# Numerikk ## Lagrange-interpolasjon ## Newtons dividerte differanser ## Simpsons metode ## Gauss-Seidel ## Euler-metoden ## Baklengs Euler ## Heuns metode ## Trapesmetoden ## Fikspunkt-iterasjon ## Newtons metode ### For ligningssystemer ## 4-punktsformelen ## 5-punktsformelen # Laplacetransformasjon Laplacetransformasjonen $F(s)$ til en funksjon $f(t)$ er definert ved $$F(s) = \mathcal{L(f)} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t. $$ Eksempelvis for $f(t) = 1$: $$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}\mathrm{d}t = \left.-\frac{1}{s}\right|_0^\infty = -\frac{1}{s}(0 - 1) = \frac{1}{s}$$ Den inverse laplacetransformasjonen er gitt ved(dette er ikke pensum): $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$$ Laplacetransformasjon er en lineær operasjon og følgende identitet gjelder dermed $$ \mathcal{L}(af(t) + bg(t)) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t)) $$ ## Eksistens En funksjon må tilfredstille visse krav for å ha en laplacetransformasjon. Funksjonen må være _stykkvis kontinuerlig_, og være eksponensielt begrenset, altså at funksjonen tilfredstiller $$ \left|f(t) \leq Me^{kt} $$ for to arbitrært valgt konstanter $M$ og $k$. ##Første skifteteorem(s-Skifting) Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = e^{at}f(t)$ er: $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) $$ hvor $F(s)$ er laplacetransformasjonen til $f(t)$. Dette kalles for s-skifting. Bevis: $$ F(s-a) = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}[e^{at}f(t)]\mathrm{d}t = \mathcal{L}(e^{at}f(t)) $$ ##Andre skifteteorem(t-Skifting), Heavisides funksjon, Diracs deltafunksjon ###Heavisides funksjon Heavisides funksjon er definert som $$ u(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t < a \\ 1 & \text{if } t > a \end{cases} $$ Funksjonen kan brukes på kreative måter. For eksempel kan funksjonen $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x < \frac{3}{2} \\ (x-1)^2 + \frac{5}{4} & \text{if } x > \frac{3}{2} \end{cases} $$ skrives ved hjelp av Heavisides som: $$h(x) = x(1-u(x-3/2)) + ((x-1)^2 + 5/4)u(x-3/2)$$. Laplacetransformasjonen til Heavisides funksjon er gitt ved $$ \mathcal{L}(u(t-a)) = \frac{e^{-as}}{s} $$ Dette kan utledes helt analogt med $f(t) = 1$, hvor nedre integrasjonsgrense settes til $a$ ($u$ er $0$ frem til $a$). ###t-Skifting Den laplacetransformerte til en funksjon $g(t) = f(t-a)u(t-a)$ er $$ \mathcal{L}(g) = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as}F(s). $$ Igjen hvor $F(s) = \mathcal{L}(f(t))$. Dette kalles for t-skifting. Bevis: $$ e^{-as}F(s) = \int_0^\infty e^{-s(\tau+a)}f(\tau)\mathrm{d}\tau = \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}t $$ Her har vi brukt substitusjonen $\tau = t - a$. Videre får vi: $$ \int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-st}f(t-a)u(t-a)\mathrm{d}t = \mathcal{L(f(t-a)u(t-a))}$$ ###Diracs deltafunksjon Diracs deltafunksjon brukes til å modellere veldig korte støt og er definert som $$ \delta(t - a) = \begin{cases} 0 & \text{if } t \neq a \\ \infty & \text{if } t = a \end{cases} $$ slik at $$ \int_0^\infty \delta(t-a)\mathrm{d}t = 1. $$ Laplacetransformasjonen til $\delta$ er gitt ved: $$ \mathcal{L}(\delta(t-a)) = e^{-as}. $$ ##Laplacetransformasjoner av deriverte og integraler Den laplacetransformerte til en derivert funksjon $f'(t)$ er gitt ved $$ \mathcal{L}(f'(t)) = s\mathcal{L}F(s) - f(0)$$ Bevis:

Siden funksjonen __må__ være eksponensielt begrenset, vil $$\lim_{t \to \infty} e^{-s t}f(t) = 0 $$ og man får $$ \left.e^{-st}f(t)\right\Bigg|_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t) = f(0) + s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t) = -f(0) +sF(s)$$ ##Omforming og løsning av differensiallikninger med laplacetransformasjon ##Konvolusjon ##Tabell med laplacetransformasjoner