TTK4105: Reguleringsteknikk
Matematiske modeller av dynamiske systemer
Stasjonære modeller
Man kan kalle en modell for stasjonære når alle variabler er konstante gjennom tidsforløpet til systemet.
Differensiallikninger
1. ordens differensiallikning
Standardform for en førsteordens lineær differensiallikning er
Lineære systemer
Man kan legge sammen lineære differensiallikninger for å danne et lineært system. De enkelte ligningene blir da delresponser i systemet.
I et lineært system hvor
Impulsrespons
Når et lineært tidsinvariant system blir utsatt for en kortvarig påkjenning/impuls, vil responsen til systemet være impulsresponsen
Sett av differansiallikninger
Når man har et større system med mange lineære lkninger, er det ofte lettere å uttrykke det ved hjelp av vektorer og matriser. Et system med variabler
Differensiallikninger av høyere orden
I systemer med høyere ordens deriverte, gjør man om disse til et system av førsteordens likninger.
Systemet still da opp som
Dette systemet løses da som et vanlig likningssystem.
Blokkdiagrammer
Tilstandsromanalyse
Tilstandsvektorer og tilstandsrom
Systemer som blir beskrevet av koplede førsteordens differensiallikninger
kan skrives om til vektornotasjon
Eksempel: Svingende masse
Tilstandsromformen for et system med svingende masse vil tilstandsvektorene bli
Løsning av lineære vektordifferensiallikninger
Systemet
Når pådraget e rkonstant i et tidsintervall
Når tidsintervallene blir svært korte, holder det å ta rekken til en lav potens - f.eks tredje potens, slik at
Monovariable og multivariable systemer
@TODO
Valg av Tilstandsvariable
@TODO
Ulineære vektordifferensiallikninger og linearisering
Majoriteten av prosesser er ikke lineære i virkeligheten. Man tar derfor å lineariserer, eller antar at systemet er lineær innenfor et lite område rundt de aktuelle arbeidspunktene
I praksis lineariserer vi kun de ulineære leddene, så da f.eks i det ulineære systemet
Lineariserer
Dette kan vi bruke for å finne pådraget
Laplacetransformasjon
Formålet med Laplacetransformasjoner er oversette systemet fra tidsdomenet til frekvensdomenet.
Regler
Linearitet
Derivasjon
Integrasjon
Tidsmålestokk
Reell translasjon (tidsforsinkelse)
Kompleks translasjon
Lineær tidsveiing
Reell multiplikasjon (kompleks folding)
Kompleks multiplikasjon (reell folding)
Sluttverdi
Begynnelsesverdi
Liste
Transferfunksjon
Når alle initialbetingelser er lik null, er Laplacestransformen til et lineært system sin respons definert av inngangssignalets Laplacetransform og funksjonen
Lineære vektordifferensiallikninger og Laplacetransformasjon
Laplacetransformasjon fungerer lineært på vektorer og matriser, slik at
For systemet
Løser man for
Der
Eksempel 4.7 - Svingende masse
Et system med svingende masse karakteriseres som en masse festet til en fjær og en demper, og kan uttrykkes som
hvor
Vi setter så dette inn i
Nå som resolvent matrisaer funnet resolventmatrisa
Transfermatrisen
Transfermatrisen
Igjen, beskriver matrisen forholdet mellom inngangssignalet/input
Poler, nullpunkter, og transferfunksjoner
Ettersom transferfunksjonen er en brøk med polynom i teller og nevner
Det er røttene til teller-polynomet i
Eksempel - Svingende masse
Gitt et svingende massesystem likt eksempel 4.7, som er beskrevet av likningen
Polenes plassering og responser
Systemets respons kan bli karakterisert av polenes og nullpunktenes plassering i det komplekse
Navn | Reell verdi, |
Imaginær verdi, |
Overdempet system | ||
Kritisk dempet system | ||
Underdempet system |
Polene vil nesten alltid ligge i venstre halvplan, altså at polenes reelle verdi er negative. Hvis polene har positiv reell verdi, altså liggeri høyre halvplan, vil systemet være ustabilt.
Overdempet system
For overdempede systemer er polene reelle, men forskjellige. Det er karakterisert av at systemets respons konvergerer mot en likevektsverdi uten å oscillere. Jo større forskjellen på polenes verdi er, jo tregere vil systemet konvergere. Desto mindre forskjell, desto raskere vil det konvergere. Sagt på et annet vis; Systemets korrigerende kraft blir mindre desto lengre polene står fra hverandre.
For et varmeovn vil likevekt være når temperaturen i rommet er lik den ønskede/innstilte temperaturen For et pendel vil dette være når pendelet ikke har utslag/henger loddrett.
Kritisk dempet
Kritisk dempede systemer er lignende overdempet system, men er karakterisert av den raskeste konvergeringshastigheten før oscillering oppstår. Her vil polene stå så nær hverandre de kan, og den korrigerende kraften vil være maksimal uten å innføre oscilleringer. Den dempende kraften i systemet er altså lik de drivende kreftene i systemet.
Underdempet system
Underdempede systmer kan bli beskrevet som systemer med en overkorrigerende kraft - eller hvor systemets krefter/responser er langt kraftigere enn hva den dempende kraften er. Dette leder til oscillasjon.
Polene vil da få en kompleks verdi gitt som
Funksjon | Symbol | Likning |
Absolutt dempningsfaktor | ||
Svingefrekvens | ||
Udempet resonansfrekvens | ||
Relativ dempningsfaktor | ||
Faseforskyvning |
Når
Frekevensanalyse
Frekvenanalyse handler om å se på systemets respons over et spekter av frekvenser, i stedet for responsen over tid. For frekvensanalyser tar man utgangspunkt i at inngangssignalet er en sinussvingning med en gitt amplitude
Båndbredde
Båndbredden til et system er frekvensområdet
Tilbakekoplede systemer
Regulatortyper
Oppsummert:
P-regulator:
P-regulator
P-regulatorer er en proposjonal regulatorer. Det betyr at den tar en differenase
Eks: Termostat
Ønsket temperatur i et rom er
PI-regulator
PI-regulator tar med seg historisk avvik
PD-regulator
PD-regulator tar med seg hvor fort
Eks: Støtdemper
En støtdemper er satt sammen av en fjær og et stempel. Fjæren uttrykker en kraft når støtdemperen opplever avvik fra null-posisjonen