Wikipendium

Share on Twitter Create compendium Add Language
Edit History
Tools
  • Edit
  • History
  • Share on Twitter

  • Add language

  • Create new compendium
Log in
Table of Contents
  1. Taylor serie
    1. Eksempel: sin(x) i punktet x=0
  2. Numerisk derivasjon
    1. Sentral differanse
  3. BVP
  4. Interpolasjon
  5. Numerisk integrasjon
    1. Interpolasjon
    2. Simpsons
    3. Trapezoidal
    4. Midpoint
  6. Roundoff error
  7. Despair
‹

TMA4130: Matematikk 4N

Tags:
  • matematikk
  • tma
  • matte
  • 4N
+

Taylor serie

En taylor serie av en funksjon er en sum av uendelig mange ledd av funksjonens deriverte i et gitt punkt. Det er en tilnærming av funksjonen og blir mer og mer korrekt jo flere ledd som summeres. For en gitt funksjon $f$, i et punkt $a$ er taylor serien definert som:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^{(n)}$$

De første leddene av taylor blir dermed:

$$T = f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (x-a)+\frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3+ . . .,$$

Som du kanskje ser så får vi et polynom, kalt taylor polynomet av funksjonen. Polynomer har sine fordeler. I matte 4N brukes taylor til å approksimere derivasjon og integrasjon.

Eksempel: sin(x) i punktet x=0

For hånd er det lurt å starte med å skrive ned de første deriverte av funksjonen.

$$f(x)=sin(x)$$ $$f'(x)=cos(x)$$ $$f''(x)=-sin(x)$$ $$f'''(x)=-cos(x)$$

Taylor serie av $sin(x)$ er:

$$T=\frac{sin(0)}{0!} (x-0)^0+\frac{cos(0)}{1!} (x-0)^1+\frac{-sin(0)}{2!} (x-0)^2+\frac{-cos(0)}{3!} (x-0)^3+...$$

$$T=x-\frac{x^3}{6}$$

Det finnes mange youtube-videoer som visualiserer taylor.

Numerisk derivasjon

Vi kan bruke taylor til å tilnærme den deriverte. Den deriverte av $f$ er definert som:

$$f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Som vi vet er dette en grenseverdi, men hvis vi ignorerer $lim$ kan formelen brukes til å approksimere den deriverte for små verdier av $h$. Denne metoden, med formelen ovenfor, kalles for $\textit{forward difference}$. Fordi dette er en approksimasjon, vil enhver utregning inneholde en feil (error) fra den egentlige deriverte verdien. Vi kan finne dette feilleddet ved hjelp av taylor serie.

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

For å finne feilen, utvider vi $f(x+h)$ med taylor:

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .$$

Og bytter ut i formelenen:

$$f'(x) = \frac{(f(x)+f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .)-f(x)}{h}$$

Vi står da med to $f(x)$-ledd. Ett positivt og ett negativt. Disse fjernes og vi står igjen med:

$$f'(x) = \frac{f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .}{h}$$

Telleren har en uendelig sum der alle ledd inneholder $h$. Vi kan dermed trygt dele på $h$.

$$f'(x) = f'(x)+f''(x) \frac{h}{2}+f'''(x) \frac{h^2}{6}+ . . .$$

Vi står da igjen med $f'(x) = f'(x)$ pluss de uendelige leddene som kommer videre. Disse uendelig leddene er feilen til approksimasjonen, men fordi hvert ledd blir mindre og mindre, velger vi å bare inkludere den minste deriverte. Som i denne formelen blir $f''(x)$.

$$e(x,h) = \frac{h}{2} f''(x)$$

Sentral differanse

Det finnes mange forskjellige formler for numerisk derivasjon. Vi så nettopp på forward difference formelen som bruker definisjonen av den deriverte. Feilen er styrt av en faktor $h$ i første orden. Dette skrives som $O(h)$. Vi skal nå se på en annen formel som har en mindre feil.

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Denne formelen kalles for central difference. I stedet for å bare gå ett steg $h$ fremover, går vi nå både frem og tilbake. Vi utleder feilledet ved å bruke taylor på $f(x+h)$ og $f(x-h)$:

$$f'(x) = \frac{(f(x)+f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .)-(f(x)-f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}-f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .)}{2h}$$

Vi løser opp parentesene og forenkler. $f(x)$ og $f''(x)$ kanselleres.

$$f'(x) = \frac{2f'(x)h+2f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .}{2h}$$

$$f'(x) = f'(x)+f'''(x) \frac{h^2}{6}+...$$

Feilleddet for sentral differanse blir en faktor av $h^2$ som er betraktelig bedre enn forward difference. $O(h^2)$

BVP

Yikes

Interpolasjon

Lagrange og newton

Numerisk integrasjon

Når man vil finne arealet under grafen må man vanlig utføre en integrasjon. Som de fleste vet, kan det fort bli veldig vrient når det krever ulike teknikker for å løse. Heldigvis finnes det lettere metoder enn integrasjon, som gjør det lettere å finne arealet, med bekostning på en liten usikkerhet. Akkurat som med numerisk derivasjon. Disse nye metodene kalles, på engelsk, for "numerical quadratures" eller "quadrature rule. Når vi bruker en quadrature benevner vi arealet vi finner som Q.

Interpolasjon

Interpolasjons metoden går ut på å lagrange-interpolere funksjonen i det intervallet du ønsker, med så mange punkter du ønsker. Du får da en enkel polynom-funksjon som integreres lett på vanlig måte.

Simpsons

Trapezoidal

Midpoint

Roundoff error

Despair

Written by

trygvector
Last updated: Tue, 13 Sep 2022 12:49:49 +0200 .
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!