MA3002: Generell Topologi
Forord
Å lage kompendier av abstrakte matematiske fag er noe vanskelig: Det er lite metodikk, mye forståelse og en del teori som er involvert i å lære seg faget. I fag som Matte 4, som i stor grad er anvendt matematikk, er enumerering av metoder for å løse oppgaver tilstrekkelig for et kompendium av middels lengde.
I et fag som dette derimot, må en lese store deler av pensum for å få "kontroll" på faget. Dette gjør det vanskelig å skrive et kompendium uten å selv gå i dybden på teori, noe som er lite praktisk for et kompendium.
Vi kan altså hverken reiterere metodikk, eller gå i dybden på teori; så hva gjør vi? Vi løser problemet ved å gjøre ingen av delene og begge deler på en gang: Vi skriver ned tilstrekkelig med definisjoner og teoremer til at kompendiet kan brukes som et oppslagsverk for viktige teoretiske deler av pensum; samt vi skriver ned nok eksempler og oppgaver til at kompendiet kan brukes til å veilede løsninger av oppgaver.
Mengdeteori - Kjapp repetisjon
Et par kjappe (veldig) elementære definisjoner
Kanskje den mest fundamentale byggeblokken i matematikk er konseptet av en mengde. Vi assosierer med en mengde en eller flere elementer, som er inneholdt i gruppen. Om et element
Eksempler på vanlige mengder, samt notasjon:
| Mengde | Notasjon |
| Naturlige tall | |
| Heltall | |
| Rasjonale tall | |
| Reelle tall | |
| Komplekse tall | |
| To-dimensjonale reelle vektorer | |
| Sirkel | |
| Torus | |
| Kule |
En endelig mengde er en mengde med endelig antall elementer. Inverst har vi konseptet av en uendelig mengde. Mengde
Om
Den tomme mengden er denotert
Kardinaliteten til en mengde
Flere definisjoner
Definisjon. La
$X$ være en mengde. Mengden$\mathcal{P}(X)$ kalles potensmengden til$X$ , og inneholder alle delmengder av$X$ , inklusive$\emptyset$ og$X$ .
Eksempel. La
Proposisjon. Kardinaliteten til
Bevis. La
Topologi - Definisjon
Å definere topologi er ingen enkel oppgave. De fleste uformelle definisjoner appellerer til konseptene rom, kontinuitet og deformasjon:
"Topology is the mathematical study of the properties that are preserved through deformations, twistings, and stretchings of objects. Tearing, however, is not allowed." - Wolfram.com
"In mathematics, topology (from the Greek τόπος, place, and λόγος, study) is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending, but not tearing or gluing." - Wikipedia.com
"Basically, topology is the modern version of geometry, the study of all different sorts of spaces. The thing that distinguishes different kinds of geometry from each other (including topology here as a kind of geometry) is in the kinds of transformations that are allowed before you really consider something changed." - Robert Bruner
Alle de overnevnte definisjonene er konkrete (ikke abstrakte), nogenlunde appellerende til intuisjonen vår om hva topologi burde være, og lettleselige. Det er derfor interessant, at den vanlige formelle definisjonen av hva en topologi er, er ingen av delene:
Definisjon. En toplogi på en mengde
$X$ , er en kolleksjon$\Top$ av delmengder av$X$ , slik at følgende krav er oppfylt:(i) Den tomme mengden
$\emptyset$ og$X$ er i$\Top$ (ii) En tellbar union av elementer av
$\Top$ er også i$\Top$ (iii) En endelig mengde snitt av elementer av
$\Top$ er også i$\Top$
Paret
Eksempel. La
Eksempel. La
Eksempel. La
Løsning. Nei, la
Lar vi derimot
La dermed
Eksemplet over motiverer oss til å definere konseptet av en base. Vi var på rett sti når vi prøvde å lage en topologi på
Det er ofte vanskelig å beskrive alle de åpne mengdene til
Definisjon. La
$X$ være en mengde. En base$\Base$ er en kolleksjon av delmengder av$X$ — kall dem baseelementer — slik at følgende holder(i) For enhver
$x \in X$ så finnes det en$B \in \Base$ slik at$x \in \Base$ .(ii) Om
$x$ er et element i to baseelementer$B_1$ og$B_2$ ;$x \in B_1 \cup B_2$ , så finnes det et tredje baseelement$B_3$ slik at$B_3 \subset B_1 \cup B_2$
Vi sier at
Eksempel. La
Eksempel. La
Eksempel. La
Definisjoner I
Vi har nå nok kjøtt på beina til å ønske å gjøre et par flere ting med topologiene våre. Først og fremst vil det være nyttig å kunne sammeligne topologiene våre:
Sammenlignbarhet
Definisjon. La
$\Top'$ og$\Top''$ være to topologier for en mengde$X$ . Vi sier at$\Top'$ er finere enn$\Top$ om$\Top \subset \Top'$ . Motsatt sier vi at$\Top'$ er grovere enn$\Top$ om$\Top \supset \Top'$ . Om$\Top' \subset \Top$ og$\Top \subset \Top'$ sier vi at topologiene er ekvivalente. Om enten$\Top' \subset Top$ eller$\Top \subset \Top'$ sier vi at topologiene er sammenlignbare.Lemma. La
$\Base$ og$\Base'$ være to baser for$\Top$ og$\Top'$ respektivt. Da er$\Top'$ være finere enn$\Top$ hvis og bare hvis:For enhver
$x \in B \in \Base$ så finnes det en$B' \in \Base'$ , slik at$x \in B' \subset B$ .
Bevis. Se Teoremer I.
Subbasis
Definisjon. La
$\Subb$ være en kolleksjon med delmengder av en mengde$X$ slik at unionen av alle elementer i$\Subb$ er$X$ . Da kaller vi$\Subb$ en subbasis for$X$ . Vi definerer topologien generert av subbasisen$\Subb$ til å være kolleksjonen$\Top$ av alle (tellbare) unioner og endelige snitt av elementene til$\Subb$ .
Vi utelar oppgaven ved å vise at
Produkttopologi
Definisjon (Produkt-topologi). La
$X$ og$Y$ være to topologiske rom, med topologier$\Top_X$ og$\Top_Y$ respektivt. Produkt-topologien på$X \times Y$ (det kartesiske produktet av$X$ og$Y$ ) er topologien med base alle mengder på formen$U \times V$ hvor$U$ og$V$ er åpne mengder i$\Top_X$ og$\Top_Y$ respektivt.
Du kan enkelt verifisere selv at dette bestemmer en topologi på
Definisjon (Produkt-topologi via baser). La
$\Base_X$ og$\Base_Y$ være baser for topologiene$\Top_x$ og$\Top_y$ til mengder$X$ og$Y$ . Da er$\Base_X \times \Base_Y$ en base for$X \times Y$ .
Definisjon (Projekson). La
$X \times Y$ være et topologisk rom. Vi definerer følgende funksjoner:
$$ \begin{align} \pi_1 : X \times Y \to X \quad ;& \quad \pi_1(x,y) = x \\ \pi_2 : X \times Y \to Y \quad ;& \quad \pi_2(x,y) = y \end{align} $$
Denne definisjonen lar oss definere en subbase for produkttopologien til
Underromstopologi
Definisjon (Underroms-topologi). La
$X$ være en mengde og la$Y$ være en delmengder av$X$ . Da er kolleksjonen
$$ \{Y \cap U \mid U \in \Top_x\} $$ en topologi på
$Y$ , kalt underroms-topologien. Ved en slik topologi kalles$Y$ et underrom av$X$ .
Ordenstopologi
Definisjon (Ordens-topologi). La
$X$ være en mengde med en ordensrelasjon$<$ . Vi definerer intervaller på$X$ til å være følgende mengder:$$ \begin{align} \text{Åpent intervall: }& (a, b) = \{x \mid a < x < b\} \\ \text{Lukket intervall: }& [a, b] = \{x \mid a \leq x \leq b\} \\ \text{Nedre halvåpent intervall: }& [a, b) = \{x \mid a \leq x < b\} \\ \text{Øvre halvåpent intervall: }& (a, b] = \{x \mid a < x \leq b\} \end{align} $$ La
$\Base$ være en kolleksjon av alle mengder i$X$ på formen:(i) Åpne intervaller
$(a,b) \in X$ .(ii) Om
$X$ har et minste element$a_0$ : Alle nedre halvåpne intervaller på formen$[a_0, b)$ .(iii) Om
$X$ har et største element$b_0$ : Alle øvre halvåpne intervaller på formen$(a, b_0]$ .Da er
$\Base$ en base for en topologi på$X$ . Vi kaller denne topologien ordenstopologien på$X$ .
Eksempler & Oppgaver I
Topologier for $\mathbb{R}$
Eksempel. La
$\R$ være mengden av reelle tall utstyrt med standardtopologien. La$\R_{\ell}$ være mengden av reelle tall utstyrt med nedre-grense-topologien. Er$R_{\ell}$ finere enn$R$ ?
Løsning. Vi vil vise at for hver
Eksempel. La
$\R_K$ være topologien generert av basen$\Base_K$ bestående av alle åpne intervaller, pluss alle mengder på formen$(a, b) - K$ , hvor$K = \{1/n \mid n \in Z^+\}$ . Er$\R_K$ finere enn$\R$ ?$\R_{\ell}?$ .
Løsning. Vi viser først at
Siden enhver
La oss så vise at
La
Argumentet følger samme sti som for
Projekson som en subbasis
Proposisjon. La
$\pi_1$ og$\pi_2$ være definert som i Produkttopolog for en mengde$X \ times Y$ . La$U$ være en åpen mengde i$X$ og$V$ en åpen mengde i$Y$ . Da er mengdene$\pi_1^{-1}(U)$ og$\pi_2^{-1}(V)$ lik:$$ \pi_1^{-1}(U) = U \times Y \\ \pi_2^{-1}(V) = X \times V $$
Bevis. Følger direkte av komputasjon.
Lemma og Eksempel. La
$(X \times Y, \Top)$ være et topologisk rom med produkttopologien. Da er$$ \Base = \{\pi_1^{-1}(U) \mid U \text{ åpen i } X\} \cup \{\pi_2^{-1}(V) \mid V \text{ åpen i } Y\} \\ $$ en subbase for$\Top$ .
Bevis.
La topologien generert av
(i) Et hvert element
Dermed har vi at
Underromstopologi og ordenstopologi
Det er enkelt å opparbeide seg en feiltolkning om at underromstopologien bevarer topologiske egenskaper. Si for eksempel at man har følgende oppfatning:
La
For å vise at dette ikke er sant, ser vi på følgende eksempel:
Eksamensoppgaver I
Teoremer I
Vi hiver nå på en del lemmaer, teoremer og proposisjoner, og beviser alle sammen.
Bevis for lemmaet i Definisjoner I.
Vi viser først "bare hvis"-delen:
La
Vi viser så "hvis"-delen:
La
Lemma. La
$\Col$ være en kolleksjon med åpne mengder i en mengde$X$ slik at for en hver åpen mengde$U \in X$ , og enhver$x \in U$ , så finnes det en$C \in \Col$ slik at$x \in C \subset U$ . Da danner kolleksjonen$\Col$ en base.
Bevis. Merk at motivasjonen for dette lemmaet er å finne en base utifra en topologi. Vi viser de to kravene for en base:
(i) La
Topologier fra metrikker
De fleste intuitive topologier kommer ifra metrikker. Vi gir en repetisjon her:
Definisjon. La
$X$ være en mengde med en tilhørende funksjon$d : X \times X \to \mathbb{K}\,K \in \{\R, \C\}$ . Da kalles paret$(X, d)$ en metrikk, og$X$ et metrisk rom, om følgende er oppfylt for alle$x, y, z \in X$ :(i)
$d(x, y) \geq 0$ , likhet når$x = y$ .(ii)
$d(x, y) = d(y, x)$ (iii)
$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$
Definisjon. La
$X$ være et metrisk rom. Mengden av alle åpne$\epsilon-baller$ i$X$ er definert for hver$x \in X$ ved:$$ B_\epsilon(x) = \{y | d(x, y) < \epsilon\} $$
Definisjon. La
$X$ være et metrisk rom. Da er kolleksjonen av alle åpne$\epsilon-baller$ for$\epsilon > 0$ et topologisk rom. Vi sier at topologien$\Top$ er indusert av metrikken$d$ .
Definisjon. La
$X$ være et topologisk rom. Om det finnes en metrikk$d$ på$X$ som induserer topologien til$X$ sier vi at$X$ er metriserbar.
Lukkede mengder, grensepunkter, lukning og Hausdorff-rom
Definisjon. La
$A$ være en delmengde av en topologisk mengde$X$ . Vi sier at$X$ er lukket om$X - A$ er åpen.
Dette appellerer til intuisjonen vår fra relle tall: La
som er åpent. Dermed er
Denne definisjonen gir oss dog muligheten til å lage mengder som er både åpne og lukkede: La