Taylor serie

En taylor serie av en funksjon er en sum av uendelig mange ledd av funksjonens deriverte i et gitt punkt. Det er en tilnærming av funksjonen og blir mer og mer korrekt jo flere ledd som summeres. For en gitt funksjon $f$, i et punkt $a$ er taylor serien definert som:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^{(n)}$$

De første leddene av taylor blir dermed:

$$T = f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (x-a)+\frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3+ . . .,$$

Som du kanskje ser så får vi et polynom, kalt taylor polynomet av funksjonen. Polynomer har sine fordeler. I matte 4N brukes taylor til å approksimere derivasjon og integrasjon.

Numerisk derivasjon

Vi kan bruke taylor til å tilnærme den deriverte. Den deriverte av $f$ er definert som:

$$f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Som vi vet er dette en grenseverdi, men hvis vi ignorerer $lim$ kan formelen brukes til å approksimere den deriverte for små verdier av $h$. Denne metoden, med formelen ovenfor, kalles for $\textit{forward difference}$. Fordi dette er en approksimasjon, vil enhver utregning inneholde en feil (error) fra den egentlige deriverte verdien. Vi kan finne dette feilleddet ved hjelp av taylor serie.

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

For å finne feilen, utvider vi $f(x+h)$ med taylor:

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .$$

Og bytter ut i formelenen:

$$f'(x) = \frac{(f(x)+f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .)-f(x)}{h}$$

Vi står da med to $f(x)$-ledd. Ett positivt og ett negativt. Disse fjernes og vi står igjen med:

$$f'(x) = \frac{f'(x)h+f''(x) \frac{h^2}{2}+f'''(x) \frac{h^3}{6}+ . . .}{h}$$

Telleren har en uendelig sum der alle ledd inneholder $h$. Vi kan dermed trygt dele på $h$.

$$f'(x) = f'(x)+f''(x) \frac{h}{2}+f'''(x) \frac{h^2}{6}+ . . .$$

Vi står da igjen med $f'(x) = f'(x)$ pluss de uendelige leddene som kommer videre. Disse uendelig leddene er feilen til approksimasjonen, men fordi hvert ledd blir mindre og mindre, velger vi å bare inkludere den minste deriverte. Som i denne formelen blir $f''(x)$.

$$e(x,h) = \frac{h}{2} f''(x)$$

BVP

Yikes

Interpolasjon

Lagrange og newton

Numerisk integrasjon

Når man vil finne arealet under grafen må man vanlig utføre en integrasjon. Som de fleste vet, kan det fort bli veldig vrient når det krever ulike teknikker for å løse. Heldigvis finnes det lettere metoder enn integrasjon, som gjør det lettere å finne arealet, med bekostning på en liten usikkerhet. Akkurat som med numerisk derivasjon. Disse nye metodene kalles, på engelsk, for "numerical quadratures" eller "quadrature rule. Når vi bruker en quadrature benevner vi arealet vi finner som Q.

Roundoff error

Despair