Wikipendium

History Compendium
Log in
This is an old version of the compendium, written Dec. 7, 2013, 10 p.m. Changes made in this revision were made by trmd. View rendered version.
Previous version Next version

TMA4135: Matematikk 4D

# Numerikk ## Lagrange-interpolasjon ## Newtons dividerte differanser ## Simpsons metode ## Gauss-Seidel ## Euler-metoden ## Baklengs Euler ## Heuns metode ## Trapesmetoden ## Fikspunkt-iterasjon ## Newtons metode ### For ligningssystemer ## 4-punktsformelen ## 5-punktsformelen # Laplacetransformasjon Laplacetransformasjonen $F(s)$ til en funksjon $f(t)$ er definert ved $$F(s) = \mathcal{L(f)} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt. $$ Eksempelvis for $f(t) = 1$: $$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}dt = \left.-\frac{1}{s}\right|_0^\infty = -\frac{1}{s}(0 - 1) = \frac{1}{s}$$ Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum): $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$$ Laplacetransformasjon er en lineær operasjon og følgende identitet gjelder dermed $$ \mathcal{L}(af(t) + bg(t)) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t)) $$ ##Første skifteteorem(s-Skifting) Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = e^{at}f(t)$ er: $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) $$ hvor $F(s)$ er laplacetransformasjonen til $f(t)$. Dette kan bevises ved direkte innsetning i definisjonen: $$ F(s-a) = \int_0^\infty e^{-(s-t)a}f(t) = \int_0^\infty e^{-s}[e^{at}f(t)] = \mathcal(L)(e^{at}f(t)) $$ ##Andre skifteteorem(t-Skifting) ###Heavisides funksjon Heavisides funksjon er definert som
$$\[ u(t-ax) = \left\{ \begin{array}{l l} cases} \exp{x} & \text{if } x \geq 0 \\ 1 & \qtext{if } x < 0 \end{cases} \] $$ ##Diracs deltafuad t > a\\ 0 & \quad t < a} \end{array} \right.$$ ##Diracs deltafunksjon
##Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon ##En del laplacetransformasjoner
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!