# Numerikk ## Lagrange-interpolasjon ## Newtons dividerte differanser ## Simpsons metode ## Gauss-Seidel ## Euler-metoden ## Baklengs Euler ## Heuns metode ## Trapesmetoden ## Fikspunkt-iterasjon ## Newtons metode ### For ligningssystemer ## 4-punktsformelen ## 5-punktsformelen # Laplacetransformasjon Laplacetransformasjonen $F(s)$ til en funksjon $f(t)$ er definert ved $$F(s) = \mathcal{L(f)} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t. $$ Eksempelvis for $f(t) = 1$: $$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}\mathrm{d}t = \left.-\frac{1}{s}\right|_0^\infty = -\frac{1}{s}(0 - 1) = \frac{1}{s}$$ Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum): $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$$ Laplacetransformasjon er en lineær operasjon og følgende identitet gjelder dermed $$ \mathcal{L}(af(t) + bg(t)) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t)) $$ ##Første skifteteorem(s-Skifting) Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = e^{at}f(t)$ er: $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) $$

Dette kan bevises ved direkte innsetning i definisjonen: $$ F(s-a) = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}[e^{at}f(t)]\mathrm{d}t = \mathcal(L)(e^{at}f(t)) $$

###Heavisides funksjon Heavisides funksjon er definert som $$ u(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t < a \\ 1 & \text{if } t > a \end{cases} $$ Funksjonen kan brukes på kreative måter. En funksjon som oppfører seg som $f(x) = x$ frem til $3/2$ og som $g(x) = (x-1)^2 + 5/4$ videre, kan skrives som $h(x) = x(1-u(x-1.5)) + ((x-1)^2 + 5/4)u(x-3/2)$. Laplacetransformasjonen til Heavisides funksjon er gitt ved $$ \mathcal{L}(u(t-a)) = \frac{e^{-as}}{s} $$ Dette kan utledes helt analogt med $f(t) = 1$, hvor nedre integrasjonsgrense settes til $a$ ($u$ er 0 frem til a). ###t-Skifting Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = f(t-a)u(t-a)$ er $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as}F(s). $$

$$ e^{-as}F(s) = \int_0^\infty e^{-s(\tau+a)}f(\tau)\mathrm{d}\tau = \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}a $$ Her har vi brukt substitusjonen $\tau = t - a$. Videre får vi: $$ \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}a = \int_0^\infty e^{-st}f(t-a)u(t-a)\mathrm{d}a = \mathcal{L(f(t-a)u(t-a)}$$

##Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon ##En del laplacetransformasjoner