TMA4130: Matematikk 4N
Taylor serie
En taylor serie av en funksjon er en sum av uendelig mange ledd av funksjonens deriverte i et gitt punkt. Det er en tilnærming av funksjonen og blir mer og mer korrekt jo flere ledd som summeres. For en gitt funksjon
De første leddene av taylor blir dermed:
Som du kanskje ser så får vi et polynom, kalt taylor polynomet av funksjonen. Polynomer har sine fordeler. I matte 4N brukes taylor til å approksimere derivasjon og integrasjon.
Eksempel: sin(x) i punktet x=0
For hånd er det lurt å starte med å skrive ned de første deriverte av funksjonen.
Taylor serie av
Det finnes mange youtube-videoer som visualiserer taylor.
Numerisk derivasjon
Vi kan bruke taylor til å tilnærme den deriverte. Den deriverte av
Som vi vet er dette en grenseverdi, men hvis vi ignorerer
For å finne feilen, utvider vi
Og bytter ut i formelenen:
Vi står da med to
Telleren har en uendelig sum der alle ledd inneholder
Vi står da igjen med
Sentral differanse
Det finnes mange forskjellige formler for numerisk derivasjon. Vi så nettopp på forward difference formelen som bruker definisjonen av den deriverte. Feilen er styrt av en faktor
Denne formelen kalles for central difference. I stedet for å bare gå ett steg
Vi løser opp parentesene og forenkler.
Feilleddet for sentral differanse blir en faktor av
BVP
Yikes
Interpolasjon
Lagrange og newton
Numerisk integrasjon
Når man vil finne arealet under grafen må man vanlig utføre en integrasjon. Som de fleste vet, kan det fort bli veldig vrient når det krever ulike teknikker for å løse. Heldigvis finnes det lettere metoder enn integrasjon, som gjør det lettere å finne arealet, med bekostning på en liten usikkerhet. Akkurat som med numerisk derivasjon. Disse nye metodene kalles, på engelsk, for "numerical quadratures" eller "quadrature rule. Når vi bruker en quadrature benevner vi arealet vi finner som Q.
Interpolasjon
Interpolasjons metoden går ut på å lagrange-interpolere funksjonen i det intervallet du ønsker, med så mange punkter du ønsker. Du får da en enkel polynom-funksjon som integreres lett på vanlig måte.