TFY4165: Termisk Fysikk
Introduksjon
Deriverte og notasjon
Deriverte vil bli hyppig brukt videre i pensum, og studenten burde spesielt merke seg notasjonen
som leses den deriverte av
Notasjonen blir også brukt på partiell deriverte, hvor dens primære funksjon er å minne oss på hva som holdes konstant.
Viktige begreper
Enheter
Vi skal hovedsakelig bruke enheten
For trykk er det verdt å nevne enhetene
Til slutt har vi
Til slutt nevner vi enheten kalori. Én kalori tilsvarer mengden energi som kreves for å heve temperaturen til en liter vann fra
System
Vi kommer hovedsakelig til å gjøre beregninger på systemer. Et system er et begrenset område vi ønsker å studere. Resten av universet er omgivelsene.
Et system er stofflig lukket hvis systemet ikke kan utveksle masse med omgivelsene.
Et system er termisk isolert hvis systemet ikke kan utveklse varme med omgivelsene.
Tilstandslikning
En tilstandslikning er en relasjon mellom variable
Variablene
En tilstandsvariabel sies å være ekstensiv hvis den er mengdeproporsjonal. Altså hvis den øker med økt mengde. Ta for eksempel volum. Setter du sammen to systemer med samme volum, vil ditt nye system ha dobbelt så stort volum. Volum er altså ekstensiv. På den andre siden, ta temperaturen i disse systemene. Hvis de er det samme til å begynne med, vil de være det samme etter sammenslåing av systemene. Temperatur er dermed ikke mengdeproporsjonal, og kalles intensiv.
En tilstandsvariabel antas å bare være avhengig av den termodynamiske tilstanden til dets system, og helt uavhengig av hvordan systemet har kommet til denne tilstanden. Altså "bryr ikke en tilstandsvariabel seg" om en har kommet til tilstanden den ene eller den andre veien.
Prossesser
Hvis et systems tilstandsvariable forandrer seg, og start- og slutttilstanden er i likevekt, kalles endringen en prosess.
En reversibel prosess er en idealisert prosess som kan reverseres ved en infinitesimal påvirkning. Sagt på en måte, er det en prosess fra en tilstand
En reversibel prosess er som nevnt en idealisert prosess. I praksis vil ofte faktorerer som friksjon og andre former for "energisvinn" gjøre en prosess irreversibel.
En kretsprosess er en prosess som starter og ender i samme tilstand.
Isokor/bar/term
En isokor prosess er en prosess hvor volumet er konstant. Tilsvarende er en isobar prosess en prosess med konstant trykk, og en isoterm prosess en prosess hvor temperaturen er konstant.
Senere vil vi også definere utrykkene isentalpisk og isentropisk.
Den idelle gass lov og Van der Waals likning
Den ideelle gass lov er git ved
hvor
Alternative måter å skrive loven på er
hvor
Van der Waals tilstandslikning forbedrer den ideelle gass lov og er gitt ved
hvor
Utvidelseskoeffesient, trykkoeffesient og kompressibilitet
Utvidelseskoeffesienten til et stoff er et mål på hvor mye stoffet vil utvide seg ved en endret temperatur. Vi opererer med kubisk og lineær utvidelseskoeffesient. Den kubiske er gitt ved
og den lineære ved
Trykkkoeffesienten til et stoff et mål på hvor mye trykket øker ved økt temperatur. Denne er gitt ved(du ser kanskje mønsteret)
Til slutt har vi den isoterme kompressibilitet, som sier hvor mye volumet minker ved økt trykk og konstant temperatur,
Den sykliske regel
Det kan vises at for
Ifra forige delkapittel kan det med den sykliske regel vises at
Arbeid, Energi og Varme
Vi er fra de tidligere kurs i Fysikk kjent med begrepene arbeid og energi.
Varme
La oss introdusere begrepet varme. De fleste har nok en formening om hva varme er. Men spør en om forskjellen på varme og temperatur får en kanskje ikke et fornuftig svar tilbake.
Varme er energioverføring som resultat av forskjellig temperatur i to systemer.
En stygg huskeregel er at varme har samme betydning for temperatur som vind har for lufttrykk.
Når to systemer med forskjellig temperatur kommer i kontakt, vil en jevn strøm av varme prøve å utligne temperaturforskjellen i systemene.
Arbeid
All annen energioverføring enn varme kalles for arbeid. Boken bruker fortegnskonvensjonen at arbeid utført av systemet på omgivelsene er positivt.
Det mekaniske arbeidet til en prosess i et system er gitt ved
Ved en isobar prosess mellom volumer
Ved en isokor prosess er arbeidet alltid
Ved en isoterm prosess må vi vite tilstandslikningen til systemet for å regnet ut arbeidet. For en ideell gass er arbeidet gitt ved
For en gass som følger Van der Waals tilstandsliknig er arbeidet gitt ved (regnes ut på samme måte)
Indre Energi
En viktig tilstandsvariabel for et system er dets indre energi, eller dets indre lager av energi. Indre energi er en ekstensiv størrelse, som du kanskje husker betyr at indre energi vil øke med økt systemstørrelse.
Varmekapasitet
Varmekapasiteten til et system er et mål på hvor mye energi som må tilføres for å endre temperaturen. Dette kan utrykkes matematisk ved
(Fnutten igjennom d'en blir forklart i neste kapittel)
Siden oppvarmingen kan skje under forskjellige forutsetninger, opererer vi med forskjellige varmekapasiteter. Hovedsakelig er det snakk om oppvarming under konstant trykk eller volum:
Generelt er
$C_p > C_v$
For en ideell gass er
Opererer vi med molare størrelser til varmekapasiteten kan vi skrive dette som
For typiske en-atomige og to-atomige gasser har vi
Enatomig | ||
Toatomig |
Disse verdiene kommer av frihetsgradene til atomene (Forholdet mellom varmekapasitet og frihetsgrader kommer ifra Ekvipartirtisjonsprinsippet). Siden en enatomig gass bare har frihetsgrader ifra translasjon, mens en toatomig gass også har ifra rotasjon, er varmekapasiteten høyere for toatomige gasser.
Virkningsgrad
Virkninsgraden til en prosess er forholdet mellom arbeidet ut av prosessen, delt på tilført varmeenergi.
Altså hvor mye arbeid vi får ut av varmen vi må tilføre prosessen for å "kjøre den", på godt norsk ofte kalt Bang for the buck:
Termodynamikkens første lov
Termodynamikkens første lov er en versjon av loven for energibevarelse:
Energien i et lukket (isolert) system er alltid konstant.
Matematisk utrykkes loven ved likningen
der
Alternativt kan vi utrykke loven infinitesimalt:
Vi har en liten hake igjennom d'en for å minne oss på at arbeidet, og dermed varmen, er avhengig av hvilken vei prosessen tar.
Videre i kompendiet kan vi finne på å referere til termodynamikkens første lov ved første lov.
Kretsprosess
For en kretsprosess vil
Med andre ord er tilført varme lik utført arbeid.
Adiabatiske prosesser
En adiabatisk prosess er en prosess der det ikke er noe varmeutveksling med omgivelsene.
En adiabatisk prosess er altså en prosess som foregår i et system som er – kanskje bare midlertidig – termisk isolert.
For en adiabatisk prosess er
Utifra dette kan en vise at de tre følgene relasjoner gjelder for en ideell gass
hvor
Den siste av relasjonene ovenfor kalles ofte for den adiabatiske tilstandslikning. Et adiabatisk system kalles en adiabat.
Luft er i all hovedsak en to-atomig gass (siden hovedbestandelen er
Carnot-prosessen
Carnot-prosessen er en viktig termodynamisk reversibel kretsprosess, vist i pV-diagrammet under.
Carnot-prosessen har 4 steg:
- Isoterm ekspansjon fra
$a$ til$b$ , ved$T_2$ - Adiabatisk ekspansjon fra
$b$ til$c$ , fra$T_2$ til$T_1$ - Isoterm kompresjon fra
$c$ til$d$ , ved$T_1$ - Adiabatisk kompresjon fra
$d$ til$a$ , fra$T_1$ til$T_2$
Siden Carnot-prosessen er en kretsprosess er
Virkningsgraden til Carnot-prosessen får vi deretter ved
Det kan videre vises at dette gir
Det kan vises at virkningsgraden til Carnot-prosessen er optimal for en varmekraftmaskin. Det vil si at alle varmekraftmaskiner har en virkningsgrad
Termodynamikkens andre lov
Rent intuitivt er det visse termodynamiske prosesser som kan virke ganske "fishy", selv om det kanskje ikke er noe åpenlyst galt ved dem sett ifra termodynamikkens først lov. Ta for eksempel en tenkt prosess hvor en båt suger opp varme fra vannet den ligger i, og bruker all energien til å propellere seg selv fremover.
Drikker du kaffe i denne stund? Varmen ifra kaffen går ut i rommet, som gjør at kaffen kjøles ned og rommet varmes ørlite opp. Hvorfor ser vi aldri det omvendte?
Grunnen til at de to prosessene ovenfor ikke intreffer, kommer av termodynamikkens andre lov. Den har to formuleringer.
Kelvins formulering Ingen prosess er mulig hvis eneste resultat er at varme ifra et varmereservoar avgis og omsettes fullstendig i arbeid.
Clausius' formulering Ingen prosess er mulig hvis eneste resultat er at varme avgis fra et varmereservoar og opptas i et varmere varmereservoar.
Disse to er ekvivalente. Vi ser at vårt første eksempel direkte motstrider Clasius' formulering, og vårt andre eksempel direkte motstrider Kelvins formulering.
Varmekraft- og kjølemaskiner
Vi har brukt utrykket varmekraftmaskin tidligere, men har enda ikke definert det.
En varmekraftmaskin er en prosess som konverterer termisk energi til arbeid.
Dette sier kanskje seg selv.
Enhver reversibel varmekraftmaskin mellom to temperaturer har virkningsgrad
$$ \eta = 1 - \frac{T_1}{T_2},\quad T_1 < T_2 $$
Kjører vi prosessen til en varmekraftmaskin i revers, vil vi via tilført arbeid få tilført varme.
En kjølemaskin er en prosess som konverterer arbeid til termisk energi.
I en kjølemaskin vil vi ha et kaldt reservoar, og et varmt reservoar, og kontinuerlig overføre varme fra det kalde til det varme. Merk at dette ikke bryter termodynamikkens andre lov siden vi tilfører arbeid (og overføring av varme er dermed ikke eneste resultat).
Det er videre verdt å merke seg at hvis vi drar nytte av prosessen i form av at det varme reservoaret blir varmere, så kalles prosessen en varmepumpe.
For en kjølemaskin har vi virkningsgrad
og for en varmepumpe har vi
Merk at vi må ha absoluttverdier rundt
Hvis prosessen vår kjører reversibelt er
Her merker vi oss at siden
Entropi
Clasius' ulikhet
La oss gå tilbake og se på virkningsgraden til Carnot-prosessen. Vi skrev denne på to måter
Hvis vi trikser litt med likningene, kan vi få ut
Dette er for en Carnot-prosess, som har to reservoarer. For en annen prosess med to reservoarer, og virkningsgrad
For den helt generelle prosess kan vi utvide dette til
Har vi "infinitesimale prosesser", kan vi skrive dette på kontinuerlig form
Merk at vi må ha et lukket integral siden vi har en kretsprosess. De to likningene ovenfor er Clasius' ulikhet.
Har vi en reversibel prossess vil alle varmeutvekslingene skifte fortegn, og vi må ha likhet istedenfor ulikhet
Integralet og summen ovenfor er utrykk for det som kalles entropi. Mer bestemt forteller de oss om entropiendringer:
For en infinitesimal reversibel proess kan vi skrive
For adiabatiske prosesser
For adiabtiske prosesser er som du kanskje husker
Den termodynamiske identitet
Hvis vi setter inn
Det er her viktig å nevne at kravet for at denne identiten skal stemme er at entropien
Noen entropendringer
Generell infinitesimal prosess
Det kan vises at i den generelle infinitesimale prosess kan entropien utrykkes ved
Ideelle gasser
For den ideelle gass kan vi bruke likningen konstatert ovenfor til å finne et utrykk for entropiendringen. Siden
Integrerer vi dette, får vi
Si vi endrer volumet fra
Tilsvarende for temperatur
Boltzmanns prinsipp
La et system ha
$W$ ulike mikrotilstander. Da er
$$ S = k\ln W $$
Noe større diskusjon av Boltzmanns prinsipp vil kreve innsikt i emner utenfor pensum, og vil dermed ikke bli gitt her.
Noen tanker rundt entropi
(TODO)
Termodynamiske potensialer
Vi har hittil holdt oss til det termodynamiske potensialet indre energi
Entalpi
Vi starter med Entalpi.
Entalpi er definert ved
$$ H = U + pV \\ dH = dU + V\,dp + p\,dV $$
Setter vi termodynamikkens første lov inn for
gitt at vi bare har
Hvis en prossess foregår ved konstant entalpi, sies den å være isentalpisk.
Merk at ved konstant trykk er
og dermed
Videre kan vi utrykke entalpien ved den termodynamiske identitet:
Entropi(
Vi kan dermed si at entalpi er en tilstandsfunksjon av entropi og trykk, og skrive
Ved sammenligning med likningen vi fikk via den termodyniamiske identitet, ser vi at
La oss derivere begge hver av disse en gang til, ved den motsattes variabel:
Siden derivasjonsrekkefølgene er uten betydning, må vi ha at
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial S}\right) = \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right) $$
Merk deg denne fremgangsmåten, siden vi kommer til å bruke den på de øvrige potensialene.
Helmholtz fri energi
Gibbs fri energi
Indre energi
Maxwell relasjonene
Maxwell