Residue Teoremet

Nå skal vi evaluere disse integralene: $$\oint_C f(z) dz$$ Hvor funksjonen $f(z)$ har en singularietet i domenet $C$.

En analytisk funksjon $f(z)$ kan ofte omskrives på Laurent formen slik (gitt at Laurent-serien konvergerer): $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \cdot (z - z_0)^n$$

Evt slik: $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z - z_0)^n}$$ Her gjenkjenner man det andre leddet som _prinsipalleddet.

Oppgaver

Disse oppgavene finnes i Kreyszig side 725 "Find all the singularities in the finite plane and the corresponding residues. Show the details."

$\boxed{5}$ $$ f(z) = \frac{sin(2z)}{z^6} $$ Vi har en singularitet i z = 0, av 6 orden. $$ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] $$ $$ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{1}{5!} \frac{d^{5}}{dz^{5}} \left[ sin(2z) \right] $$ $$ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{2^5}{5!} \left[ cos(2z) \right] $$ $$ \text{Res}(f, 0) = \frac{4}{15} $$