approx 1$.

Tilbakekoplede systemer

Regulatortyper

Oppsummert:

P-regulator: $$K(s)=K_{p}$$ PD-regulator: $$K(s)=K_{p}+K_{D}s$$ PI-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}={\frac{(K_{p}s+K_{I})}{s}}$$ PID-regulator: $$K(s)=K_{p}+{\frac{K_{I}}{s}}+K_{D}s=\frac{K_{p}s^2+K_{D}s+K_{I}}{s^2}$$

P-regulator

P-regulatorer er en proposjonal regulatorer. Det betyr at den tar en differenase $e = y - y_0$, og lar pådraget være produktet av differansen og en forhåndsinnstilt forsterkningsgrad $K_p$. Grunnet at reelle systemer har et viss tap/ineffektiviteter (varmetap til omgivelser, friksjoner, naturlige motstander, osv), vil en P-regulator ha likevektspunkt der pådraget $u$ er lik proposjonalavviket $v$ som er summen av disse tapene. En reell P-regulator vil derfor aldri ende opp på nøyaktig ønsket verdi $y_0$, men heller $y_0 - v$.

Eks: Termostat

Ønsket temperatur i et rom er $y_0 = 50$ grader. La oss si at nåværende temperatur er $y = 20$ grader. Forsterkningsgraden er stilt inn til å være $10 \frac{W}{^{\circ}C}$. Pådraget til termostaten i det øyeblikket vil da være $u = K_p \cdot e = K_p \cdot (y_0 - y) = 10 \frac{W}{^{\circ}C} \cdot (50 ^{\circ}C - 20 ^{\circ}C) = 300 W$. Varmekilden vil da altså gi ut 300W med varme når temperaturen i rommet er 20 grader og ønsket temperatur er 50 grader. Hadde den nåværende temperaturen $y$ vært lik den ønskede temperaturen $y_0$, ville differansen $e$ vært null, og pådraget $u$ ville da også blitt null.

PI-regulator

PI-regulator tar med seg historisk avvik $e$ ved å kontinuerlig integrere $e$ over tid. Integralet blir et bidrag i pådraget $u$, slik at $u = K_p \cdot e + \frac{K_p}{T_i} \int_{t_0}^{t} e(\tau) d\tau$, hvor $T_i$ er en konstant man kan justere fritt selv. Selv når $e = 0$, vil det være et pådrag. Dette motvirker proposjonalavviket, men leder til oscillering rundt $y_0$, ettersom integralet $\int_{t_0}^{t} e(\tau) d\tau$ bare stopper å utvikle seg når $e = 0$. For at integralet skal gå mot null, må $e$ ha en betydlig negativ verdi over en betydlig tidsperiode (overshoote). Dette gir oscillering.

PD-regulator

PD-regulator tar med seg hvor fort $y$ beveger seg mot $y_0$ ved å se på hvor fort $e$ endrer seg. Dette gir ofte da et negativt birdag i pådraget $u$ for å begrense proposjonal-delen i regulatoren og forhindre overshoot. PD-regulator treffer raskere $y_0$, da en velinnstilt $K_D$ tillater større $K_p$. Dette gjør derimot systemet mer sensitivt til små men kjappe edringer i $y$ grunnet støy.

Eks: Støtdemper

En støtdemper er satt sammen av en fjær og et stempel. Fjæren uttrykker en kraft når støtdemperen opplever avvik fra null-posisjonen $y_0$, som skalerer lineært med størrelsen på avviket $y_0 - y$. Fjæren fungerer da som en proposjonalregulator, hvor stivheten til fjøren er $K_p$. Stempelet uttrykker en kraft som skalerer med hvor fort stempelet beveger seg, som da tilsvarer en derivat-regulator. En støtdemper kan derfor ansees som å være en fysisk PD-regulator.