Wikipendium

Share on Twitter Create compendium Add Language
Edit History
Tools
  • Edit
  • History
  • Share on Twitter

  • Add language

  • Create new compendium
Log in
Table of Contents
  1. Forord
  2. Mengdeteori - Kjapp repetisjon
    1. Et par kjappe (veldig) elementære definisjoner
    2. Flere definisjoner
  3. Topologi - Definisjon
  4. Definisjoner I
    1. Sammenlignbarhet
    2. Subbasis
    3. Produkttopologi
    4. Underromstopologi
    5. Ordenstopologi
  5. Eksempler & Oppgaver I
    1. Topologier for $\mathbb{R}$
    2. Projekson som en subbasis
    3. Underromstopologi og ordenstopologi
    4. Eksamensoppgaver I
  6. Teoremer I
  7. Topologier fra metrikker
  8. Lukkede mengder, grensepunkter, lukning og Hausdorff-rom
  9. Eksempler & Oppgaver II
  10. Teoremer II
  11. Topologi - Intuisjon
  12. Kontinuitet
  13. Kompakthet
  14. Eksempler & Oppgaver III
  15. Teoremer III
‹

MA3002: Generell Topologi

Tags:
+

$$ \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\T}{\mathbb{T}} \newcommand{\Top}{\mathcal{T}} \newcommand{\Base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Col}{\mathcal{C}} \newcommand{\Subb}{\mathcal{S}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\pow}[1]{\mathcal{P}{(#1)}} \newcommand{\ncr}[2]{{#1 \choose #2}} \newcommand{\bmat}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} $$

Forord

Å lage kompendier av abstrakte matematiske fag er noe vanskelig: Det er lite metodikk, mye forståelse og en del teori som er involvert i å lære seg faget. I fag som Matte 4, som i stor grad er anvendt matematikk, er enumerering av metoder for å løse oppgaver tilstrekkelig for et kompendium av middels lengde.

I et fag som dette derimot, må en lese store deler av pensum for å få "kontroll" på faget. Dette gjør det vanskelig å skrive et kompendium uten å selv gå i dybden på teori, noe som er lite praktisk for et kompendium.

Vi kan altså hverken reiterere metodikk, eller gå i dybden på teori; så hva gjør vi? Vi løser problemet ved å gjøre ingen av delene og begge deler på en gang: Vi skriver ned tilstrekkelig med definisjoner og teoremer til at kompendiet kan brukes som et oppslagsverk for viktige teoretiske deler av pensum; samt vi skriver ned nok eksempler og oppgaver til at kompendiet kan brukes til å veilede løsninger av oppgaver.

Mengdeteori - Kjapp repetisjon

Et par kjappe (veldig) elementære definisjoner

Kanskje den mest fundamentale byggeblokken i matematikk er konseptet av en mengde. Vi assosierer med en mengde en eller flere elementer, som er inneholdt i gruppen. Om et element $x$ er inneholdt i en mengde $X$, skriver vi $ x \in X $.

Eksempler på vanlige mengder, samt notasjon:

Mengde Notasjon
Naturlige tall $\N$, $\Z^+$, $\{1,2,3,4,\ldots\}$
Heltall $\Z$, $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, \ldots \}$
Rasjonale tall $\Q$, $\{ \frac a b \>\mid\> a, b \in \Z, b \not= 0\}$
Reelle tall $\R$
Komplekse tall $\C$, $\{ a + bi\> \mid \> a, b \in \R, i = \sqrt{-1}\}$
To-dimensjonale reelle vektorer $\R^2$
Sirkel $\S^1$, $\{(x,y) \mid x^2 + y^2 = 1 \}$
Torus $\T^1 = \S^1 \times \S^1$
Kule $\S^2$, $\{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}$

En endelig mengde er en mengde med endelig antall elementer. Inverst har vi konseptet av en uendelig mengde. Mengde $\{1,2,3\}$ er et eksempel på en endelig mengde.

Om $X, Y$ er to mengder, og $Y$ inneholder alle elementene som $X$ inneholder, sier vi at $X$ er en delmengde av $Y$, og vi skriver $X \subseteq Y$. Om $Y$ også inneholder elementer $X$ ikke inneholder sier vi at $X$ er en ekte delmengde av $Y$, og skriver $X \subset Y$. To mengder er like hvis og bare hvis $X \subseteq Y$ og $\subseteq X$.

Den tomme mengden er denotert $\emptyset$. Den tomme mengden er en delmengde av enhver annen mengde.

Kardinaliteten til en mengde $X$ er antall elementer i mengden, og er denotert $\|X\|$.

Flere definisjoner

Definisjon. La $X$ være en mengde. Mengden $\mathcal{P}(X)$ kalles potensmengden til $X$, og inneholder alle delmengder av $X$, inklusive $\emptyset$ og $X$.

Eksempel. La $X = \{1,2,3\}$. Da er $\mathcal{P}(X) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$.

Proposisjon. Kardinaliteten til $\mathcal{P}(X) = 2^{\|X\|}$.

Bevis. La $\|X\| = n$. Da inneholder $\pow{X}$ $n$ elementer med kardinalitet $1$; ett for hvert av elementene i $X$. For elementer med kardinalitet $2$ får vi $n\choose 2$ elementer; alle 2-kombinasjoner av $n$ elementer. Denne logikken kan vi bruke for alle elementer med kardinalitet $i$, og om vi adderer $1$ for den tomme mengden, får vi:

$$ \|\pow{X}\| = 1 + \ncr n 1 + \ncr n 2 + \dots + \ncr n n = 2^n = 2^{\|X\|} $$

Topologi - Definisjon

Å definere topologi er ingen enkel oppgave. De fleste uformelle definisjoner appellerer til konseptene rom, kontinuitet og deformasjon:

"Topology is the mathematical study of the properties that are preserved through deformations, twistings, and stretchings of objects. Tearing, however, is not allowed." - Wolfram.com

$\,$

"In mathematics, topology (from the Greek τόπος, place, and λόγος, study) is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending, but not tearing or gluing." - Wikipedia.com

$\,$

"Basically, topology is the modern version of geometry, the study of all different sorts of spaces. The thing that distinguishes different kinds of geometry from each other (including topology here as a kind of geometry) is in the kinds of transformations that are allowed before you really consider something changed." - Robert Bruner

$\,$

Alle de overnevnte definisjonene er konkrete (ikke abstrakte), nogenlunde appellerende til intuisjonen vår om hva topologi burde være, og lettleselige. Det er derfor interessant, at den vanlige formelle definisjonen av hva en topologi er, er ingen av delene:

Definisjon. En toplogi på en mengde $X$, er en kolleksjon $\Top$ av delmengder av $X$, slik at følgende krav er oppfylt:

(i) Den tomme mengden $\emptyset$ og $X$ er i $\Top$

(ii) En tellbar union av elementer av $\Top$ er også i $\Top$

(iii) En endelig mengde snitt av elementer av $\Top$ er også i $\Top$

Paret $(X, \Top)$ kalles et topologisk rom. En delmengde $U$ av $X$ kalles en åpen mengde om det tilhører $\Top$. Komplementet av en åpen mengde $U$ i $X$, $X \\ U$ kalles lukket. Sagt anderledes; en lukket mengde $V$ av $X$ er en mengde som kan skrives $X \\ U$ hvor $U$ er en åpen mengde.

Eksempel. La $X = \{1,2,3\}$ og $\Top = \{\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1,2,3\}\}$. Da er $(X, \Top)$ et topologisk rom.

Eksempel. La $X = \{1,2,3\}$ og $\Top = \{\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1,2,3\}$. Da er $(X, \Top)$ ikke et topologisk rom. Dette er fordi $\{1, 3\} \cap \{2, 3\} = \{3\} \not\in \Top$.

Eksempel. La $X = \R$ og $\Top$ være den tomme mengden og alle åpne sammenhengende intervaller. Er $(X, \Top)$ et topologisk rom?

Løsning. Nei, la $(a, b), (c, d)$ være to separerte intervaller. Da er $(a,b) \cup (c,d) \not\in \Top$.

Lar vi derimot $\Top$ være den tomme mengden, alle åpne intervaller, samt alle tellbare unioner av disse, får vi en topologi. Krav (i) og (ii) er åpenlyse. For å vise krav (iii), la $U$ og $V$ være to elementer i $\Top$. Om $U \cup V = \emptyset$ er vi ferdige.

La dermed $U \cup V = W$. $W$ er enten et åpent interval, eller en tellbar union av åpne intervaller, siden $W \subseteq U$ og $ W \subseteq V$. Dermed er $W \in \Top$.

Eksemplet over motiverer oss til å definere konseptet av en base. Vi var på rett sti når vi prøvde å lage en topologi på $\R$ ved å la $\Top$ være alle åpne intervaller. Problemet oppsto når vi måtte tilfredstille krav (ii). Tilsvarende kan vi også møte problemer ved å tilfredstille (iii).

Det er ofte vanskelig å beskrive alle de åpne mengdene til $\Top$ ved å enumerere dem alle. Vi prøver dermed heller å beskrive en viss delmengde ved dem, som ved å tilfredstille visse krav indirekte gir oss resten.

Definisjon. La $X$ være en mengde. En base $\Base$ er en kolleksjon av delmengder av $X$ — kall dem baseelementer — slik at følgende holder

(i) For enhver $x \in X$ så finnes det en $B \in \Base$ slik at $x \in \Base$.

(ii) Om $x$ er et element i to baseelementer $B_1$ og $B_2$; $x \in B_1 \cup B_2$, så finnes det et tredje baseelement $B_3$ slik at $B_3 \subset B_1 \cup B_2$

Vi sier at $\Base$ induserer topologien $\Top$ på $X$ på følgende måte: La $U$ er en åpen mengde i $X$ (altså $U \in top$) om for hver $x \in U$ så finnes det en $B \in \Base$ slik at $B \subset U$ og $x \in \Base$. Du kan selv angripe oppgaven å vise at kolleksjonen $\Top$ generert av $\Base$ er en topologi.

Eksempel. La $(\R,\Top)$ være topologien indusert av de åpne intervallene $(a,b) = \{x \mid a < x < b\}$ i $\R$. Topologien er den samme som beskrevet i det forige eksemplet. Og kalles standard topologien på $\R$.

Eksempel. La$(\R^2,\Top)$ være topologien indusert av alle sirkulære regioner. La så $(\R^2, \Top')$ være topologien indusert av alle kvadratiske regioner. Er disse topologiene forskjellige? Hvordan kan vi sammenligne de?

Eksempel. La $(\R,\Top)$ være topologien indusert av de halv-åpne intervallene $[a, b) = \{x \mid a \leq x < b \}$. Topologien er nedre-grense topoogien på $(R,\Top)$.Dette er det første eksemplet vårt som går imot vanlig intuisjon. Her er nemlig alle halv-lukkede intervaller de åpne mengdene i det topologiske rommet. Kan vi sammenligne denne topologien med standard topologien?

Definisjoner I

Vi har nå nok kjøtt på beina til å ønske å gjøre et par flere ting med topologiene våre. Først og fremst vil det være nyttig å kunne sammeligne topologiene våre:

Sammenlignbarhet

Definisjon. La $\Top'$ og $\Top''$ være to topologier for en mengde $X$. Vi sier at $\Top'$ er finere enn $\Top$ om $\Top \subset \Top'$. Motsatt sier vi at $\Top'$ er grovere enn $\Top$ om $\Top \supset \Top'$. Om $\Top' \subset \Top$ og $\Top \subset \Top'$ sier vi at topologiene er ekvivalente. Om enten $\Top' \subset Top$ eller $\Top \subset \Top'$ sier vi at topologiene er sammenlignbare.

Lemma. La $\Base$ og $\Base'$ være to baser for $\Top$ og $\Top'$ respektivt. Da er $\Top'$ være finere enn $\Top$ hvis og bare hvis:

For enhver $x \in B \in \Base$ så finnes det en $B' \in \Base'$, slik at $x \in B' \subset B$.

Bevis. Se Teoremer I.

Subbasis

Definisjon. La $\Subb$ være en kolleksjon med delmengder av en mengde $X$ slik at unionen av alle elementer i $\Subb$ er $X$. Da kaller vi $\Subb$ en subbasis for $X$. Vi definerer topologien generert av subbasisen $\Subb$ til å være kolleksjonen $\Top$ av alle (tellbare) unioner og endelige snitt av elementene til $\Subb$.

Vi utelar oppgaven ved å vise at $\Subb$ genererer en topologi til leseren.

Produkttopologi

Definisjon (Produkt-topologi). La $X$ og $Y$ være to topologiske rom, med topologier $\Top_X$ og $\Top_Y$ respektivt. Produkt-topologien på $X \times Y$ (det kartesiske produktet av $X$ og $Y$) er topologien med base alle mengder på formen $U \times V$ hvor $U$ og $V$ er åpne mengder i $\Top_X$ og $\Top_Y$ respektivt.

Du kan enkelt verifisere selv at dette bestemmer en topologi på $X \times Y$.

Definisjon (Produkt-topologi via baser). La $\Base_X$ og $\Base_Y$ være baser for topologiene $\Top_x$ og $\Top_y$ til mengder $X$ og $Y$. Da er $\Base_X \times \Base_Y$ en base for $X \times Y$.

$\>$

Definisjon (Projekson). La $X \times Y$ være et topologisk rom. Vi definerer følgende funksjoner:

$$ \begin{align} \pi_1 : X \times Y \to X \quad ;& \quad \pi_1(x,y) = x \\ \pi_2 : X \times Y \to Y \quad ;& \quad \pi_2(x,y) = y \end{align} $$

Denne definisjonen lar oss definere en subbase for produkttopologien til $X \times Y$ ved å se på inversprojeksjonene til $\pi_1$ og $\pi_2$. Se Underomstopologi vs Ordenstopologi.

Underromstopologi

Definisjon (Underroms-topologi). La $X$ være en mengde og la $Y$ være en delmengder av $X$. Da er kolleksjonen

$$ \{Y \cap U \mid U \in \Top_x\} $$

en topologi på $Y$, kalt underroms-topologien. Ved en slik topologi kalles $Y$ et underrom av $X$.

$\,$

Ordenstopologi

Definisjon (Ordens-topologi). La $X$ være en mengde med en ordensrelasjon $<$. Vi definerer intervaller på $X$ til å være følgende mengder: $$ \begin{align} \text{Åpent intervall: }& (a, b) = \{x \mid a < x < b\} \\ \text{Lukket intervall: }& [a, b] = \{x \mid a \leq x \leq b\} \\ \text{Nedre halvåpent intervall: }& [a, b) = \{x \mid a \leq x < b\} \\ \text{Øvre halvåpent intervall: }& (a, b] = \{x \mid a < x \leq b\} \end{align} $$

La $\Base$ være en kolleksjon av alle mengder i $X$ på formen:

(i) Åpne intervaller $(a,b) \in X$.

(ii) Om $X$ har et minste element $a_0$: Alle nedre halvåpne intervaller på formen $[a_0, b)$.

(iii) Om $X$ har et største element $b_0$: Alle øvre halvåpne intervaller på formen $(a, b_0]$.

Da er $\Base$ en base for en topologi på $X$. Vi kaller denne topologien ordenstopologien på $X$.

Eksempler & Oppgaver I

Topologier for $\mathbb{R}$

Eksempel. La $\R$ være mengden av reelle tall utstyrt med standardtopologien. La $\R_{\ell}$ være mengden av reelle tall utstyrt med nedre-grense-topologien. Er $R_{\ell}$ finere enn $R$?

Løsning. Vi vil vise at for hver $x \in R \subset \R$, så finnes det et baseelement $R_l \in \R_{\ell}$ slik at $x \in R_l \subset R$. Fiks $x$, og la $x \in (a,b) \subset \R$. La så $[a,b) \in R_{\ell}$, da er $x \in [a, b)$ og $[a, b) \subset (a, b)$. Altså er $R_{\ell}$ finere enn $R$. For å vise at det motsatte ikke holder, la $x' \in [x', b) \in R_{\ell}$. En hver åpen mengde $R$ av $\R$ som inneholder $x'$ må være på formen $(x' -\epsilon, b),\> \epsilon > 0$. Altså har vi at $R \not \subset [x', b)$.

Eksempel. La $\R_K$ være topologien generert av basen $\Base_K$ bestående av alle åpne intervaller, pluss alle mengder på formen $(a, b) - K$, hvor $K = \{1/n \mid n \in Z^+\}$. Er $\R_K$ finere enn $\R$? $\R_{\ell}?$.

Løsning. Vi viser først at $\Top_K \supset \Top$, hvor $\Top$ er standardtopologien til $\R$:

Siden enhver $(a,b) \in \Top$ også er et baseelement i $\Top_K$ har vi umiddelbart at $\Top_K \supset \Top$. For å vise at det motsatte ikke holder, la $B_K \in \Base_K$ være $(-1, 1) - K$. Da er $0 \in B_K$. La oss så prøve å finne et baseelement $B \in \Base$ slik at $0 \in B \subset B_K$. Dette lar seg ikke gjøre, siden en hver $B$ om origo inneholder tellbart uendelig mange elementer av mengden $K$. Dermed er $\R_K$ finere enn $\R$.

La oss så vise at $\Top_{\ell}$ ikke er sammenlignbar med $\Top_K$:

$\Top_K \not \supset \Top_{\ell}$.:

La $x \in X$, og la $[x, b)$ være et baseelement i $\R_{\ell}$. Av det forige eksemplet vet vi at ingen av baselementene til $\R_K$ på formen $(a',b')$ gjør at $x \in (a', b'), (a', b') \subset [x, b)$. La dermed $B'$ være et baselement i $\R_K$ på formen $(a', b') - K$. Dette funker heller ikke: enten er $a',b' > 1$ og $(a',b') - K = (a', b')$. Eller så er en eller begge av $a'$,$b'$ mindre eller lik 1, som gjør at $(a',b') - K$ enten er en endelig union av åpne intervaller, eller en tellbar uendelig union av åpne intervaller. I begge tilfeller så er $(a', b') - K \subset (a', b') \not \subset [x, b)$. Dermed er $\Top_K \not \supset \Top_{\ell}$.

$\Top_{\ell} \not \supset \Top_{K}$.:

Argumentet følger samme sti som for $\R$: La $(-1,1) - K \in \Base_K$. Anta $0 \in [a, b) \in \Base_{\ell}$. Da er $[a, b) \not \subset (-1, 1) - K$ siden enhver $[a,b)$ om origo inneholder tellbart uendelig mange elementer av $K$. $\square$

Projekson som en subbasis

Proposisjon. La $\pi_1$ og $\pi_2$ være definert som i Produkttopolog for en mengde $X \ times Y$. La $U$ være en åpen mengde i $X$ og $V$ en åpen mengde i $Y$. Da er mengdene $\pi_1^{-1}(U)$ og $\pi_2^{-1}(V)$ lik: $$ \pi_1^{-1}(U) = U \times Y \\ \pi_2^{-1}(V) = X \times V $$

Bevis. Følger direkte av komputasjon.

Lemma og Eksempel. La $(X \times Y, \Top)$ være et topologisk rom med produkttopologien. Da er $$ \Base = \{\pi_1^{-1}(U) \mid U \text{ åpen i } X\} \cup \{\pi_2^{-1}(V) \mid V \text{ åpen i } Y\} \\ $$ en subbase for $\Top$.

Bevis.

La topologien generert av $\Base$ være denotert $\Top'$.

(i) Et hvert element $\Subb \in \Top'$ er per definisjon i $\Top$. Dermed med også endelige snitt og tellbare unioner være det og, og vi får $\Top' \subset \Top$. (ii) La så $U \times V \in \Top$. Da har vi at

$$ X \times Y = \pi_1^{-1}(U) \times \pi_2^{-1}(V)$$

Dermed har vi at $\Top \subset \Top$, og topologiene er ekvivalente.

Underromstopologi og ordenstopologi

Det er enkelt å opparbeide seg en feiltolkning om at underromstopologien bevarer topologiske egenskaper. Si for eksempel at man har følgende oppfatning:

La $Y \subset X$ med underromstopologien. Da er alle åpne mengder i $Y$ også åpne i $X$.

For å vise at dette ikke er sant, ser vi på følgende eksempel:

TODO: Orden vs underrom

Eksamensoppgaver I

Teoremer I

Vi hiver nå på en del lemmaer, teoremer og proposisjoner, og beviser alle sammen.

Bevis for lemmaet i Definisjoner I.

Vi viser først "bare hvis"-delen:

La $U \in \Top$. Da finnes det per definisjon $B \in \Base$ slik at $x \in B \subset U$. Per hypotese har vi at det finnes en $B' \in \Base'$ slik at $x \in B' \subset B \subset U$, dermed er $U \in \Top'$ og $\Top'$ enn $\Top$.

Vi viser så "hvis"-delen:

La $\Top \subset \Top'$, og fiks $x \in X$. La $B \in \Base, B \subset U, x \in B$. Siden $\Top \subset \Top'$ har vi at $B \in \Top'$. Siden $\Top'$ er generert av $\Base'$ må det finnes en $B' \in \Base'$ slik at $x \in B' \subset B$.

Lemma. La $\Col$ være en kolleksjon med åpne mengder i en mengde $X$ slik at for en hver åpen mengde $U \in X$, og enhver $x \in U$, så finnes det en $C \in \Col$ slik at $x \in C \subset U$. Da danner kolleksjonen $\Col$ en base.

Bevis. Merk at motivasjonen for dette lemmaet er å finne en base utifra en topologi. Vi viser de to kravene for en base:

(i) La $x \in X$, og la $U \subset X$ være en åpen mengde i $X$ slik at $x \in U$. Da finnes det per definisjon en $C \in \Col$ slik at $x \in C$. (ii) La $C_1$ og $C_2$ være to åpne mengder i $\Col$ og la $x \in C_1 \cup C_2$. La $U = C_1 \cup C_2$. Da finnes det av definisjonen vår en $C_3 \subset U$ slik at $x \in C_3$. Dermed er $C_3 \subset C_1 \cup C_2$, og $\Col$ danner dermed en base.

Topologier fra metrikker

De fleste intuitive topologier kommer ifra metrikker. Vi gir en repetisjon her:

Definisjon. La $X$ være en mengde med en tilhørende funksjon $d : X \times X \to \mathbb{K}\,K \in \{\R, \C\}$. Da kalles paret $(X, d)$ en metrikk, og $X$ et metrisk rom, om følgende er oppfylt for alle $x, y, z \in X$:

(i) $d(x, y) \geq 0$, likhet når $x = y$.

(ii) $d(x, y) = d(y, x)$

(iii) $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$

$\,$

Definisjon. La $X$ være et metrisk rom. Mengden av alle åpne $\epsilon-baller$ i $X$ er definert for hver $x \in X$ ved: $$ B_\epsilon(x) = \{y | d(x, y) < \epsilon\} $$

$\,$.

Definisjon. La $X$ være et metrisk rom. Da er kolleksjonen av alle åpne $\epsilon-baller$ for $\epsilon > 0$ et topologisk rom. Vi sier at topologien $\Top$ er indusert av metrikken $d$.

$\,$

Definisjon. La $X$ være et topologisk rom. Om det finnes en metrikk $d$ på $X$ som induserer topologien til $X$ sier vi at $X$ er metriserbar.

TODO: Konkrete essensielle eksmpler

Lukkede mengder, grensepunkter, lukning og Hausdorff-rom

Definisjon. La $A$ være en delmengde av en topologisk mengde $X$. Vi sier at $X$ er lukket om $X - A$ er åpen.

Dette appellerer til intuisjonen vår fra relle tall: La $[a, b]$ være det lukkede intervallet i $\R$, hvor $\R$ har standard-topologien. Da er

$$ \R - [a, b] = (-\infty, a) \cup (b, \infty) $$

som er åpent. Dermed er $[a,b]$ en lukket delmengde.

Denne definisjonen gir oss dog muligheten til å lage mengder som er både åpne og lukkede: La $X$ være en tilfeldig mengde med den diskrete topologien, med andre ord topologien med alle delmengder av $X$. Da er alle mengder åpne, men også lukkede, siden $X - A \in \Top$ for en hver $A$.

Eksempler & Oppgaver II

Teoremer II

Topologi - Intuisjon

Kontinuitet

Kompakthet

Eksempler & Oppgaver III

Teoremer III

Written by

Stian Jensen trmd
Last updated: Tue, 7 Jun 2016 14:39:52 +0200 .
  • Contact
  • Twitter
  • Statistics
  • Report a bug
  • Wikipendium cc-by-sa
Wikipendium is ad-free and costs nothing to use. Please help keep Wikipendium alive by donating today!