MA3202: Galoisteori
Repetisjon
Elementære definisjoner
En gruppe
$\left<G, *\right>$ er en mengde$G$ , lukket under en binær operasjon$*$ , slik at de tre følgende aksiomene holder:
$\mathscr{G}_1$ :$*$ er assossativ: For alle$a, b, c \in G$ er
$$ (a * b) * c = a * (b * c) $$
$\mathscr{G}_2$ : Det finnes et element$e \in G$ , kalt identitetselement, slik at for alle$x \in G$ er
$$ e * x = x * e = x $$
$\mathscr{G}_3$ : For hver$a \in G$ , finnes det en invers$a' \in G$ , slik at
$$ a * a' = e $$
Definisjon. En ring
$<R, +, \cdot>$ er en mengde$R$ med to tilhørende binære operasjoner$+$ og$\cdot$ , kalt addisjon og multiplikasjon, slik at:
$\mathscr{R}_1$ $\left<R, +\right>$ er en abelsk gruppe
$\mathscr{R}_2$ $\left<R, \cdot\right>$ er en semigruppe.
$\mathscr{R}_3$ Multiplikasjon er distributiv over addisjon; for alle$a,b,c \in R$ :$$ a\cdot(b + c ) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$
En ring med enhet er en ring hvor den multiplikative semigruppen
Definisjon. La
$R$ være en ring. Ringen er en divisjonsring om$\left<R/\{0\}, \cdot\right>$ er en gruppe.
Vi må fjerne elementet
Definisjon. En kropp er en divisjonsring med kommutativ multiplikasjon.
Definisjon.
$a,b \in R$ er nulldivisorer i ringen$R$ om$ab = 0$ men$a \neq 0,\> b \neq 0$ . Om$ab = 0$ (men ikke nødvendigvis$ba$ ), er$a$ en høyre nulldivisor, og$b$ en venstre nulldivisor.
Definisjon. Et integritetsområde er en ring uten nulldivisorer.
Polynomringer
Definisjon. La
$R$ være en ring.$R[x]$ betegner ringen av polynomer over$R$ og består av alle utrykk$$a_0 + a_1x +a_2x^2 + \dots + a_nx^n,\quad a_i \in R$$ Addisjon og multiplikasjon over$R[x]$ er definert på den naturlige måten:$$a_0 + a_1x \dots + b_0 + b_1x \dots = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x \dots $$ $$(a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 \dots) = c_0 + c_1 x + \dots + c_{m+n}x^{m+n} $$ hvor$c_i = \sum_{j+k=i} a_i b_k,\quad 0 \leq i \leq m+n$
Vi sier at den største
Irredusible polynomer over en ring
Definisjon. Vi sier at et polynom
$f$ over en ring$R$ er redusibelt om det finnes to polynomer$g$ og$h$ av lavere grad slik at:
$$ f(x) = g(x)\cdot h(x) $$ Alternativt kan vi si at
$f$ er redusibelt hvis og bare hvis det finnes en faktorisering av$f$
$$ f(x) = g(x)h(x) + r(x) $$
hvor
Eksempel. La
Vi ser at
Eksempel. La
Dette er umulig, siden
Senere kommer vi tilbake til kriterier og teoremer vi kan bruke som verktøy for å finne ut effektivt om polynomer er reduserbare.
Idealer
Et ideal til en ring
Definisjon. La
$S$ være en ikketom delmengde av$R$ .$S$ er et ideal av$R$ om for alle$a, b \in S$ og$r \in R$ $$ a - b \in S \\ ar \in S\, \text{ og }\, ra \in S $$
Definisjon. Et hovedidealområde er et kommutativt integritetsområde med enhet, hvor hvert ideal er prinsipielt: Hvert ideal
$I$ kan generes av ett element via multiplikasjon.
Definisjoner & Teoremer
Unike faktoriseringsdomener og euklidske domener
I dette delkapittelet er
Definisjon. La
$a, b, c, d, u$ være elementer i$R$ . Vi sier at$b$ deler$a$ om det finnes en$c \in R$ slik at$a = bc$ . Vi skriver$b|a$ . Om et element$u$ deler$1$ er$u$ en enhet. Om det finnes en enhet$u$ slik at$c = du$ sier vi at$c$ og$d$ er partnere. Om$a$ deler$b$ , men$a$ enten er en enhet eller en partner av$b$ , sier vi at$a$ er en uekte faktor av$b$ .
Definisjon. Et element
$a \in R$ kalles irredusibelt om det ikke har noen ekte faktorer:$$ \forall a \in R; a = bc \implies b \text{ er en enhet} \lor c \text{ er en enhet} $$ Definisjon. Et element
$p \in R$ kalles primsk hvis det ikke er en en enhet, og hvis$p|ab$ så har vi$p|a$ eller$p|b$ .
Vi kan se at dette er forenlig med intuisjonen vår om primtall i
Definisjon (UFD). Et kommutativt integritetsdomene med enhet
$R$ kalles et unikt faktoriseringsområde(UFD) om følgende gjelder: (i) Hver ikke-enhet i R er et endelig produkt av irredusible faktorer (ii) Hvert irredusibelt element er primsk.
Merk at vi har inklusjonen
Definisjon. Den største felles faktoren til to elementer
$a, b$ ,$(a,b)$ , i en UFD er tallet$c$ :$$ c = \max \{d|a \land d|b \mid d \in R\}$$
Definisjon. Om
$(a,b) = 1$ er$a$ og$b$ relativt primske.
Definisjon(Euklidsk område). Et euklidsk område er et kommutativ integritetsområde med enhet
$E$ hvor det finnes en$\phi : E \to \Z$ hvor følgende holder: (i) Om$a,b \in E - \{0\}$ og$a|b$ , så er$\phi(a) \leq \phi(b)$ . (ii) For enhver$a,b \in E$ så finnes det$q, r \in E$ slik at$a = bq + r$ med$\phi(r) < \phi(b)$ .
Vi kan si at et euklidsk område er et hvert kommutativt integritetsområde som lar seg faktorisere ved en euklidsk divisjonsalgoritme.
Teorem. La
$R$ være et UFD, da er ringen av polynomer over$R$ ;$R[x]$ også et UFD.
Bevis. Utelatt.
Definisjon. La
$R$ være et UFD, og la$f(x) \in R[x]$ . Da kalles$f(x)$ primitiv om alle$f$ 's koeffesienter er relativt primske.
Lemma. Produktet av to primitive polynomer er primitive.
Bevis. TODO
Algebraiske kropputvidelser
Irredusible polynomer
For et polynom over en kropp
(i) Divisjonsalgoritmen holder i
Lemma(Gauss). La
$f(x)$ være et primitivt polynom over$\Z[x]$ .$f(x)$ er redusibel over$\Q$ hvis og bare hvis$f(x)$ er redusibel over$\Z$ .
Bevis. TODO
Teorem. La
$f(x)$ være et monisk polynom over$Z[x]$ . Om$f(x)$ har en rot$a \in Q[x]$ , er$a \in Z[x]$ .
Bevis. TODO
Teorem (Eisensteinkriterie). La
$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \dots + a_nx^n$ være et polynom over$Z[x]$ . Om det finnes primsk$p$ slik at$p^2 \ndiv a_0$ ,$p|a_i,\, n-1 > i \geq 0$ ,$p \ndiv a_n$ , så er$f(x)$ irredusibel over$\Q$ .
Bevis. TODO
Utvidelser
Definisjon. La
$F$ være en underkropp av$E$ . Da kalles$E$ en utvidelse av$F$ .$E$ kan sees på som et vektorfelt over$F$ , hvor elementer av$E$ kan sees på som vektorer, mens elementer av$F$ kan sees på som skalarer. Dimensjonen til vektorfeltet skrives$[E:F]$ og kalles graden til$E$ over$F$ .
Teorem. La
$F \subset E \subset K$ være kropper. Om$[E:F] < \infty$ og$[K:E] < \infty$ , er
Bevis. TODO
Teorem. La
$p(x)$ være et irredusibelt polynom over en kropp$F$ . Da finnes det en utvidelse$E$ av$F$ slik at$p(x)$ har en rot over$E$ .
Bevis. TODO
Korollar. La
$f(x)$ være et polynom over en kropp$F$ . Da finnes det en utvidelse$E$ av$F$ slik at$p(x)$ har en rot over$E$ .
Bevis. Av det forige teoremet lar vi
Definisjon. La
$E$ være en utvidelse av$F$ . Et element$\alpha \in E$ sies å være algebraisk over$F$ , om det finnes et ikke-konstant polynom$f(x) \in F[x]$ slik at$f(\alpha) = 0$ i$E$ .
Definisjon. La
$E$ være en utvidelse av$F$ . Vi sier at$E$ er en algebraisk utvidelse av$F$ om hvert element i$E$ er algebraisk i$F$ .
Teorem. Om
$E$ er en endelig utvidelse av$F$ er$E$ en algebraisk utvidelse av$F$ .
Bevis. TODO
Merk at det finnes algebraiske utvidelser som er uendelige.
Teorem. La
$E$ være en endelig utvidelse av$F$ og la$u \in E$ være algebraisk over$F$ . Da er$F(u)$ en algebraisk utvidelse av$F$ .
Bevis. TODO
Av induksjon kan vi vise det samme for
Teorem. La
$E$ være en utvidelse av$F$ , og la$K$ være underkroppen av$E$ bestående av alle elementer som er algebraiske over$F$ . Da er$K$ en algebraisk utvidelse av$F$ og en underkropp av$E$ .
Teorem. En kropp
$K$ sies å være algebraisk lukket om alle algebraiske utvidelser sammenfaller med$K$ , dvs. alle algebraiske utvidelser av$K$ er$K$ .
Definisjon. En utvidelse
$E$ av$F$ kalles en algebraisk lukning om E er algebraisk lukket.
Normale og separable utvidelser
Definisjon. La
$f(x) \in F[x]$ . En utvidelse$E$ kalles en rotkropp over$F$ om (i)$f(x)$ faktoriserer i lineære faktorer i$E[x]$ . (ii)$E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ hvor$\alpha_i$ er røttene til$E$ .
En rotkropp er en algebraisk utvidelse.
Definisjon. La
$E$ være en algebraisk utvidelse av$F$ inneholdt i en algebraisk lukning$\overline F$ , da er$E$ en normal utvidelse hvis$E$ tilfredstiller en av de ekvivalente: (i) Hvert irredusibelt polynom i$F[x]$ som har en rot i$E$ faktoriserer i lineære faktorer i$E[x]$ . (ii)$E$ er rotkroppen til en familie med polynomer i$F[x]$ . (iii) Hver imbedding av$E$ i$\overline F$ som bevarer hvert element i$F$ urørt er en avbildning av$E$ i$E$ .
Lemma. La
$f(x)$ være et polyom over$F[x]$ ,$F$ en kropp. Da er$\alpha$ en multippel rot av$f$ hvis og bare hvis$f'(\alpha) = 0$ .
Bevis. La
Definisjon. En kropp
$F$ kalles primsk om den ikke inneholder en ekte underkropp.
Lemma. Hver kropp
$F$ har en primsk underkropp.
Bevis. La
Teorem. Den primske kroppen til en kropp
$F$ er enten isomorf til$\Q$ eller$\Z_q$ ,$q$ primsk.
Bevis. TODO
Definisjon. En endelig kropp kalles også en Galois kropp. En Galois kropp med
$p^n$ elementer skrives typisk$GF(p^n)$ .
Teorem. Enhver endelig kropp
$F$ med$p^n$ elementer,$p primsk$ , er rotkroppen til$x^{p^n} - x \in F_p[x]$ .
Bevis. TODO
Definisjon. Et irredusibelt polynom
$f(x) \in F[x]$ kalles separabelt om alle dens røtter er simple. Et generelt polynom kalles separabelt om alle dens irredusible faktorer er separable.
Definisjon. La en
$E$ være en algebraiske utvidelse av$F$ . Et algebraisk element$e \in E$ kalles separabelt om dens minimale polynom er separabel over$F$ .$E$ kalles separabel om et hvert slikt element er separabelt.
Definisjon. En kropp
$F$ kalles perfekt om enhver algebraisk utvidelse av$F$ er separabel.
Galoisteori
Definisjon. La
$E$ være en utvidelse av$F$ . Vi kaller$G(E/F)$ gruppen av alle automorfier til$E$ som lar hvert element av$F$ stå urørt.
Teorem.
$|G(E/F)| \leq [E:F]$ . Bevis. TODO
Definisjon.
$E_H = \{x \in E \mid \sigma(x) = x, \forall \sigma \in H\}$ kalles fikspunktkroppen av gruppen$H$ av automorfier.
Med andre ord alle
Teorem. Om
$H$ er en endelig undergruppe av gruppen av alle automorfier av$E$ er$$ [E:E_H] = |H|$$
Bevis. Utelatt.
Teorem. La
$E$ være en endelig separabel utvidelse av en kropp$F$ . La så$H < G(E/F)$ , da er:$$ G(E/E_H) = H \text{ og } [E:E_H] = |G(E/E_H)| $$
Teorem. La
$E$ være en endelig separabel utvidelse av en kropp$F$ . Da er$E$ en normal utvidelse hvis og bare hvis: (i)$F$ er fikspunktkroppen til$G(E/F)$ . (ii)$[E:F] = |(G(E/F)|$
Definisjon. La
$f(x) \in F[x]$ være et polynom, og la$K$ være dens rotkropp. Da er gruppen$G(K/F)$ av$F$ -automorfier over$K$ kalt Galois-gruppen til$f(x)$ over$F$ . I samme bane, er en endelig, normal og separabel utvidelse$E$ av kroppen$F$ kalt en Galoisutvidelse.
Vi har nå kommet til fundamentalteoremet til Galoisteori:
Teorem (Fundamentalteoremet til Galoisteori). La
$E$ være en Galoisutvidelse av$F$ . La$K$ være en underkropp av$E$ som inneholder$F$ . Da er avbildningen$K \to G(E/K)$ en én-til-en korrespondanse fra mengden underkropper av$E$ som inneholder$F$ til undergruppene av$G(E/F)$ slik at:(i)
$K = E_{G(E/K)}$ (ii) For enhver undergruppe
$H$ av$G(E/F)$ så er$H = G(E/E_H)$ .(iii)
$[E:K] = |G(E/K)|, [K:F] = \text {indeksen til } G(E/K) \text { i } G(E/F)$ (vi)
$K$ er er normal utvidelse av$F$ hvis og bare hvis$G(E/K)$ er en normal undergruppe av$G(E/F)$ .(v) Hvis
$K$ er en normal utvidelse av$F$ , så er$G(K/F) \simeq G(E/F)/G(E/K)$ .
Bevis. Utelatt.
Vi avslutter med fundamentalteormet til algebra. Det er mange beviser for teoremet, vi presenterer et av vakrere her:
Teorem (Fundamentalteoremet til Algebra). Hvert polynom
$f(x) \in \C[x]$ faktoriseres til lineære faktorer i$\C[x]$ .
Bevis. TODO
Eksempler & Oppgaver
Unike faktoriseringsdomener og euklidske domener
Eksempel.
Eksempel.
Eksempel.