# Numerikk ## Lagrange-interpolasjon ## Newtons dividerte differanser ## Simpsons metode ## Gauss-Seidel ## Euler-metoden ## Baklengs Euler ## Heuns metode ## Trapesmetoden ## Fikspunkt-iterasjon ## Newtons metode ### For ligningssystemer ## 4-punktsformelen ## 5-punktsformelen # Laplacetransformasjon Laplacetransformasjonen $F(s)$ til en funksjon $f(t)$ er definert ved $$F(s) = \mathcal{L(f)} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt. $$ Eksempelvis for $f(t) = 1$: $$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}dt = \left.-\frac{1}{s}\right|_0^\infty = -\frac{1}{s}(0 - 1) = \frac{1}{s}$$ Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum): $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$$ Laplacetransformasjon er en lineær operasjon og følgende identitet gjelder dermed $$ \mathcal{L}(af(t) + bg(t)) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t)) $$ ##Første skifteteorem(s-Skifting) Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = e^{at}f(t)$ er: $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) $$ hvor $F(s)$ er laplacetransformasjonen til $f(t)$. Dette kan bevises ved direkte innsetning i definisjonen: $$ F(s-a) = \int_0^\infty e^{-(s-t)a}f(t) = \int_0^\infty e^{-s}[e^{at}f(t)] = \mathcal(L)(e^{at}f(t)) $$ ##Andre skifteteorem(t-Skifting) ###Heavisides funksjon Heavisides funksjon er definert som

\begin{array}{l l} 1 & \quad t > a\\ 0 & \quad t < a} \end{array} \right. $$ ##Diracs deltafunksjon ##Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon ##En del laplacetransformasjoner