# Numerikk ## Lagrange-interpolasjon ## Newtons dividerte differanser ## Simpsons metode ## Gauss-Seidel ## Euler-metoden ## Baklengs Euler ## Heuns metode ## Trapesmetoden ## Fikspunkt-iterasjon ## Newtons metode ### For ligningssystemer ## 4-punktsformelen ## 5-punktsformelen # Laplacetransformasjon Laplacetransformasjonen $F(s)$ til en funksjon $f(t)$ er definert ved $$F(s) = \mathcal{L(f)} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t. $$ Eksempelvis for $f(t) = 1$: $$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}\mathrm{d}t = \left.-\frac{1}{s}\right|_0^\infty = -\frac{1}{s}(0 - 1) = \frac{1}{s}$$ Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum): $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$$ Laplacetransformasjon er en lineær operasjon og følgende identitet gjelder dermed $$ \mathcal{L}(af(t) + bg(t)) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t)) $$ ## Noen få laplacetransformasjoner En lengre liste finnes under [Tabell med laplacetransformasjoner](#Tabell med laplacetransformasjoner). || $\textbf{f(t)}$ || $\textbf{F(s)}$ || || $1$ || $\frac{1}{s}$ || || $t$ || $\frac{1}{s^2}$ || || $t^2$ || $\frac{2}{s^3}$ || || $t^n$ || $\frac{n!}{s^{n+1}}$ || || $e^{at}$ || $\frac{1}{s-a}$ || || $sin(\omega t)$ || $\frac{s}{s^2 + \omega^2}$ || || $cos(\omega t)$ || $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ || ## Eksistens En funksjon må tilfredstille visse krav for å ha en laplacetransformasjon. Funksjonen må være _stykkvis kontinuerlig_, og være eksponensielt begrenset, altså at funksjonen tilfredstiller $$ |f(t)| \leq Me^{kt}$$ for to arbitrært valgt konstanter $M$ og $k$. ##Første skifteteorem(s-Skifting) Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = e^{at}f(t)$ er $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) $$ hvor $F(s)$ er laplacetransformasjonen til $f(t)$. Dette kalles for s-skifting. Bevis: $$ F(s-a) = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}[e^{at}f(t)]\mathrm{d}t = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) $$ ##Andre skifteteorem(t-Skifting), Heavisides funksjon, Diracs deltafunksjon ###Heavisides funksjon Heavisides funksjon er definert som $$ u(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t < a \\ 1 & \text{if } t > a \end{cases} $$ Funksjonen kan brukes på kreative måter. For eksempel kan funksjonen $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x < \frac{3}{2} \\ (x-1)^2 + \frac{5}{4} & \text{if } x > \frac{3}{2} \end{cases} $$ skrives ved hjelp av Heavisides som: $$h(x) = x(1-u(x-3/2)) + ((x-1)^2 + 5/4)u(x-3/2)$$ Laplacetransformasjonen til Heavisides funksjon er gitt ved $$ \mathcal{L}(u(t-a)) = \frac{e^{-as}}{s} $$ Dette kan utledes helt analogt med $f(t) = 1$, hvor nedre integrasjonsgrense settes til $a$ ($u$ er $0$ frem til $a$). ###t-Skifting Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = f(t-a)u(t-a)$ er $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as}F(s). $$ Igjen hvor $F(s) = \mathcal{L}(f(t))$. Dette kalles for t-skifting. Bevis: $$ e^{-as}F(s) = \int_0^\infty e^{-s(\tau+a)}f(\tau)\mathrm{d}\tau = \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}t $$ Her har vi brukt substitusjonen $\tau = t - a$. Videre får vi: $$ \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}f(t-a)u(t-a)\mathrm{d}t = \mathcal{L(f(t-a)u(t-a))}$$ ###Diracs deltafunksjon Diracs deltafunksjon brukes til å modellere veldig korte støt og er definert ved $$ \delta(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t \neq a \\ \infty & \text{if } t = a \end{cases} $$ slik at $$ \int_0^\infty \delta(t-a)\mathrm{d}t = 1. $$ Laplacetransformasjonen til $\delta$ er gitt ved: $$ \mathcal{L}(\delta(t-a)) = e^{-as}. $$ ##Laplacetransformasjoner av deriverte og integraler ### Deriverte Den laplacetransformerte til den deriverte av en funksjon $f(t)$, $f'(t)$, er gitt ved $$ \mathcal{L}(f'(t)) = sF(s) - f(0)$$ og for den dobbeltderiverte $f''(t)$ ved $$ \mathcal{L}(f''(t)) = s^2F(s) - sf'(0) - f(0) $$ Bevis: $$ \mathcal{L}(f'(t)) = \int_0^{\infty} e^{-st}f'(t) = e^{-st}f(t)\Bigg|_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)$$ Siden funksjonen __må__ være eksponensielt begrenset, vil $$\lim_{t \to \infty} e^{-st}f(t) = 0 $$ og man får $$ e^{-st}f(t)\Bigg|_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t) = f(0) + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t) = -f(0) + sF(s)$$ Utvidelse til andre-deriverte og n'te-deriverte kan deretter gjøres ved direkte bruk av resultatet ovenfor: $$ \mathcal{L}(f''(t)) = s\mathcal{L}(f'(t)) - f'(0) = s\left[sF(s) - f(0)\right] - f'(0) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$$ Ved induksjon kan det deretter vises at $$ \mathcal{L}(f^{(n)}(t)) = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) $$ ### Integrerte Laplacetranformasjoen til en funksjon $$ g(t) = \int_0^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau$$ er gitt ved $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}\left(\int_0^t f(\tau)\mathrm{d}\tau\right) = \frac{1}{s}F(s)$$ Beviset utelates her, men kan finnes i _Kreyzig_ s. 213. ## Integrasjon og derivasjon av laplacetransformerte ## Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon Resultatene ovenfor er veldig hendige til løsning av differensiallikninger. Ved bruk av formelenene for laplacetransformasjonen til første- og andrederiverte, kan enhver lineær diff. likning på formen $$ ay'' + by' + y = f(t)$$ laplacetransformeres og deretter løses, så lenge $f(t)$ tilfredstiller kravene i [Eksistens](#eksistens). __Eksempler:__ __Løs diff. likningen:__ $$ y'' - 2y' + y = cos(t) \qquad y'(0) = 0,\> y(0) = 0 $$ Vi laplacetransformerer overalt og får $$ \begin{align} &\bigg[s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\bigg] - 2\bigg[sY(s) - y(0)\bigg] + Y(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \\ &\Longleftrightarrow s^2Y(s) - 2sY(s) + Y(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \\ &\Longleftrightarrow Y(s) = \frac{s}{(s^2 + 1)(s-1)^2} \end{align}$$ Vi har nå utledet et utrykk for $Y(s)$ og oppgaven vår er nå redusert til å finne den invers-laplacetransformerte til $\frac{s}{(s^2 + 1)(s-1)^2}$. Vi angriper problemet med delbrøksoppspaltning: $$ \begin{align} &Y(s) = \frac{A}{(s-1)^2} + \frac{B}{s^2 + 1} \\ &\implies A+B = 0, -2sB = s \implies B = -\frac{1}{2}, A = \frac{1}{2 } \\ &Y(s) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(s-1)^2} - \frac{1}{s^2 + 1}\right) \end{align} $$ Vi ser at vi kan bruke [s-skifting](#s-skifting) på første brøk, og at andre brøk er den laplacetransformerte til $\sin(t)$, dermed får vi $$ y(t) = \frac{1}{2}(te^t - \sin(t))$$ Vi har her løst en ganske komplisert diff. likning (eksemplet ovenfor vil sannsyneligvis gjenkjennes av de som holdt seg våkne i fysikktimene som en dempet tvunget harmonisk svingning) på en veldig effektiv måte. Løsningen er en lineær kombinasjon av den homogene og den partikulære løsning av diff. likningen. Ved løsning via laplacetransformasjon vil alltid både den homogene og den partikulære løsningen være inkludert. En slipper dermed å løse en diff. likning "to" ganger. __Løs diff. likningen:__ $$ y'' + 5y' = \delta(t - 3) + e^{-t}\qquad y(0) = 5,\> y'(0) = 0 $$ Vi går til verks som i forige oppgave: $$ \begin{align}

&s^2Y(s) - 5s + 5sY(s) - 25 = e^{-3s} + \frac{1}{s+1} &(s^2+5s)Y(s) = e^{-3s} + 5s + 25 + \frac{1}{s+1} &Y(s) = \left(e^{-3s} + 5s + 25 + \frac{1}{s+1}\right)\left(\frac{1}{(s+5)s}\right) \end{align} $$ ##Konvolusjon ##Tabell med laplacetransformasjoner # Fourieranalyse ## Introduksjon ## Fourierrekker ## Jevne og odde funksjoner ##