# Numerikk ## Lagrange-interpolasjon ## Newtons dividerte differanser ## Simpsons metode ## Gauss-Seidel ## Euler-metoden ## Baklengs Euler ## Heuns metode ## Trapesmetoden ## Fikspunkt-iterasjon ## Newtons metode ### For ligningssystemer ## 4-punktsformelen ## 5-punktsformelen # Laplacetransformasjon Laplacetransformasjonen $F(s)$ til en funksjon $f(t)$ er definert ved $$F(s) = \mathcal{L(f)} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t. $$ Eksempelvis for $f(t) = 1$: $$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}\mathrm{d}t = \left.-\frac{1}{s}\right|_0^\infty = -\frac{1}{s}(0 - 1) = \frac{1}{s}$$ Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum): $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$$ Laplacetransformasjon er en lineær operasjon og følgende identitet gjelder dermed $$ \mathcal{L}(af(t) + bg(t)) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t)) $$ ## Noen få laplacetransformasjoner En lengre liste finnes under [Tabell med laplacetransformasjoner](#Tabell med laplacetransformasjoner). || $\textbf{f(t)}$ || $\textbf{F(s)}$ || || $1$ || $\frac{1}{s}$ || || $t$ || $\frac{1}{s^2}$ || || $t^2$ || $\frac{2}{s^3}$ || || $t^n$ || $\frac{n!}{s^{n+1}}$ || || $e^{at}$ || $\frac{1}{s-a}$ || || $sin(\omega t)$ || $\frac{s}{s^2 + \omega^2}$ || || $cos(\omega t)$ || $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ || ## Eksistens En funksjon må tilfredstille visse krav for å ha en laplacetransformasjon. Funksjonen må være _stykkvis kontinuerlig_, og være eksponensielt begrenset, altså at funksjonen tilfredstiller $$ |f(t)| \leq Me^{kt}$$ for to arbitrært valgt konstanter $M$ og $k$. ##Første skifteteorem(s-Skifting) Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = e^{at}f(t)$ er $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) $$ hvor $F(s)$ er laplacetransformasjonen til $f(t)$. Dette kalles for s-skifting. Bevis: $$ F(s-a) = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}[e^{at}f(t)]\mathrm{d}t = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) $$ ##Andre skifteteorem(t-Skifting), Heavisides funksjon, Diracs deltafunksjon ###Heavisides funksjon Heavisides funksjon er definert som $$ u(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t < a \\ 1 & \text{if } t > a \end{cases} $$ Funksjonen kan brukes på kreative måter. For eksempel kan funksjonen $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x < \frac{3}{2} \\ (x-1)^2 + \frac{5}{4} & \text{if } x > \frac{3}{2} \end{cases} $$ skrives ved hjelp av Heavisides som: $$h(x) = x(1-u(x-3/2)) + ((x-1)^2 + 5/4)u(x-3/2)$$ Laplacetransformasjonen til Heavisides funksjon er gitt ved $$ \mathcal{L}(u(t-a)) = \frac{e^{-as}}{s} $$ Dette kan utledes helt analogt med $f(t) = 1$, hvor nedre integrasjonsgrense settes til $a$ ($u$ er $0$ frem til $a$). ###t-Skifting Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = f(t-a)u(t-a)$ er $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as}F(s). $$ Igjen hvor $F(s) = \mathcal{L}(f(t))$. Dette kalles for t-skifting. Bevis: $$ e^{-as}F(s) = \int_0^\infty e^{-s(\tau+a)}f(\tau)\mathrm{d}\tau = \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}t $$ Her har vi brukt substitusjonen $\tau = t - a$. Videre får vi: $$ \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}f(t-a)u(t-a)\mathrm{d}t = \mathcal{L(f(t-a)u(t-a))}$$ ###Diracs deltafunksjon Diracs deltafunksjon brukes til å modellere veldig korte støt og er definert ved $$ \delta(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t \neq a \\ \infty & \text{if } t = a \end{cases} $$ slik at $$ \int_0^\infty \delta(t-a)\mathrm{d}t = 1. $$ Laplacetransformasjonen til $\delta$ er gitt ved: $$ \mathcal{L}(\delta(t-a)) = e^{-as}. $$ ##Laplacetransformasjoner av deriverte og integraler ### Deriverte Den laplacetransformerte til den deriverte av en funksjon $f(t)$, $f'(t)$, er gitt ved $$ \mathcal{L}(f'(t)) = sF(s) - f(0)$$ og for den dobbeltderiverte $f''(t)$ ved $$ \mathcal{L}(f''(t)) = s^2F(s) - sf'(0) - f(0) $$ Bevis: $$ \mathcal{L}(f'(t)) = \int_0^{\infty} e^{-st}f'(t) = e^{-st}f(t)\Bigg|_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)$$ Siden funksjonen __må__ være eksponensielt begrenset, vil $$\lim_{t \to \infty} e^{-st}f(t) = 0 $$ og man får $$ e^{-st}f(t)\Bigg|_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t) = f(0) + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t) = -f(0) + sF(s)$$ Utvidelse til andre-deriverte og n'te-deriverte kan deretter gjøres ved direkte bruk av resultatet ovenfor: $$ \mathcal{L}(f''(t)) = s\mathcal{L}(f'(t)) - f'(0) = s\left[sF(s) - f(0)\right] - f'(0) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$$ Ved induksjon kan det deretter vises at $$ \mathcal{L}(f^{(n)}(t)) = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) $$ ### Integrerte Laplacetranformasjoen til en funksjon $$ g(t) = \int_0^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau$$ er gitt ved $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}\left(\int_0^t f(\tau)\mathrm{d}\tau\right) = \frac{1}{s}F(s)$$ Beviset utelates her, men kan finnes i _Kreyzig_ s. 213. ## Integrasjon og derivasjon av laplacetransformerte ## Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon Resultatene ovenfor er veldig hendige til løsning av differensiallikninger. Ved bruk av formelenene for laplacetransformasjonen til første- og andrederiverte, kan enhver lineær diff. likning på formen $$ ay'' + by' + y = f(t)$$ laplacetransformeres og deretter løses, så lenge $f(t)$ tilfredstiller kravene i [Eksistens](#eksistens). __Eksempler:__ __Løs diff. likningen:__ $$ y'' - 2y' + y = cos(t) \qquad y'(0) = 0,\> y(0) = 0 $$ Vi laplacetransformerer overalt og får $$ \begin{align} &\bigg[s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\bigg] - 2\bigg[sY(s) - y(0)\bigg] + Y(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \\ &\Longleftrightarrow s^2Y(s) - 2sY(s) + Y(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \\ &\Longleftrightarrow Y(s) = \frac{s}{(s^2 + 1)(s-1)^2} \end{align}$$ Vi har nå utledet et utrykk for $Y(s)$ og oppgaven vår er nå redusert til å finne den invers-laplacetransformerte til $\frac{s}{(s^2 + 1)(s-1)^2}$. Vi angriper problemet med delbrøksoppspaltning: $$ \begin{align} &Y(s) = \frac{A}{(s-1)^2} + \frac{B}{s^2 + 1} \\ &\implies A+B = 0, -2sB = s \implies B = -\frac{1}{2}, A = \frac{1}{2 } \\ &Y(s) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(s-1)^2} - \frac{1}{s^2 + 1}\right) \end{align} $$ Vi ser at vi kan bruke [s-skifting](#s-skifting) på første brøk, og at andre brøk er den laplacetransformerte til $\sin(t)$, dermed får vi $$ y(t) = \frac{1}{2}(te^t - \sin(t))$$

__Løs diff. likningen:__ $$ y'' + 5y' = \delta(t - 3) + e^{-t}\qquad y(0) = 5,\> y'(0) = 0 $$ Vi går til verks som i forige oppgave: $$ \begin{align} &\bigg[s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\bigg] + 5\bigg[sY(s) - 5\bigg] = e^{-3s} + \frac{1}{s+1} \\ &\Longleftrightarrow s^2Y(s) - 5s + 5sY(s) - 25 = e^{-3s} + \frac{1}{s+1} \\ &\Longleftrightarrow (s^2+5s)Y(s) = e^{-3s} + 5s + 25 + \frac{1}{s+1} \\ &\Longleftrightarrow Y(s) = \left(e^{-3s} + 5s + 25 + \frac{1}{s+1}\right)\left(\frac{1}{(s+5)s}\right) \end{align} $$ ##Konvolusjon ##Tabell med laplacetransformasjoner # Fourieranalyse ## Introduksjon ## Fourierrekker ## Jevne og odde funksjoner ##