Elementære definisjoner

En gruppe $\left<G, *\right>$ er en mengde $G$, lukket under en binær operasjon $*$, slik at de tre følgende aksiomene holder:

$\mathscr{G}_1$: $*$ er assossativ: For alle $a, b, c \in G$ er

$$ (a * b) * c = a * (b * c) $$

$\mathscr{G}_2$: Det finnes et element $e \in G$, kalt identitetselement, slik at for alle $x \in G$ er

$$ e * x = x * e = x $$

$\mathscr{G}_3$: For hver $a \in G$, finnes det en invers $a' \in G$, slik at

$$ a * a' = e $$

$\,$

Definisjon. En ring $<R, +, \cdot>$ er en mengde $R$ med to tilhørende binære operasjoner $+$ og $\cdot$, kalt addisjon og multiplikasjon, slik at:

$\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe

$\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe.

$\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle $a,b,c \in R$: $$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$

$\,$

En ring med enhet er en ring hvor den multiplikative semigruppen $\left<R, \cdot\right>$ er en monoide; dvs. har et identitetselement $e$. Identitetselementet beskrives ofte som $1$.

Definisjon. La $R$ være en ring. Ringen er en divisjonsring om $\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe.

Vi må fjerne elementet $0$ fra mengden vår, gitt at $\forall a \in R$, $a0 = 0 \neq 1$. $0$ kan dermed ikke ha en invers i $R$ under multiplikasjon.

Definisjon. En kropp er en divisjonsring med kommutativ multiplikasjon.

$\,$

Definisjon. $a,b \in R$ er nulldivisorer i ringen $R$ om $ab = 0$ men $a \neq 0,\> b \neq 0$. Om $ab = 0$ (men ikke nødvendigvis $ba$), er $a$ en høyre nulldivisor, og $b$ en venstre nulldivisor.

$\,$

Definisjon. Et integritetsområde er en ring uten nulldivisorer.

Polynomringer

Definisjon. La $R$ være en ring. $R[x]$ betegner ringen av polynomer over $R$ og består av alle utrykk $$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ Addisjon og multiplikasjon over $R[x]$ er definert på den naturlige måten: $$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$ $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$ hvor $c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$

Vi sier at den største $i$ slik at $a_i \neq 0$ og $a_{i+k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}$ er graden til polynomet.

Idealer

Et ideal til en ring $R$ er det samme som en normal undergruppe er til en gruppe.

Definisjon. La $S$ være en ikketom delmengde av $R$. $S$ er et ideal av $R$ om for alle $a, b \in S$ og $r \in R$ $$ a - b \in S \\ ar \in S\, \text{ og }\, ra \in S $$

$\,$

Definisjon. Et hovedidealområde er et kommutativt integritetsområde med enhet, hvor hvert ideal er prinsipielt: Hvert ideal $I$ kan generes av ett element via multiplikasjon.

$$ \begin{align} I = (a)_r = \{ar \mid r \in R\} = \{ra \mid r \in R\} \\ \end{align} $$

Unike faktoriseringsdomener og euklidske domener

I dette delkapittelet er $R$ om ikke annet er spesifisert et kommutativt integritetsdomene med enhet.

Definisjon. La $a, b, c, d, u$ være elementer i $R$. Vi sier at $b$ deler $a$ om det finnes en $c \in R$ slik at $a = bc$. Vi skriver $b|a$. Om et element $u$ deler $1$ er $u$ en enhet. Om det finnes en enhet $u$ slik at $c = du$ sier vi at $c$ og $d$ er partnere. Om $a$ deler $b$, men $a$ enten er en enhet eller en partner av $b$, sier vi at $a$ er en uekte faktor av $b$.

$\,$

Definisjon. Et element $a \in R$ kalles irredusibelt om det ikke har noen ekte faktorer: $$ \forall a \in R; a = bc \implies b \text{ er en enhet} \lor c \text{ er en enhet} $$

Definisjon. Et element $p \in R$ kalles primsk hvis det ikke er en en enhet, og hvis $p|ab$ så har vi $p|a$ eller $p|b$.

Vi kan se at dette er forenlig med intuisjonen vår om primtall i $\N$. La for eksempel $a = 6, b = 7, ab = 42 \implies 21 \div ab$, men $21 \ndiv 6 \lor 7$. Men la $p = 3$, $3|42$ siden $42/3 = 14$. og vi har også $p \div 6$.

Definisjon (UFD). Et kommutativt integritetsdomene med enhet $R$ kalles et unikt faktoriseringsområde(UFD) om følgende gjelder: (i) Hver ikke-enhet i R er et endelig produkt av irredusible faktorer (ii) Hvert irredusibelt element er primsk.

Merk at vi har inklusjonen $UFD \subset PID$, men det finnes PID'er som ikke er UFD (ta for eksempel $\C[X, Y]$).

Definisjon. Den største felles faktoren til to elementer $a, b$, $(a,b)$, i en UFD er tallet $c$: $$ c = \max \{d|a \land d|b \mid d \in R\}$$

$c$ er altså det største elementet som deler både $a$ og $b$.

Definisjon. Om $(a,b) = 1$ er $a$ og $b$ relativt primske.

$\,$

Definisjon(Euklidsk område). Et euklidsk område er et kommutativ integritetsområde med enhet $E$ hvor det finnes en $\phi : E \to \Z$ hvor følgende holder: (i) Om $a,b \in E - \{0\}$ og $a|b$, så er $\phi(a) \leq \phi(b)$. (ii) For enhver $a,b \in E$ så finnes det $q, r \in E$ slik at $a = bq + r$ med $\phi(r) < \phi(b)$.

Vi kan si at et euklidsk område er et hvert kommutativt integritetsområde som lar seg faktorisere ved en euklidsk divisjonsalgoritme.

Teorem. La $R$ være et UFD, da er ringen av polynomer over $R$; $R[x]$ også et UFD.

Bevis. Utelatt.

Definisjon. La $R$ være et UFD, og la $f(x) \in R[x]$. Da kalles $f(x)$ primitiv om alle $f$'s koeffesienter er relativt primske.

$\,$

Lemma. Produktet av to primitive polynomer er primitive.

Bevis. TODO  

Algebraiske kropputvidelser

Normale og separable utvidelser

Definisjon. La $f(x) \in F[x]$. En utvidelse $E$ kalles en rotkropp over $F$ om (i) $f(x)$ faktoriserer i lineære faktorer i $E[x]$. (ii) $E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ hvor $\alpha_i$ er røttene til $E$.

En rotkropp er en algebraisk utvidelse.

Definisjon. La $E$ være en algebraisk utvidelse av $F$ inneholdt i en algebraisk lukning $\overline F$, da er $E$ en normal utvidelse hvis $E$ tilfredstiller en av de ekvivalente: (i) Hvert irredusibelt polynom i $F[x]$ som har en rot i $E$ faktoriserer i lineære faktorer i $E[x]$. (ii) $E$ er rotkroppen til en familie med polynomer i $F[x]$. (iii) Hver imbedding av $E$ i $\overline F$ som bevarer hvert element i $F$ urørt er en avbildning av $E$ i $E$.

$\,$ I neste Lemma lar vi $f'(x)$, den deriverte, til et polynom være definert som i analyse.

Lemma. La $f(x)$ være et polyom over $F[x]$, $F$ en kropp. Da er $\alpha$ en multippel rot av $f$ hvis og bare hvis $f'(\alpha) = 0$.

Bevis. La $\alpha$ være en rot av $f(x)$. Da kan vi skrive $$f(x) = (x - \alpha)g(x).$$ Altså har vi $$f'(x) = g(x)$$. Hvis $\alpha$ er en multippel rot er $g(\alpha) = 0 = f'(x). \square$

Definisjon. En kropp $F$ kalles primsk om den ikke inneholder en ekte underkropp.

$\,$

Lemma. Hver kropp $F$ har en primsk underkropp.

Bevis. La $K$ være snittet av alle underkroppene til $F$. $K$ er åpenlyst en underkropp av $F$ og kalles den primske kroppen til $F$.

Teorem. Den primske kroppen til en kropp $F$ er enten isomorf til $\Q$ eller $\Z_q$, $q$ primsk.

Bevis. TODO

Definisjon. En endelig kropp kalles også en Galois kropp. En Galois kropp med $p^n$ elementer skrives typisk $GF(p^n)$.

$\,$

Teorem. Enhver endelig kropp $F$ med $p^n$ elementer, $p primsk$, er rotkroppen til $x^{p^n} - x \in F_p[x]$.

Bevis. TODO

Definisjon. Et irredusibelt polynom $f(x) \in F[x]$ kalles separabelt om alle dens røtter er simple. Et generelt polynom kalles separabelt om alle dens irredusible faktorer er separable.

$\,$

Definisjon. La en $E$ være en algebraiske utvidelse av $F$. Et algebraisk element $e \in E$ kalles separabelt om dens minimale polynom er separabel over $F$. $E$ kalles separabel om et hvert slikt element er separabelt.

$\,$

Definisjon. En kropp $F$ kalles perfekt om enhver algebraisk utvidelse av $F$ er separabel.

Galoisteori

Definisjon. La $E$ være en utvidelse av $F$. Vi kaller $G(E/F)$ gruppen av alle automorfier til $E$ som lar hvert element av $F$ stå urørt.

$\,$

Teorem. $|G(E/F)| \leq [E:F]$. Bevis. TODO

$\,$

Definisjon. $E_H = \{x \in E \mid \sigma(x) = x, \forall \sigma \in H\}$ kalles fikspunktkroppen av gruppen $H$ av automorfier.

Med andre ord alle $x$ som står urørt av $H$.

$\,$

Teorem. Om $H$ er en endelig undergruppe av gruppen av alle automorfier av $E$ er $$ [E:E_H] = |H|$$

Bevis. Utelatt.

Teorem. La $E$ være en endelig separabel utvidelse av en kropp $F$. La så $H < G(E/F)$, da er: $$ G(E/E_H) = H \text{ og } [E:E_H] = |G(E/E_H)| $$

$\,$

Teorem. La $E$ være en endelig separabel utvidelse av en kropp $F$. Da er $E$ en normal utvidelse hvis og bare hvis: (i) $F$ er fikspunktkroppen til $G(E/F)$. (ii) $[E:F] = |(G(E/F)|$

$\,$

Definisjon. La $f(x) \in F[x]$ være et polynom, og la $K$ være dens rotkropp. Da er gruppen $G(K/F)$ av $F$-automorfier over $K$ kalt Galois-gruppen til $f(x)$ over $F$. I samme bane, er en endelig, normal og separabel utvidelse $E$ av kroppen $F$ kalt en Galoisutvidelse.

Vi har nå kommet til fundamentalteoremet til Galoisteori:

Teorem (Fundamentalteoremet til Galoisteori). La $E$ være en Galoisutvidelse av $F$. La $K$ være en underkropp av $E$ som inneholder $F$. Da er avbildningen $K \to G(E/K)$ en én-til-en korrespondanse fra mengden underkropper av $E$ som inneholder $F$ til undergruppene av $G(E/F)$ slik at:

(i) $K = E_{G(E/K)}$

(ii) For enhver undergruppe $H$ av $G(E/F)$ så er $H = G(E/E_H)$.

(iii) $[E:K] = |G(E/K)|, [K:F] = \text {indeksen til } G(E/K) \text { i } G(E/F)$

(vi) $K$ er er normal utvidelse av $F$ hvis og bare hvis $G(E/K)$ er en normal undergruppe av $G(E/F)$.

(v) Hvis $K$ er en normal utvidelse av $F$, så er $G(K/F) \simeq G(E/F)/G(E/K)$.

Bevis. Utelatt.

Vi avslutter med fundamentalteormet til algebra. Det er mange beviser for teoremet, vi presenterer et av vakrere her:

Teorem (Fundamentalteoremet til Algebra). Hvert polynom $f(x) \in \C[x]$ faktoriseres til lineære faktorer i $\C[x]$.

Bevis. TODO

Unike faktoriseringsdomener og euklidske domener

Eksempel. $\Z$ er et hovedidealområde.

Eksempel. $\Z[-\sqrt{5}]$ er en UFD men ikke et hovedidealområde (PID). I et hovedidealområde er hvert irredusibelt element primsk. $3$ er irredusibelt $\Z[-\sqrt{5}]$, men $3 = (2 + \sqrt 5)(2 - \sqrt 5)$.

Eksempel. $Z[i]$ er et euklidsk domene med $\phi(a + bi) = a^2 + b^2$.

Algebraiske kropputvidelser

Normale og separable utvidelser

Galoisteori